Сверим часы

Что происходит со старой физической моделью, когда появляется новая более общая, которая описывает мир гораздо точнее? Чтобы этот вопрос не казался слишком абстрактным, давайте рассмотрим конкретный пример: что стало с теорией гравитации Ньютона, когда появилась общая теория относительности Эйнштейна?

Например, закон всемирного тяготения замечательно описывал движение небесных светил до тех пор, пока не появились данные об аномальной прецессии орбиты Меркурия. А поскольку, очевидно, мир функционирует (в частности, планеты обращаются вокруг Солнца) без оглядки на то, какими законами люди пытаются его описывать, получается, что у законов и теорий есть границы применимости: в каких-то случаях старая теория все же работает, а в каких-то уже приходится применять расчеты в рамках новой теории. Как же отличить одни случаи от других? Иногда оказывается, что можно ввести какой-нибудь параметр, который указывает на применимость той или иной теории. И в случае с гравитацией сделать это достаточно просто.

Если вы находитесь на расстоянии R от некоторого тела с массой M, то эффектами ОТО в целом можно пренебречь, если параметр ε = rg/R будет «много меньше» 1 (ε≪1), где rg = 2GM/c2 — гравитационный радиус. Такого рода «малые параметры» в физике встречаются сплошь и рядом — иногда физику даже называют «наукой малых параметров».

Значение rg показывает характерное расстояние, на которое надо приблизиться к точечному объекту массы M, чтобы эффекты ОТО стали значительными. Хотя, как мы увидим в послесловии, приблизиться именно на такое расстояние на самом деле невозможно.

Например, на поверхности Земли этот параметр можно легко оценить, подставив вместо M массу Земли, а вместо R — ее радиус. Гравитационный радиус для Земли составляет всего лишь 8,9 мм, и наш малый параметр ε для человека на поверхности Земли равен примерно 1,5×10−9, что, конечно, сильно меньше 1. То есть с неплохой точностью эффектами ОТО можно пренебрегать в расчетах, где большая точность не требуется.

С другой стороны, на поверхности, скажем, нейтронной звезды с массой 1,5 массы Солнца и радиусом 10 км параметр ε равен 0,4 (проверьте это), то есть эффекты ОТО будут вносить значительный вклад.

Но оказывается, этот параметр может не только указывать на важность или неважность эффектов ОТО: он годится и для того, чтобы по порядку величины оценивать численное значение этих эффектов. Например, точно известно, что в рамках общей теории относительности предсказывается отклонение света из-за гравитации тяжелого объекта. Проверить этот эффект можно во время солнечного затмения: тогда можно различить звезды рядом с диском Солнца, свет от которых оно отклоняет. Но нужно хотя бы примерно знать, насколько точные угловые измерения нужно сделать, то есть — насколько большим должен быть эффект отклонения. Если ответ нужен не точный, а приближенный по порядку величины, то можно пользоваться тем самым параметром, чтобы найти примерный угол отклонения.

Возьмем в качестве массы M массу Солнца, а в качестве расстояния R — длину наименьшего расстояния от пролетающего фотона до центра Солнца — то есть просто радиус Солнца. Гравитационный радиус Солнца равен 3 км, а малый параметр ε получается равным 4,2×10−6. Этот параметр как раз по порядку величины равен углу отклонения света (в радианах) — примерно 0,88 угловой секунды. На самом деле, если все посчитать честно в рамках ОТО, то реальное значение получится в два раза больше — 1,75 угловой секунды, и это значение было подтверждено Эддингтоном во время его экспедиции на остров Принсипи в 1919 году.

Фотография Солнца во время полного затмения, сделанная Эддингтоном во время экспедиции на остров Принсипи

Фотография Солнца во время полного затмения, сделанная Эддингтоном во время экспедиции на остров Принсипи 29 мая 1919 года. Тонкими белыми горизонтальными линиями отмечены звезды, отклонение света которых рассматривал Эддингтон. Если распечатать эту фотографию размером с лист A4, то отклонение положений звезд из-за гравитации Солнца составит меньше десятой части миллиметра. Фото с сайта en.wikipedia.org

Можно переформулировать наше эмпирическое утверждение: численное значение эффектов общей теории относительности можно по порядку величины оценить с помощью малого параметра ε. При этом, от результата строгого (то есть долгого и муторного) вывода в рамках ОТО ответ будет отличаться не сильно и совпадать с реальным значением по порядку величины (конечно, если ε≪1). Таким образом, чтобы примерно прикидывать численные эффекты ОТО, вам вовсе не обязательно владеть довольно громоздким математическим аппаратом общей теории относительности, а достаточно пользоваться малым параметром.

Смещение орбиты Меркурия

Давайте рассмотрим другой классический эффект. Известно, что в рамках ньютоновской гравитации в случае вращения одного тела вокруг другого, орбиты имеют строго эллиптическую форму, которая не меняется со временем. Однако, как мы уже упоминали в самом начале, уже в XIX веке люди знали, что орбита Меркурия слегка прецессирует, поворачиваясь примерно на 570 угловых секунд за столетие.

Система Солнце — Меркурий не изолирована: есть и другие планеты. Но их влиянием можно объяснить вращение примерно на 527 угловых секунд за столетие. А вот откуда берутся оставшиеся 43 угловых секунды, в XIX веке так и не удалось объяснить. Объяснение удалось дать позже, в рамках общей теории относительности (и это стало одним из веских аргументов в поддержку ОТО). Почему это произошло именно с Меркурием довольно понятно: эта планета находится близко к Солнцу, а, как мы видели выше, малый параметр ε обратно пропорционален расстоянию R, и чем меньше R, тем больше ε.

Давайте оценим по порядку величины поправку ОТО для этого случая. В качестве массы возьмем, опять же, массу Солнца, а в качестве расстояния — большую полуось орбиты Меркурия. Тогда малый параметр будет равен ε = 5,1×10−8. За один период Меркурий «пролетает» угол 2π радиан, поправка к которому равна 2πε. Это именно тот дополнительный угол, на который поворачивается орбита за один период Меркурия. За столетие (в земных годах) орбита поворачивается на

\[ \Delta\varphi=2\pi\varepsilon\cdot \frac{100~\text{лет}}{P_{\rm Меркурий}}=1,3\times10^{-4}=27,44''. \]

По порядку величины это, действительно, совпадает со значением 43''. Но если, опять же, честно посчитать в рамках ОТО, то получится ответ, совпадающий с наблюдательными данными.

Задача

Представим теперь, что вы хотите отправить спутник связи на орбиту высотой 400 км. Поскольку эффекты ОТО влияют на то, как время течет на разных расстояниях от Земли, то на орбите будет некоторая задержка часов относительно поверхности Земли.

Вы хотите понять, о какой задержке идет речь, хотя бы по порядку величины, используя «метод малого параметра», который обсуждался выше. Приняв радиус Земли равным 6378 км, оцените возникающую разницу между изначально синхронизированными часами на спутнике, летающем на высоте 400 км, и на наземной станции. Выразите ответ в секундах за столетие.


Подсказка 1

Земное тяготение влияет и на станцию, и на спутник. Однако параметр ε будет разным для этих двух случаев, так как расстояния до центра Земли разные.


Подсказка 2

Можно сперва вычислить задержку часов в обоих случаях относительно «бесконечно удаленного наблюдателя», который не подвержен влиянию гравитации Земли. Подумайте, как эта задержка связана с каждым из двух значений параметра ε из предыдущей подсказки.


Решение

Очевидно, что для наблюдателя, который бесконечно удален от Земли, никакого гравитационного замедления времени из-за ее притяжения нет. Поэтому часы, находящиеся бесконечно далеко, мы и будем брать в качестве эталонных.

Если использовать оценку через малый параметр, то часы на поверхности Земли будут отставать относительно бесконечно удаленных: одна секунда на Земле соответствует 1 − rg/RЗ секунд у бесконечно далекого наблюдателя, где rg — гравитационный радиус Земли, а RЗ — физический радиус Земли, то есть расстояние от центра Земли, на котором находятся первые часы. Аналогичная величина для спутника относительно того же бесконечно удаленного наблюдателя будет равна 1 − rg/(RЗ+400).

Отставание часов у Земли относительно бесконечно удаленного наблюдателя

Таким образом, задержку часов на Земле относительно часов на орбите спутника можно оценить как

\[ \frac{\Delta t}{t}=\varepsilon'=\frac{r_g}{R_{\text{З}}}-\frac{r_g}{R_{\text{З}}+400}. \]

Задержку часов за 100 лет можно узнать, умножив это число на t = 100 лет и для удобства переведя Δt в секунды. Получится примерно 0,3 секунды за 100 лет, то есть за один год часы на спутнике будут отставать относительно часов на Земле примерно на 3 миллисекунды. Если же посчитать честно по всем канонам ОТО, получится примерно в 3 раза больше — наша оценка не так уж и плоха.

Не смотря на то, что это очень маленькое число, пренебрежение такой поправкой оказывается непростительным для большинства спутников. К счастью, атомные часы способны давать гораздо более высокую точность, с помощью которой можно однозначно учитывать эти эффекты при проектировании спутников.


Послесловие

Нижняя часть установки для детектирования фотонов в эксперименте Роберта Паунда и Глена Ребки

Нижняя часть установки для детектирования фотонов в эксперименте Роберта Паунда и Глена Ребки (он на фото). Между излучателем и приемником была проложена труба из пластиковой пленки диаметром 40 см; она была заполнена гелием, чтобы предотвратить поглощение фотонов воздухом. Фото с сайта seas.harvard.edu

Рассмотренные выше гравитационная задержка времени, отклонение света в поле тяготения, прецессия орбит планет — далеко не полный список хорошо известных эффектов, предсказанных общей теорией относительности. Экспериментальное обнаружение каждого из них служило надежным подкреплением правоты ОТО. Причем, не всегда нужно «ходить» куда-то в космос, чтобы поймать эти эффекты. Примером служит эксперимент Паунда и Ребки, подтвердивший, что время действительно замедляется в поле тяготения.

Но если гравитационной задержке подвержено время, то можно ожидать, что такая же задержка будет и с «внутренними часами» фотонов, то есть с их частотой. В рамках ОТО фотон, излученный вблизи гравитационного объекта в сторону бесконечно удаленного наблюдателя, подвержен гравитационному красному смещению — его частота будет уменьшаться, а длина волны увеличиваться по мере удаления от объекта. Фактически фотон теряет энергию, преодолевая гравитационное влияние массивного объекта. И наоборот, фотон, излученный в сторону массивного тела, будет подвержен гравитационному синему смещению (увеличению частоты).

В своем эксперименте Паунд и Ребка исследовали гравитационное красное смещение гамма-фотонов, излученных возбужденным атомом железа 57Fe. Дело происходило в башне Джефферсоновской лаборатории Гарварда, а сама установка имела высоту 22,5 м: на верхнем конце располагался излучатель, а на нижнем — приемник довольно сложной конструкции также с атомами изотопа 57Fe, которые должны были поглотить гамма-фотоны в обратном процессе в случае, если их частота не поменялась.

Для увеличения точности эксперимента источник циклично двигали вверх и вниз, чтобы симулировать эффект Доплера, который при определенной скорости источника компенсировал бы гравитационное красное смещение, вызвав резонансное поглощение фотонов железом на нижнем конце установки.

Гравитационное красное смещение

Гравитационное красное смещение. Не следует путать этот эффект с красным смещением из-за эффекта Доплера при удалении галактик или движении звезд (см. задачу Радиальные скорости и экзопланеты). В частности, в эксперименте Паунда и Ребки гравитационное красное смещение было специально компенсировано эффектом Доплера, благодаря движению источника излучения. Рисунок с сайта theconversation.com

Может возникнуть вопрос, а почему, собственно, берется именно параметр 2GM/(Rc2)? На этот вопрос можно ответить двумя способами: феноменологически и физически.

1. Представьте, что вы хотите построить теорию гравитации, которая бы одновременно учитывала и ньютоновскую гравитацию, и специальную теорию относительности. Получается, что в вашей теории будет и константа G и скорость света c. Характерное «влияние» вашей теории при массе объекта M на расстоянии R будет описываться некоторым безразмерным параметром. Единственный способ сконструировать безразмерную величину из G, M, c и R — это как раз скомбинировать их в виде 2GM/(Rc2), что и будет показывать поправку вашей теории к уже существующей. Такой подход иногда называется размерным анализом.

Точно так же со специальной теорией относительности. Малым параметром в этой теории является ε = v/c, где v — некоторая скорость, с которой одно тело движется относительно другого. Например, эффект замедления времени на космическом корабле, движущемся со скоростью v относительно покоящегося наблюдателя, по порядку величины равен v/c (опять же, с точностью до некоторого коэффициента).

Примечательно то, что такой малый параметр в физике встречается сплошь и рядом. Например, эффекты квантовой механики при рассеянии частиц важны, когда характерное расстояние между частицами r порядка дебройлевской длины волны частиц λdB. Иными словами, квантовая механика не сильно важна, когда λdB/r ≪ 1.

2. Чтобы привести физическое объяснение этого малого параметра, давайте перепишем его в следующем виде: ε = 2(GM/R)/c2 = 2φ/c2, где φ = GM/R — это классический гравитационный потенциал на расстоянии R от объекта с массой M. Чем меньше потенциал (то есть сила гравитационного поля), тем меньше параметр ε, и, соответственно, тем меньше влияние эффектов ОТО.

Если у вас есть тело массы m на расстоянии R от массивного объекта с массой M, то, сравнив потенциальную энергию тела GMm/R и энергию покоя mc2, можно понять, насколько важны эффекты ОТО. Отношение этих величин и есть параметр ε.

Стоит отметить, что во всех упомянутых выше случаях параметр ε был сильно меньше единицы, то есть эффекты общей теории относительности пусть и можно было измерить, но они были очень слабыми. Такой предел общей теории относительности называется слабополевым.

До 1974 года все эксперименты ОТО были именно в слабополевом приближении, что, безусловно, является сильным аргументом в пользу ОТО, но лишь в определенном приближении. В 1974 радиоастрономами Расселом Халсом и Джозефом Тейлором на радиотелескопе в Аресибо была открыта двойная система из нейтронных звезд (двойной пульсар PSR B1913+16).

Обе нейтронные звезды обращаются по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс. Но астрономы заметили, что орбиты постепенно сужаются. Оказалось, что если посчитать потерю энергии за счет сужения орбиты, она окажется в точности такой же, как если бы эта система излучала, предсказанные в рамках уже сильнополевого приближения ОТО (при ε ~ 1) гравитационные волны.

Таким образом, двойная Халса-Тейлора стала первым доказательством как существования гравитационных волн, так и общей теории относительности в сильнополевом приближении. В 2016 году, как известно, состоялось первое в истории прямое детектирование гравитационных волн (Гравитационные волны — открыты!, «Элементы», 11.02.2016) замечательно совпадающее с предсказаниями общей теории относительности, и в корне закрепившее ее статус как единственной состоятельной теории гравитации.


16
Показать комментарии (16)
Свернуть комментарии (16)

  • anthelion  | 24.02.2017 | 15:55 Ответить
    Цитата:
    "Получится примерно 0,3 секунды за 100 лет, то есть за один год часы на спутнике будут отставать относительно часов на Земле примерно на 3 миллисекунды."
    Тут у вас опечатка, должно быть 300 миллисекунд.

    Цитата:
    "Точно так же со специальной теорией относительности. Малым параметром в этой теории является ε = v/c, где v — некоторая скорость, с которой одно тело движется относительно другого. Например, эффект замедления времени на космическом корабле, движущемся со скоростью v относительно покоящегося наблюдателя, по порядку величины равен v/c (опять же, с точностью до некоторого коэффициента)."
    Малым параметром в данном случае будет не v/c, а (v/c)^2.
    Ответить
    • haykh > anthelion | 24.02.2017 | 18:39 Ответить
      0.3 секунды и 300 миллисекунды - это одно и то же.

      Ну численно, да, вы правы, так как считается гамма-фактор. Но я же говорю про сам малый параметр, а не про его численное значение.
      Ответить
      • anthelion > haykh | 24.02.2017 | 18:54 Ответить
        Извините, это я перепутал. Конечно, вы правы.
        Ответить
        • persicum > anthelion | 24.02.2017 | 19:12 Ответить
          Ваш диалог - как разговор слепого с глухим. уж извините.

          В первом случае 300 мс за 100 лет, а за один год - как раз 3 мс

          Во втором случае малым параметром будет 1/2*(v/c)^2
          Двойкой в постоянном коффициенте можно принебречь(а можно и не принебрегать), но уж квадратом степени никак нельзя!
          Ответить
          • haykh > persicum | 25.02.2017 | 00:35 Ответить
            Ну, опять же, речь о наличии такого малого параметра, не о его значении.
            Ответить
  • Rend12  | 26.02.2017 | 18:13 Ответить
    Разве энергия фотона не сохраняется в статическом гравитационном поле? Фраза "фактически фотон теряет энергию, преодолевая гравитационное влияние массивного объекта" не совсем корректна, так как в статических полях всегда энергия строго сохраняется, и корректнее лучше сказать, что измеряющие частоту часы (атомы или атомные ядра) сами идут быстрее (увеличивают свои характерные частоты) на большей высоте, а частота фотона в статическом гравитационном поле с высотой не меняется. Так что фотон краснеет только относительно часов. /см. Окунь Л.Б., Селиванов К.Г., Телегди В. Гравитация, фотоны, часы. УФН 169 ( 10) 1141-1147 (1999)/
    Ответить
    • VICTOR > Rend12 | 27.02.2017 | 12:29 Ответить
      Как по честному считать ОТО я не вспомню. Простейшее представление гравитационного красного смещения - это представить фотон как частицу с массой h*nu/(c^2). Тогда получается, что на каждом изменении гравитационного потенциала d_phy/(c^2)=h*d_nu/(c^2).
      Другой способ - это честно вспомнить, как от изменения метрического тензора в 2 соседних точках должен преобразоваться 4-вектор {omega, k}.
      Ответить
    • haykh > Rend12 | 04.03.2017 | 07:37 Ответить
      Да. Это правда. Вы (как и Лев Борисович и ко) абсолютно правы, хотя бы потому, что в геометрической теории (коей является ОТО) и речи быть не может о какой-то там энергии поля.

      Но потенциальная энергия - это ровно такая же по "неправильности" метафора, как и мыслить о гравитации, как о силе или поле. Т.е. если вы считаете, что это "ок" говорить гравитационное поле, то и эта метафора имеет право на жизнь.

      Так что, вы правы, но не по той причине, по которой написали. Вы употребили термин "энергия" и "поле", хотя никакой энергии и поля там просто нет.

      По-хорошему надо сказать так: есть сохраняющаяся величина вдоль геодезической, которая определяется через вектора Киллинга для данной метрики. Для Шварцшильда это E = (1-r_g/r) dt/dp, где p - это некоторый параметр вдоль геодезической. Это не совсем энергия, да, это некоторый интеграл движения. Но именно благодаря сохранению этого интеграла движения и меняется частота фотона. Ну вот я взял и назвал это "энергией".
      Ответить
  • VICTOR  | 27.02.2017 | 12:23 Ответить
    Если говорить про гравитационные волны, то расчеты показывают, что зафиксировано было столкновение было столкновение 2 черных дыр массой от 20 до 40 масс Солнца. Есть ли какая-то теория возникновения дыр такой массы? Или просто у них огромное время "испарения" и они возникли где-то в процессе образования галактик вместе с центральными черными дырами?
    P.S. Источники гравитационных волн ещё не вышло локализовать с точностью до галактики? Или это фантастика, так как на таких расстояниях мы видим только скопления из нескольких десятков галактик?
    Ответить
    • haykh > VICTOR | 04.03.2017 | 07:20 Ответить
      Давайте по-порядку.

      1. Там 29 и 36 масс Солнца. Это, действительно, самые тяжёлые чёрные дыры звёздных масс, которые мы знаем. В принципе, это могут быть просто остатки очень массивных звёзд. Прикол в том, что для звёзд >~ 25-30 масс Солнца механизм взрыва сверхновой core-collapse не работает, так как оболочка слишком тяжелая и не может быть сброшена взрывной волной. Поэтому в принципе, так можно объяснить тот факт, что партнёр не был скинут с орбиты ударной волной. Но я сейчас спекулирую, по факту же - я, честно скажу, что не знаю, да и не уверен, что кто-то знает.

      Может быть, это результат каких-нибудь трёхтельных столкновений и поглощений, вроде бы такие столкновения должны происходить довольно часто в старых шаровых скоплениях. В общем, какой-то конкретики пока нет. Может быть в принципе что угодно.

      2. Нет, конечно, к центральным чёрным дырам никакого отношения они не имеют.

      3. Локализация источника - это за гранью фантастики на ближайшие несколько лет, пока не запустят другие гравитационно-волновые детекторы на той же частоте и чувствительности.

      > на таких расстояниях мы видим только скопления из нескольких десятков галактик
      Что вы имеете ввиду? На красном смещении z~0.1 находится вообще всё, на таком расстоянии самое интересное только начинается. :)
      Ответить
      • VICTOR > haykh | 18.03.2017 | 22:30 Ответить
        Последнее - я имел в ввиду точность локализации. Как было указано в прошлых новостях по теме гравитационных волн, получение информации о времени прихода грав. волны в 2 точки дает нам гиперболоид:
        (x/a)^2=1+(y/b)^2+(z/b)^2 (плюс учет погрешностей ну и конечно это в смысле x-x0, y-y0, z-z0)
        Для 3 точек это уже пересечение 3 гиперболоидов. С учетом огромного расстояния до источника получаем область пространства, которую я и оценил как "несколько десятков галактик". Это вроде нашей местной группы, пускай будет sigma = 1M l.y. (то есть в смысле например 10^18 куб. св. лет как характерный объем области, в которой расположен источник сигнала с вероятностью 68%). Возможно я ошибаюсь и там точность эксперимента даст найти эту область объемом 10^13-10^15 куб. св. лет.
        Ответить
        • haykh > VICTOR | 21.03.2017 | 06:11 Ответить
          Ну я не думаю, что в ближайшие годы удасться локализовать с точностью до галактики. Скорее с точностью до квадратного градуса - это уже будет хорошо. А в квадратном градусе на z~0.1 находится очень много чего.
          Ответить
  • Alexey Lubkin  | 27.02.2017 | 16:57 Ответить
    > одна секунда на Земле соответствует 1−rg/RЗ секунд у бесконечно далекого наблюдателя

    Разве не наоборот?
    В гравитационном поле часы идут медленнее.
    Пока на Земле прошла секунда, в космосе (грубо говоря) - две, а не полсекунды.

    Наблюдатель, приближающийся близко к горизонту событий чёрной дыры, увидит (с синим смещением) за секунду годы из окружающего мира и тепловую смерть Вселенной с Большым разрывом вперемешку. Мы же, глядя на беднягу, за долгие годы не увидим каких-либо шевелений на его застывших часах.
    Ответить
    • haykh > Alexey Lubkin | 04.03.2017 | 07:22 Ответить
      Ещё раз прочитайте, что вы написали.

      > В гравитационном поле часы идут медленнее.
      > Пока на Земле прошла секунда, в космосе (грубо говоря) - две

      Медленнее - это значит больше времени, а не меньше.
      Ответить
      • Alexey Lubkin > haykh | 05.03.2017 | 17:27 Ответить
        > Медленнее - это значит больше времени, а не меньше.

        Вроде бы всё верно у меня.
        1. Если часы идут медленнее (отстают), то когда везде прошло 24 часа, на этих часах только 23. Говорят: отстают на час в сутки. Т.е. на медленно идущих часах прошло меньше времени. Не больше.
        2. Вспомним Кипа нашего Торна и фильм, где он консультировал про эффекты ОТО. Группа космонавтов спустилась на водяную планету, где гравитационное искривление пространства-времени было выше (время идёт медленнее), чем на орбите, где остался их смуглый коллега. У них прошла пара-тройка минут внизу, но когда они вернулись на орбиту, то коллега их постарел на пару десятков лет. Понятно, преувеличено чуточку, но в знаке ошибки не должно быть. На поверхности планеты время течёт медленнее, стареют там медленнее, чем в то же время на орбите, где время течёт быстрее и стареют там быстрее (относительно планеты).
        3. Гравитационное красное смещение. На Земле работает источник излучения, частота 100 Герц. 1-й секунде на орбите соответствует 0.5 секунды (грубо) на Земле. Поэтому на орбите за 1 секунду мы получили только 50 волн излучения (частота снижена - красное смещение), отправленных с Земли. Ведь они были отправлены с Земли за 0.5 секунды.
        Ответить
      • Alexey Lubkin > haykh | 16.03.2017 | 20:10 Ответить
        К слову сказать, примерно равный вклад в скорость течения времени, но с противоположным знаком внесёт СТО. За 100 лет этот вклад составит ~1.094 секунды // = ((1-(7.9/3e5)^2)^-0.5-1)*100*86400*(365+31/128)
        Получается, за 100 лет на Земле на МКС пройдёт 100 лет + 1секунда (ОТО) - 1секунда (СТО).
        Т.е., чтобы точно узнать, медленнее или быстрее в итоге будут идти часы на МКС, придётся погружаться в дебри тензорного исчисления, т.к. вклад вносимый СТО и ОТО примерно равен по модулю, но противоположен по знаку, и точности "примерно в 3 раза больше, чем разница отношений гравитационного радиуса к высотам орбит" оказывается недостаточно.
        Ответить
Написать комментарий

Другие задачи


Элементы

© 2005-2017 «Элементы»