Фрактальные размерности

Интуитивно мы понимаем термин размерность как число координат, необходимых для задания положения точки внутри фигуры. Так, любая линия (например, окружность или прямая) одномерна — достаточно всего одной координаты, чтобы точно указать точку, а плоскость и поверхность шара двумерны. Но в математике такое «определение» не всегда работает хорошо: его трудно применить к очень большому числу разнообразных фигур и множеств, в том числе и к фракталам. Поэтому фрактальную размерность определяют по-другому.

Допустим, что фигура F, размерность которой мы хотим найти, расположена на плоскости. А плоскость, в свою очередь, покрыта сеткой из квадратиков со стороной δ. Через N(δ) обозначим число квадратиков, которые пересекаются с фигурой F (объединение всех таких квадратиков содержит в себе F). Ясно, что это число зависит от размера квадратиков: чем они меньше, тем больше их нужно, чтобы покрыть фигуру. Если эта зависимость выражается степенным законом: число N(δ) пропорционально некоторой степени (1/δ)D, то будем считать (здесь мы несколько упрощаем реальное положение дел), что фигура F имеет размерность D (вполне может случиться, что число D не целое).

Это — определение фрактальной размерности по Минковскому. Для «хороших» фигур оно дает тот же результат, что и интуитивное представление о размерности. Например, посчитаем размерность квадрата со стороной 1 (располагая его на плоскости так, что стороны квадрата каждый раз лежат на линиях сетки): N(1) = 1, N(1/2) = 4, N(1/3) = 9, N(1/4) = 16, и т. д. Видно, что в этом случае D = 2, то есть квадрат двумерен, как и должно быть.

Далее: Как это рисовать?


0
Написать комментарий

    Элементы

    © 2005-2017 «Элементы»