Звездное равновесие

Звезды — это едва ли не самый распространенный тип объектов в нашей Вселенной. Только в нашей Галактике по разным оценкам их насчитывается от 100 до 400 млрд. Звезды дают большую часть видимого излучения во Вселенной. Энергия звезд может быть губительной, а может, как мы знаем на примере Земли, поддерживать жизнь на близлежащих планетах. Понимание того, как «работают» звезды, — одна из самых важных проблем астрофизики вот уже больше столетия.

Звезды бывают совершенно разные: от сверхплотных нейтронных звезд и белых карликов до красных гигантов и голубых сверхгигантов. Однако сегодня мы ограничимся рассмотрением самого распространенного класса — звезд главной последовательности. Давайте сначала определимся с названием: почему именно главная последовательность?

В начале XX века астрономы Эйнар Герцшпрунг и Генри Рассел независимо друг от друга предложили способ классификации огромного разнообразия звезд с помощью построения довольно простой диаграммы, для которой берутся всего лишь два параметра от каждой звезды: ее цвет (он связан со спектральным классом), и светимость (энергия, которую эта звезда излучает в единицу времени). Каждая звезда — это просто точка на такой диаграмме (рис. 1), которую называют диаграммой Герцшпрунга-Рассела (или просто диаграммой цвет-светимость).

Рис. 1. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела

Рис. 1. Диаграмма Герцшпрунга-Рассела. По горизонтальной оси откладывается цвет звезды, который можно однозначно отождествить с температурой ее поверхности и с ее спектральным классом. По вертикальной оси откладывается энергия излучения в единицу времени, светимость Солнца принята за 1. Звезды в левом верхнем углу излучают в 104–105 раз больше энергии чем Солнце, и имеют температуру 30 000–40 000 К вблизи поверхности (заметим, что часто говорят об этой температуре, как о температуре непосредственно поверхности звезды, но строго говоря это не совсем температура поверхности, а температура некоторого слоя, близкого к поверхности звезды)

На этой диаграмме выделяется полоса, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол, на которую попадает большая часть звезд. Эту полосу и называют «главной последовательностью». Солнце, в частности, лежит на главной последовательности — это звезда спектрального класса G с температурой поверхности примерно 6000 K. В главной последовательности есть как очень массивные большие звезды (их не следует путать с красными гигантами) с температурой поверхности в десятки тысяч градусов и светимостью в десятки и сотни тысяч раз больше солнечной, так и красные карликовые звезды с температурой поверхности всего 3000 К и в 1000 раз слабее Солнца по светимости (а их не следует путать с белыми карликами).

Как оказалось, основной отличительной чертой и, собственно, определением звезд главной последовательности является то, что в их недрах преобладает термоядерное горение водорода, благодаря которому эти звезды находятся в равновесии. Пока водорода достаточно, чтобы поддерживать ход реакции, звезда живет на главной последовательности. Абсолютно все звезды так или иначе проводят по крайней мере некоторое время в этой группе: массивные гиганты проводят всего несколько миллионов лет, звезды типа Солнца — примерно десять миллиардов лет, а красные карлики типов К и М могут находится там несколько триллионов лет.

Помимо главной последовательности есть и другие группы звезд, которые можно заметить на диаграмме Герцшпрунга-Рассела: белые карлики, красные гиганты, сверхгиганты, звезды типа T Тельца и т. д. Если главную последовательность можно назвать основным жизненным циклом звезд, то вышеперечисленные стадии (или группы) — это стадии смерти и рождения звезд. Так, звезда типа Солнца, израсходовав запас водорода в ядре рано или поздно начнет сжигать водород над ядром, что вызовет сильное расширение и, соответственно, остывание оболочки (стадия красного гиганта). Тогда Солнце постепенно сместится с главной последовательности в группу красных гигантов.

В этой задаче мы рассмотрим самую базовую физику звезд главной последовательности, а именно — их термодинамику, и попробуем разобраться, как устроено стабильное равновесие, в котором звезды могут находиться на протяжении миллиардов лет.

Пригодится важное правило, которое можно применить к любой самогравитирующей системе: система стабильно существует и не разваливается только тогда, когда ее полная энергия меньше нуля. Как только энергия становится больше нуля — система рискует распасться и разлететься на части, так как гравитация более не может удерживать ее. Про то, откуда это правило берется, подробно поговорим позже. Но в простейшем случае легко убедиться, что оно работает. Если, например, взять облако газа с ненулевой температурой в вакууме, то нетрудно догадаться, что при отсутствии тяготения (то есть с «выключенной» отрицательной составляющей энергии) молекулы просто разлетятся в разные стороны. Однако если «разрешить» частицам притягиваться друг к другу, то при условии, что скорости не слишком большие, гравитация может удержать газ в равновесии.

Задача

Можно считать, что энергия звезды состоит из двух частей — тепловой Ет и гравитационной Ег: Е = Ег + Ет. Если звезда достаточно горячая (как это бывает с очень массивными звездами), то к этому выражению нужно добавить энергию излучения Еи, но о ней — чуть позже.

Гравитационная энергия задается формулой Ег = −GM2/R, где G — гравитационная постоянная, M — масса звезды, R — ее радиус.

1) Помня про баланс сил давления и тяготения, выразите через Ег и объем звезды среднее давление газа в ней. Обратите внимание, что полученный ответ не будет зависеть от природы давления. Найдите среднее давление в «идеальном» Солнце, состоящем только из водорода и имеющем массу Msun = 2×1033 г и радиус Rsun = 7×1010 см.

2) Зная закон идеального одноатомного газа PV = NkT (P — давление, V — объем, N — количество атомов, k — постоянная Больцмана, T — температура), и учитывая, что тепловая энергия звезды — это просто энергия газа Ет = 3NkT/2, выразите полную энергию звезды через ее гравитационную энергию. Должна получиться отрицательная величина, то есть звезды, в которых давление обеспечивается идеальным одноатомным газом, стабильны. Найдите температуру «идеального» Солнца.

В массивных звездах помимо давления газа нужно учитывать давление фотонов (излучения), которое добавляет положительную энергию и, при достаточном их количестве, может вывести звезду из равновесия. Давление излучения задается формулой Ри = аТ4/3, где а — константа, равная 7,57×10−15 эрг·см−3 ·К−4.

3) Рассмотрим простой случай, когда давление излучения Ри равно в точности давлению газа NkT/V. Найдите характерную массу звезды (в массах Солнца), находящуюся в равновесии в таких условиях. Ответ не должен зависеть от радиуса или температуры.


Подсказка 1

В пункте 1) воспользуйтесь тем, что «сила газа» — это давление газа, умноженное на площадь. Сила давления должна балансироваться гравитационной силой, которую можно оценить по порядку величины из известных нам размерных параметров.


Подсказка 2

В пункте 3) из равенства давления газа и излучения найдите температуру, выразив ее через плотность. Воспользовавшись пунктом 1), подставьте температуру и избавьтесь от радиуса, зная, что \( M=\rho V \).


Решение

1) Будем все формулы писать по порядку величины, так как большой точности нам не требуется. Сила, с которой газ со средним давлением P отталкивает оболочку звезды, равна P·4πR2. Эта сила уравновешивается гравитационным притяжением, которое примерно равно GM2/R2. Учитывая, что Eг = −GM2/R, а объем V = 4πR3/3, получим, что среднее давление

\[ P=-\frac{1}{3}\frac{E_{\text{г}}}{V}. \]

Заметьте, что здесь мы не делали никакого предположения о том, какова природа этого давления: оно может быть как давлением газа, так и давлением фотонов. Полученная формула верна в любом случае.

Подставив числа для Солнца, получим, что среднее давление равно P = 1014 Па, или 109 в единицах атмосферного давления. Это значение очень приблизительное, так как на самом деле давление в центре Солнца на много порядков больше давления вблизи поверхности.

2) Теперь будем считать, что давление звезды — это давление идеального одноатомного газа. Тепловая энергия в таком случае будет равна Eт = 3NkT/2, где N — полное число частиц газа (ядер водорода). С другой стороны, уравнение состояния идеального газа дает соотношение PV = NkT, а из пункта 1) получается, что PV = −Eг/3. Из этих равенство следует, что Eт = −Eг/2, и поэтому полная энергия получается равной половине гравитационной:

\[ E_{\text{п}}=\frac{1}{2}E_{\text{г}}. \]

Это — вириальная теорема. В общем случае она утверждает, что у связной системы в равновесии полная энергия равна половине потенциальной. Так как гравитационная энергия отрицательна, то и полная энергия также отрицательна, и мы получаем, что система абсолютно стабильна.

Для солнечных параметров из условия можно получить среднюю температуру 8×106K. Это значение иногда еще называют вириальной температурой. Опять же, значение довольно неточное, так как температура Солнца варьируется от десятка миллионов Кельвин вблизи центра до всего нескольких тысяч у поверхности.

3) У достаточно массивных и, соответственно, горячих звезд помимо давления газа приходится учитывать давление излучения (фотонов). Так как энергия излучения положительна, то излучение является дестабилизирующим фактором. Чтобы понять, при каких массах звезд это имеет значение, рассмотрим случай, когда давление излучения по порядку величины равно давлению газа.

Через n = N/V обозначим среднюю концентрацию частиц, которая также может быть записана в виде ρ/mH, где ρ — средняя плотность звезды, а mH — масса ядра водорода (то есть протона). Тогда равенство давлений газа и излучения запишется в виде

\[ \frac{\rho}{m_{\rm H}}kT=\frac{1}{3}aT^4. \]

Отсюда найдем температуру:

\[ T=\left(\frac{3}{a}\frac{k}{m_{\rm H}}\rho\right)^{1/3}. \]

Из пункта 1) мы помним, что P = −Eг/(3V). В нашем случае общее давление P состоит из давления излучения и давления газа, которые равны, поэтому мы можем взять просто P = 2aT4/3. Тогда имеем

\[ \frac{2}{3}a T^4 = \frac{GM^2}{4\pi R^4}. \]

Учитывая, что ρ = M/V, избавимся от радиуса в выражении выше и получим

\[ \frac{2}{3}a T^4 =\frac{1}{4\pi}\left(\frac{4\pi}{3}\right)^{4/3} GM^{2/3}\rho^{4/3}. \]

Подставим температуру T и заметим, что плотность сокращается, а остается лишь масса. В итоге получаем, что M ~ 60MSun.

Для сравнения, у Солнца давление излучения в среднем порядка 107 (в атмосферах), то есть на два порядка меньше давления газа.


Послесловие

Таким образом, мы получили (и это соответствует действительности), что у звезд с достаточно большой массой условие равновесия (то есть отрицательность полной энергии) нарушено, и такие звезды ведут себя крайне нестабильно. Есть несколько классов таких звезд, например, яркие голубые переменные (luminous blue variable — LBV). У таких звезд наблюдаются драматические изменения светимости и даже взрывы в течение жизни.

Ярким примером такой звезды является система Эта Киля, состоящая из двух звезд, одна из которых как раз является звездой класса LBV массой 150–250 масс Солнца с сильной переменностью излучения и постоянными выбросами массы, которые и образуют эту прекрасную туманность, показанную на фотографии ниже. В марте 1843 года эта система в результате мощной вспышки даже была второй по яркости звездой (после Сириуса). Довольно быстро яркость спала и к 1870-м годам звезда перестала быть видной невооруженным глазом. Но с 1940-х годов яркость снова растет. Сейчас у Эты Киля звездная величина примерно 4,5m. Звезда-компаньон — это звезда класса O массой около 30 масс Солнца.

Рис. 2. Эта Киля

Рис. 2. Эта Киля — яркая точка на стыке двух долей туманности Гомункул. Изображение с сайта ru.wikipedia.org

Эта система также примечательна тем, что в скором будущем (по астрономическим меркам) она должна взорваться в виде очень мощной сверхновой с последующим образованием черной дыры. Из-за огромной массы и близкого расстояния (всего около 7500 световых лет от нас), взрыв может оказаться самым «драматическим» астрономическим событием по крайней мере за последнее тысячелетие.

В этой задаче мы также поняли, что у стабильных звезд главной последовательности полная энергия отрицательна и в равновесии равна половине гравитационной (потенциальной) энергии. Такое вириальное соотношение, как мы увидели, верно для всех звезд главной последовательности, кроме достаточно массивных звезд (массой больше нескольких десятков масс Солнца), у которых становится важным вклад излучения в давление.

Стоит обратить внимание также и на другое соотношение. В пункте 2) мы видели, что внутренняя энергия газа (кстати, она же — кинетическая энергия ядер водорода), Eт, равна половине потенциальной энергии со знаком минус: Eт = −Eг/2.

Потенциальная энергия Eг = −GM2/R, то есть если звезду слегка сжать, потенциальная энергия, а значит, и полная энергия, уменьшается. С другой стороны, согласно формуле из предыдущего абзаца, энергия газа, а, соответственно, и температура, возрастает. То есть, когда звезда теряет энергию, ее температура увеличивается, что говорит об отрицательной теплоемкости звезды.

С этой точки зрения, именно отрицательная теплоемкость обеспечивает такую высокую стабильность: звезда сжимается, температура увеличивается, увеличивается давление, соответственно звезда расширяется обратно, и наоборот.

Этот факт, кстати, очень важен не только для стабильности звезд на главной последовательности, но и в процессе рождения звезд. Протозвезда, которая претерпевает гравитационное сжатие на протяжении миллионов лет, эффективно теряет свою энергию. Из-за отрицательной теплоемкости в результате температура протозвезды растет до тех пор, пока не достигает значения, когда в самых ее недрах «зажигается» водород. Именно этот момент и считается условным моментом рождения звезды и «входом» на главную последовательность.

В завершение, немного отойдя от темы, давайте обсудим, почему у связных систем полная энергия должна быть отрицательной. Представьте систему из двух объектов массами m1 и m2, которые вращаются друг вокруг друга в открытом космосе (естественно, по эллиптическим орбитам).

Рис. 3.

Рис. 3.

Величины, которые сохраняются при таком движении, — это момент импульса и полная энергия (а также полный импульс, так как нет внешних сил). Запишем полную энергию и момент импульса такой системы. Так как она сохраняется, мы можем записать ее в любой удобный нам момент вращения — она будет абсолютно такой же во все остальные моменты. Давайте для простоты возьмем момент, когда обе звезды находятся в своих «периастрах», то есть в ближайших точках друг к другу (P1 и P2 на рисунке 3). Пусть в этот момент скорости звезд будут равны v1 и v2 (в этот момент скорости будут направлены в противоположных направлениях — вверх и вниз на нашем рисунке — и перпендикулярно соединяющей звезды линии).

Тогда полный момент импульса запишется так: L = m1v1r1 + m2v2r2, где r1 и r2 — это расстояния от точек P1 и P2 до центра масс системы C. Мы также знаем, что импульс полной системы сохраняется и можно положить его равным нулю (в системе центра масс). Тогда m1v1 = m2v2. И для момента импульса имеем L = m1v1r, где r = r1 + r2 — расстояние между двумя звездами.

Теперь запишем полную энергию системы

\[ E = -\frac{Gm_1 m_2}{r} + \frac{m_1 v_1^2}{2}+\frac{m_2 v_2^2}{2}, \]

– это сумма потенциальной и кинетической энергии. Обратите внимание, что потенциальная энергия отрицательна. Учитывая, что m1v1 = m2v2 и пользуясь выражением для L, энергию можно представить в виде

\[ E=-\frac{Gm_1 m_2}{r} + \frac{L^2}{2r^2}\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right), \]

то есть как функцию от расстояния.

В общем случае, если рассматривать произвольное положение звезд, то к этому выражению нужно добавить кинетическую энергию из-за движения вдоль линии, соединяющей центр масс и точку на орбите (движение по нормали). В случае точек P1 и P2 эти скорости равны нулю.

Тогда имеем для произвольных точек выражение для энергии

\[ E=-\frac{Gm_1 m_2}{r} + \frac{L^2}{2r^2}\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) + \frac{m_1 v_{1\text{н}}^2}{2}+\frac{m_2 v_{2\text{н}}^2}{2}, \]

где r — уже произвольное расстояние между двумя телами. Таким образом, получается, что тела фактически чувствуют не просто гравитационную силу Gm1m2/r2, но также дополнительную (центробежную). Если говорить на языке физики, это означает, что тела чувствуют некий эффективный потенциал. График эффективного потенциала показан ниже. Если эффективная потенциальная энергия

\[ E_{\text{эфф}}=-\frac{Gm_1 m_2}{r} + \frac{L^2}{2r^2}\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) \]

меньше нуля, то орбиты замкнуты, и звезды вращаются по эллипсам с максимальным и минимальным отдалением соответственно rmax и rmin (в точке минимума потенциала — по окружностям с расстоянием rcircle друг от друга). Если значение Eэфф становится нулем, то замкнутой орбиты нет, и объекты улетают на бесконечность по параболическим орбитам. Если энергия больше нуля, то получаются открытые гиперболические орбиты.

Рис. 4.

Рис. 4.

Оказывается, что такие рассуждения можно распространить на любую самогравитирующую систему: система стабильно существует и не разлетается только когда, когда ее полная энергия меньше нуля, а как только она становится больше, то система рискует распасться или разлететься на части, так как гравитация более не может удерживать ее.


2
Показать комментарии (2)
Свернуть комментарии (2)

  • oriss  | 27.03.2017 | 05:38 Ответить
    Почему вы не учитываете вращение звезд во круг своей оси, в некоторых случаях центробежные силы существенны
    Ответить
    • haykh > oriss | 28.03.2017 | 05:59 Ответить
      Для Солнца вращательная энергия составляет меньше 1e-5 от гравитационной, для типичных звёзд типа O больше (~1%). Т.е. в каких-то случаях на энергетический баланс это, конечно, может влиять, но мы здесь рассмотрели простейший случай. Ведь основная часть массы сконцентрирована в самом центре, где момент инерции очень маленький, основной момент импульса уносится на наружние слои, которые на энергетический баланс мало влияют.

      А вообще считается, что большая часть углового момента (момента импульса) "уносится" на стадии формирования звезды через магнитные поля и процесс известный как амбиполярная диффузия. Поэтому в итоге доля вращательной энергии (по идее) должна быть довольно маленькой.

      Но вы совершенно правы, есть исключения, и иногда это надо учитывать.
      Ответить
Написать комментарий

Другие задачи


Элементы

© 2005-2017 «Элементы»