Главная последовательность
В задаче Звездное равновесие обсуждалось, что на диаграмме Герцшпрунга — Рассела (связывающей цвет и светимость звезд) большая часть звезд попадает в «полосу», которую принято называть главной последовательностью. Большую часть своей жизни звезды проводят именно там. Характерной особенностью звезд главной последовательности является то, что их основное энерговыделение обусловлено «горением» водорода в ядре, в отличие от звезд типа Т Тельца или, к примеру, гигантов, речь о которых пойдет в послесловии.
Также обсуждалось, что различные цвета («температура» поверхности) и светимости (энергия, излученная в единицу времени) соответствуют различным массам звезд главной последовательности. Диапазон масс начинается от десятых долей массы Солнца (у карликовых звезд) и простирается до сотен масс Солнца (у гигантов). Но за массивность приходится расплачиваться весьма короткой жизнью на главной последовательности: гиганты проводят на ней всего лишь миллионы лет (и даже меньше), тогда как карлики могут находиться на главной последовательности до десяти триллионов лет.
В этой задаче мы «из первых принципов», используя результаты предыдущих задач (Звездное равновесие и Блуждание фотона), поймем, почему главная последовательность — это именно почти прямая линия на диаграмме, и как связаны на ней светимость и масса звезд.
Пусть u — это энергия фотонов на единицу объема (плотность энергии). По определению, светимость L — это энергия, излученная с поверхности звезды за единицу времени. По порядку величины \( L\sim \frac{V u}{\tau} \), где V — объем звезды, τ — некое характерное время переноса этой энергии наружу (то самое время, за которое фотон покидает недра звезды). В качестве объема, опять же по порядку величины, можно взять R3, где R — радиус звезды. Время переноса энергии можно оценить как R2/lc, где l — длина свободного пробега, которую можно оценить как 1/ρκ (ρ — плотность вещества звезды, κ — коэффициент непрозрачности).
Рис. 2. Перенос плотности энергии Δu из внутренней области звезды во внешнюю. Рисунок из книги D. Maoz, Astrophysics in a Nutshell
В равновесии плотность энергии фотонов выражается по закону Стефана — Больцмана: u = aT4, где a — некая константа, а T — характерная температура.
Таким образом, опустив все константы, получаем, что светимость L пропорциональна величине \( \frac{T^4 R}{\rho\kappa}. \)
Также имеем, что давление P должно быть сбалансировано гравитацией: \( P\sim \frac{M\rho}{r}.\)
Сжатие звезд при их формировании останавливается тогда, когда в самом центре начинается интенсивное горение водорода, которое производит достаточное давление. Это происходит при определенной температуре T, которая ни от чего не зависит. Поэтому по большому счету, характерная температура (фактически, это температура в центре звезды, не путать с температурой поверхности!) у звезд главной последовательности одинаковая.
Задача
1) У звезд средних масс (0,5 < M/M☉ < 10) давление обусловлено давлением газа P = νRT ~ ρT, а непрозрачность (для фотонов) вызвана томсоновским рассеянием на свободных электронах, из-за чего коэффициент непрозрачности постоянен: κ = const. Найдите зависимость светимости таких звезд от их массы. Оцените светимость звезды, которая в 10 раз массивнее Солнца (относительно светимости Солнца).
2) У маломассивных звезд, давление все еще обусловлено давлением газа, а коэффициент непрозрачности определяется в основном другими рассеяниями и задается приближением Крамерса: κ ~ ρ/T7/2. Решите ту же задачу для маломассивных звезд, оценив светимость звезды, которая в 10 раз легче Солнца.
3) У массивных звезд с массой больше нескольких десятков масс Солнца коэффициент непрозрачности обусловлен только томсоновскими рассеяниями (κ = const), тогда как давление обусловлено давлением фотонов, а не газа (P ~ T4). Найдите зависимость светимости от массы для таких звезд, и оцените светимость звезды, которая в 100 раз массивнее Солнца (будьте осторожны, с Солнцем здесь сравнивать нельзя, нужно сделать промежуточный шаг).
Подсказка 1
Приняв, что M ~ ρR3, воспользуйтесь приближенными выражениями для светимости и давления, а также выражением для плотности и коэффициента непрозрачности, чтобы избавиться от ρ. Характерная температура T везде одинаковая, как уже отмечалось выше, поэтому ее можно также везде опустить.
Подсказка 2
В последнем пункте для звезд солнечных масс одна зависимость, а для тяжелых — другая, поэтому сразу сравнивать с Солнцем нельзя. Вместо этого вначале посчитайте светимость для какой-нибудь промежуточной массы (например, 10 масс Солнца) по формуле для звезд средних масс, затем, используя формулу для массивных звезд, найдите светимость звезды в 100 раз тяжелее Солнца.
Решение
Для звезд, у которых давление, противодействующее гравитации, обеспечивается давлением идеального газа P ~ ρT, можно написать P ~ Mρ/R ~ ρ (приняв T за константу). Таким образом, для таких звезд получим, что M ~ R, чем мы и воспользуемся ниже.
Заметьте, что это выражение говорит о том, что звезда, которая в 10 раз массивнее Солнца, имеет примерно в 10 раз больший радиус.
1) Приняв κ и T за константы, а также положив ρ ~ M/R3 и воспользовавшись полученным выше соотношением, получим для звезд средних масс L ~ M3. Это означает, что звезда в 10 раз массивнее Солнце будет излучать энергии в 1000 раз больше за единицу времени (при радиусе превосходящем солнечный всего в 10 раз).
2) С другой стороны, для маломассивных звезд, приняв κ ~ ρ/T7/2 (T — все так же константа), имеем L ~ M5. То есть звезда, которая в 10 раз менее массивна чем Солнце, имеет светимость в 100 000 раз меньше солнечной (опять же, при радиусе меньше всего в 10 раз).
3) Для самых массивных звезд соотношение M ~ R уже не работает. Так как давление обеспечено давлением фотонов, P ~ Mρ/r ~ T4 ~ const. Таким образом, M ~ R2, и L ~ M. С Солнцем сразу сравнивать нельзя, так как для звезд солнечных масс действует другая зависимость. Но мы уже выяснили, что звезда в 10 раз массивнее Солнца имеет светимость в 1000 раз больше. С такой звездой сравнить можно, это дает, что звезда в 100 раз массивнее Солнца, излучает примерно в 10 000 раз больше энергии за единицу времени. Все это и обуславливает форму кривой главной последовательности на диаграмме Герцшпрунга — Рассела (рис. 1).
Послесловие
В качестве упражнения давайте также оценим наклон кривой главной последовательности на диаграмме Герцшпрунга-Рассела. Для простоты рассмотрим случай L ~ M4 — средний вариант между двумя, рассмотренными в решении.
По определению, эффективная температура («температура» поверхности) это
\[ \sigma T_{\mathrm eff}^4=\frac{L}{4\pi R^2}, \]
где σ — некоторая постоянная. Учитывая, что M ~ R (как мы находили выше), имеем для звезд главной последовательности (в среднем) \(L\sim T_{\rm eff}^8 \). То есть температура поверхности звезды, которая в 10 раз массивнее Солнца (и светит в 1000 раз интенсивнее), будет 15 000 К, а у звезды с массой в 10 раз меньше солнечной (которая светит в 100 000 раз менее интенсивно) — примерно 1500 К.
Подведем итог. В недрах звезд главной последовательности происходит «нагрев» с помощью термоядерного горения водорода. Такое горение является источником энергии, которой хватает на триллионы лет самым легким звездам, на миллиарды лет звездам солнечных масс и на миллионы лет самым тяжелым.
Эта энергия трансформируется в кинетическую энергию газа и энергию фотонов, которые, взаимодействуя друг с другом, переносят эту энергию на поверхность, а также обеспечивают достаточное давление для противодействия гравитационному сжатию звезды. (Но у самых легких звезд (M < 0,5M☉) и тяжелых (M > 3M☉) перенос также происходит с помощью конвекции.)
Рис. 3. Три типичных примера диаграммы Герцшпрунга — Рассела: (a) — только сформировавшееся скопление NGC 2264 (черная сплошная линия — это кривая главной последовательности), (б) — молодое скопление Плеяды (M45), (в) — старое скопление M12. Изображения из статьи D. G. Turner, 2012. The color-magnitude diagram of NGC 2264 и с сайтов rpi.edu и houghton.edu
На каждой из диаграмм на рис. 3 изображены звезды из одного скопления, потому что звезды из одного и того же скопления предположительно были образованы в одно и то же время. На средней диаграмме показаны звезды скопления Плеяды. Как видно, скопление все еще очень молодое (его возраст оценивают в 75–150 млн нет), и основная часть звезд находится на главной последовательности.
На левой диаграмме изображено еще только сформировавшееся скопление (возрастом до 5 млн лет), в котором большинство звезд еще даже не «родилось» (если рождением считать вступление на главную последовательность). Эти звезды очень яркие, так как основная часть их энергии обусловлена не термоядерными реакциями, а гравитационным сжатием. Фактически, они все еще сжимаются, двигаясь постепенно вниз по диаграмме Герцшпрунга — Рассела (как показано стрелкой), пока температура в центре не вырастет достаточно, чтобы запустить эффективные термоядерные реакции. Тогда звезда окажется на главной последовательности (черная линия на диаграмме) и будет находиться там какое-то время. Стоит также отметить, что самые тяжелые звезды (M > 6M☉) рождаются уже на главной последовательности, то есть когда они формируются температура, в центре уже достаточно высокая, чтобы инициировать термоядерное горение водорода. Из-за этого тяжелых протозвезд (слева) на диаграмме мы не видим.
На правой диаграмме показано старое скопление (возрастом 12,7 млрд лет). Видно, что большая часть звезд уже покинуло главную последовательность, двигаясь «вверх» по диаграмме и становясь красными гигантами. Более подробно про это, а также горизонтальную ветвь мы поговорим в другой раз. Однако здесь стоит отметить, что самые тяжелые звезды покидают главную последовательность раньше всех (мы уже отмечали, что за большую светимость приходится платить короткой жизнью), тогда как самые легкие звезды (справа от главной последовательности) продолжают находиться на ней. Таким образом, если для скопления известна «точка перегиба» — то место, где обрывается главная последовательность и начинается ветвь гигантов, можно достаточно точно оценить, сколько лет назад звезды сформировались, то есть найти возраст скопления. Поэтому диаграмма Герцшпрунга-Рассела приносит и пользу для идентификации очень молодых и очень старых скоплений звезд.
-
Айк, установлено, что светимость Солнца за время существования выросла на десятки процентов. Это характерно для всех звезд главной последовательности?
Это связано с ростом средней молекулярной массы в процессе горения?
Как это "на пальцах" объяснить? В энерговыделяющей области давление и температура повышается по мере увеличения средней молеулярной массы?-
Да, это довольно характерная история. Если говорить просто, то у звёзд отрицательная теплоёмкость: если вы звезду сожмёте, то энергия уменьшится (станет более отрицательной), а температура увеличится за счёт увеличения давления. Отрицательная теплоёмкость - это главная причина стабильности звёзд: их структура подстраивается под всякие изменения.
Так, в результате эволюции у ядро звезды обогащается гелием (вместо водорода) и, следовательно, уменьшается в размере. Слои непосредственно над ядром тоже сжимаются к центру, в результате средняя температура, а следовательно и светимость, у звезды слегка увеличиваются.
Но это довольно незначительный эффект, за 5 млрд лет что-то в духе 20% светимости.
-
Рис. 1. Диаграмма Герцшпрунга — Рассела. Помимо цвета и светимости для звезд главной последовательности указаны также характерные массы (в массах Солнца)