Фрактал Ньютона

Еще один тип динамических фракталов составляют фракталы (так называемые бассейны) Ньютона. Формулы для их построения основаны на методе решения нелинейных уравнений, который был придуман великим математиком еще в XVII веке. Применяя общую формулу метода Ньютона z_n+1 = z_n – f(z_n)/f'(z_n), n = 0, 1, 2, ... для решения уравнения f(z) = 0 к многочлену z^k – a, получим последовательность точек: z_n+1 = (k – 1)z_n^k/kz_n^k–1, n = 0, 1, 2, ... . Выбирая в качестве начальных приближений различные комплексные числа z₀, будем получать последовательности, которые сходятся к корням этого многочлена. Поскольку корней у него ровно k, то вся плоскость разбивается на k частей — областей притяжения корней. Границы этих частей имеют фрактальную структуру. (Заметим в скобках, что если в последней формуле подставить k = 2, а в качестве начального приближения взять z₀ = a, то получится формула, которую реально используют для вычисления квадратного корня из a в компьютерах.) Наш фрактал получается из многочлена f(z) = z³ – 1.

См. также: Как это рисовать

Далее: Комплексные числа

Комментировать