Элементы Элементы большой науки

Поставить закладку

Напишите нам

Карта сайта

Содержание
Энциклопедия
Новости науки
LHC
Картинка дня
Библиотека
Видеотека
Книжный клуб
Задачи
Масштабы: времена
Детские вопросы
Плакаты
Мгновение
Фракталы
Ускоритель
Покорение воздуха
Гравитация
1. Парабола или прямая?
2. Все дома стоят криво
3. Из Москвы в Питер за полчаса
4. На Луну в комфортных условиях
5. Скоростной спутник Земли
6. Перевернутый небоскреб
7. Супернебоскреб
8. Запуск спутника без затрат энергии
9. Раскрутим Землю
«легкая версия» плаката
Вечный двигатель
Электромагнитное излучение
Возможности человека
Научный календарь
Наука и право
ЖОБ
Наука в Рунете

Поиск

Подпишитесь на «Элементы»



ВКонтакте
в Твиттере
в Фейсбуке
на Youtube
в Instagram





Главная / Плакаты / Гравитация / 6. Перевернутый небоскреб

Проект 6. Перевернутый небоскреб

 
Барон: В моем перевернутом небоскребе чем ближе к центру Земли, тем меньше вес. А в центре Земли — вообще невесомость, потому что жилец, находящийся в центре Земли, будет притягиваться во все стороны одинаково!

Профессор: Я боюсь, что в центре Земли никакой невесомости не будет. Наоборот, тела будут иметь бесконечно большой вес.

Бизнесмен: Я точно знаю, что по мере спуска под землю вес тел увеличивается.

Инженер: Сколько же времени понадобится, чтобы спуститься на нижний этаж?

Почему в центре Земли тела невесомы?

Прежде всего, попытаемся понять идею барона: он утверждает, что в центре Земли жилец будет притягиваться во все стороны одинаково, и поэтому будет находиться в состоянии невесомости. Чтобы эта мысль была более понятной, рассмотрим ситуацию, когда точечная масса m находится в центре кольца, состоящего из большого числа точечных масс M (рис. 6.1).

Ясно, что каждые две противоположно лежащие массы M тянут жильца в противоположные стороны с одинаковыми по величине силами . Поэтому равнодействующая всех сил, приложенных к точечной массе m, равна нулю.

В аналогичной ситуации будет жилец, находящийся в центре Земли.

Почему же Профессор опасается, что вес жильца в центре Земли будет бесконечно большим? Он просто вспомнил формулу закона всемирного тяготения из школьного учебника: , где m и M — массы тел, а R — расстояние между ними. Он решил, что поскольку в центре Земли расстояние между жильцом и Землей равно нулю, то получается, что

Профессор забыл, что закон всемирного тяготения справедлив только для точечных масс, то есть тел, размерами которых в условиях данной задачи можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними. Такое приближение, например, вполне допустимо при расчетах движения планет вокруг Солнца, но в условиях нашей задачи считать Землю точечной массой, конечно же, нельзя!

Как будет изменяться вес тела по мере приближения к центру Земли?

Бизнесмен утверждает, что по мере погружения вглубь Земли вес тела будет возрастать, а барон, напротив, судя по приведенному на плакате рисунку, полагает, что чем глубже под землей находится жилец, тем меньше он весит. Кто же из них прав? Правы оба! Действительно, при погружении на глубину до 2000 км, вес тела возрастает, при дальнейшем погружении — убывает, и в центре Земли становится равным нулю!

Разберемся с этим вопросом подробнее.

Какой вес имеет тело, находящееся внутри сферической оболочки?

Пусть точечная масса m находится в точке O' внутри сферической оболочки радиусом R (рис. 6.2) и пусть масса единицы площади поверхности сферы равна ρ.

Докажем, что равнодействующая всех гравитационных сил, действующих на точечную массу m со стороны сферы, равна нулю.

1. Построим две узких конических поверхности с малым углом раствора α и с общей вершиной в точке O', как показано на рис. 6.3. Эти конические поверхности «вырежут» на сфере кусочки поверхности, которые можно приближенно считать плоскими, что вполне допустимо, если угол α очень мал.

2. Площади вырезанных на сфере «кусочков» S1 и S2 пропорциональны квадратам их «диаметров» — отрезков AB и CD. Пусть AB = k·CD, тогда S1 = k2·S2, для масс вырезанных кусочков действует то же самое соотношение: m1 = k2·m2

3. Рассмотрим углы ABC и ADC. Они равны, как вписанные в окружность и опирающиеся на общую дугу АС, поэтому обозначим их одной буквой φ.

4. Два угла (α и φ) треугольника O'AB равны двум углам треугольника O'DC , следовательно, эти треугольники подобны. Из подобия треугольников следует, что если R1, R2 — расстояния от тела до центров масс соответствующих кусочков сферы, то R1 = k·R2.

5. Найдем соотношение сил, действующих на тело массой m, находящееся в точке O', со стороны тел массами m1 и m2, которые можно считать точечными (поскольку их размеры очень малы).

То есть F1 = F2, а значит, равнодействующая этих сил равна нулю.

6. Но ведь всю поверхность сферы можно разбить на такие пары противоположно лежащих «кусочков», и каждая такая пара даст равнодействующую, равную нулю.

Это значит, что суммарная сила, действующая со стороны сферы на точечную массу m, равна нулю. То есть сфера вообще не действует на точечную массу, расположенную внутри нее, в каком бы месте эта точечная масса ни находилась (совершенно необязательно, чтобы она находилась в центре сферы!).

Какой вес имеет тело, находящееся внутри шарового слоя?

Теперь от тонкой сферы перейдем к шаровому слою конечной толщины. Пусть точечная масса m теперь находится внутри шарового слоя (рис 6.4).

Ясно, что шаровой слой конечной толщины можно разбить на множество очень тонких концентрических шаровых слоев очень малой толщины — практически сфер. А каждая такая сфера, как мы только что выяснили, не оказывает воздействия на расположенную внутри нее точечную массу. Стало быть, и шаровой слой никак не будет действовать на точечную массу, находящуюся внутри него.

Точечная масса внутри однородного шара

А теперь перейдем к более сложному случаю: пусть точечная масса m находится внутри однородного шара радиусом R и плотностью ρ на расстоянии r от центра шара (рис. 6.5). Внешняя для точечной массы часть шара — наружный шаровой слой, — как мы только что доказали, на точечную массу действовать не будет, а внутренняя часть большого шара (малый шар радиусом r) будет притягивать нашу точечную массу с силой , где М =  — масса малого шара. Подставляя значение М в формулу для F, получим:

То есть сила тяжести прямо пропорциональна расстоянию до центра шара. Ясно, что если r = 0, то F = 0.

Значит, если бы Земля была однородным шаром, то вес тела действительно постепенно уменьшался с глубиной, и барон Мюнхаузен был бы абсолютно прав. Но на самом деле Земля не является однородным шаром: ее плотность с глубиной изменяется — а именно, увеличивается.

При погружении в шахту на величину силы тяжести оказывают действие два фактора: с одной стороны, уменьшается расстояние до центра Земли, поэтому сила тяготения увеличивается:

а с другой стороны, уменьшается масса «малого» шара, находящегося под погружаемым телом:

Вопрос в том, какой фактор окажет большее влияние на величину силы тяжести. Разберем два крайних случая.

1. Пусть шаровой слой над точечной массой m (см. рис. 6.5) имеет ничтожно малую плотность (ρ → 0), тогда масса «малого» шара радиусом r точно такая же, как и масса «большого» шара радиусом R. Тогда сила тяжести на расстоянии r < R от центра будет явно больше силы тяжести на расстоянии R от центра. То есть в этом случае при погружении в шахту сила тяжести будет возрастать.

2. Пусть нулевую плотность имеет «малый» шар (см. рис. 6.5), то есть вся масса сосредоточена в шаровом слое над точечной массой m. Тогда уже на расстоянии r от центра сила тяжести будет равна нулю:

Это значит, что при погружении на глубину ( r) величина сила тяжести уменьшилась от своего максимального значения до нуля.

Как мы уже говорили, Земля представляет собой неоднородный шар, причем плотность верхних слоев значительно меньше, чем плотность внутренних слоев. Поэтому при погружении под землю примерно до глубины 2000 км преобладает первый эффект — сила тяжести возрастает: , а потом сила тяжести начинает убывать — преобладает эффект убывания массы «малого» шара.

Сколько времени займет спуск до нижнего этажа?

Теперь ответим нашему Инженеру, которого интересует прежде всего практическая целесообразность проекта: как долго жилец перевернутого небоскреба будет спускаться до своей квартиры, если он живет в самом центре Земли?

Допустим, что лифт будет сначала разгоняться до какой-то очень приличной скорости (скажем, 1 км/c), потом будет какое-то время двигаться с этой скоростью, а в конце пути тормозить. Тогда для того, чтобы спуститься до центра Земли, потребуется время

(это без учета разгона и торможения!) Терпимо, конечно, но всё-таки довольно долго!

Гораздо эффективнее было бы предоставить лифту возможность свободно падать на первой половине пути, а на второй — тормозить с таким же по величине ускорением.

Сделаем грубую оценку времени спуска до центра Земли в этом случае. Будем считать, что среднее ускорение на участке от поверхности до глубины 3200 км равно 10 м/c2. Тогда время, за которое лифт преодолеет этот участок пути, равно

Ясно, что такое же время потребуется на торможение. Всего, стало быть, 800 + 800 = 1600 с ≈ 27 минут. Это уже вполне приемлемо!

Правда, при таком режиме движения первую половину пути пассажиры будут находиться в невесомости, а на второй половине они будут испытывать небольшие перегрузки. Но если в этом доме предполагается поселить, главным образом, космонавтов, то подобные ежедневные тренировки пойдут им только на пользу!

В заключение отметим еще одну трудность практической реализации проекта: дом должен быть абсолютно герметичным, во-первых, и очень прочным, во-вторых, так как атмосферное давление в центре Земли будет просто чудовищным!

Прикинем, каким будет давление воздуха в шахте глубиной «всего лишь» 100 км. (Заметим, что самые глубокие современные скважины не превышают пока 12 км.) Будем исходить из того, что на поверхности Земли атмосферное давление равно 100 000 Па, а плотность воздуха равна 1,29 кг/м3 и не меняется с глубиной (на самом деле, плотность с глубиной, конечно, возрастает, поэтому наша оценка будет заниженной).

Тогда искомое давление будет равно:

p = pa + ρgh ≈ 100000 Па + 1,29 кг/м3·9,8 м/c2·100000 м =

= 1364200 Па ≈ 13,6 атм.

Такое же давление под водой на глубине 136 м! А ведь речь пока идет только о глубине в 100 км, а центр Земли находится на глубине 6400 км!

О трудностях, связанных с тем, что глубоко под Землей, мягко скажем, жарковато, мы распространяться не будем. Возможно, кто-то предложит принцип охлаждения перевернутого небоскреба?

Далее: Проект 7. Супернебоскреб

Комментарии (7)
 


при поддержке фонда Дмитрия Зимина - Династия