Сверим часы

Земное тяготение влияет и на станцию, и на спутник. Однако параметр ε будет разным для этих двух случаев, так как расстояния до центра Земли разные.

Можно сперва вычислить задержку часов в обоих случаях относительно «бесконечно удаленного наблюдателя», который не подвержен влиянию гравитации Земли. Подумайте, как эта задержка связана с каждым из двух значений параметра ε из предыдущей подсказки.

Очевидно, что для наблюдателя, который бесконечно удален от Земли, никакого гравитационного замедления времени из-за ее притяжения нет. Поэтому часы, находящиеся бесконечно далеко, мы и будем брать в качестве эталонных.

Если использовать оценку через малый параметр, то часы на поверхности Земли будут отставать относительно бесконечно удаленных: одна секунда на Земле соответствует 1 − r_g/R_З секунд у бесконечно далекого наблюдателя, где r_g — гравитационный радиус Земли, а R_З — физический радиус Земли, то есть расстояние от центра Земли, на котором находятся первые часы. Аналогичная величина для спутника относительно того же бесконечно удаленного наблюдателя будет равна 1 − r_g/(R_З+400).

Таким образом, задержку часов на Земле относительно часов на орбите спутника можно оценить как

Задержку часов за 100 лет можно узнать, умножив это число на t = 100 лет и для удобства переведя Δt в секунды. Получится примерно 0,3 секунды за 100 лет, то есть за один год часы на спутнике будут отставать относительно часов на Земле примерно на 3 миллисекунды. Если же посчитать честно по всем канонам ОТО, получится примерно в 3 раза больше — наша оценка не так уж и плоха.

Не смотря на то, что это очень маленькое число, пренебрежение такой поправкой оказывается непростительным для большинства спутников. К счастью, атомные часы способны давать гораздо более высокую точность, с помощью которой можно однозначно учитывать эти эффекты при проектировании спутников.

Нижняя часть установки для детектирования фотонов в эксперименте Роберта Паунда и Глена Ребки (он на фото). Между излучателем и приемником была проложена труба из пластиковой пленки диаметром 40 см; она была заполнена гелием, чтобы предотвратить поглощение фотонов воздухом. Фото с сайта seas.harvard.edu

Рассмотренные выше гравитационная задержка времени, отклонение света в поле тяготения, прецессия орбит планет — далеко не полный список хорошо известных эффектов, предсказанных общей теорией относительности. Экспериментальное обнаружение каждого из них служило надежным подкреплением правоты ОТО. Причем, не всегда нужно «ходить» куда-то в космос, чтобы поймать эти эффекты. Примером служит эксперимент Паунда и Ребки, подтвердивший, что время действительно замедляется в поле тяготения.

Но если гравитационной задержке подвержено время, то можно ожидать, что такая же задержка будет и с «внутренними часами» фотонов, то есть с их частотой. В рамках ОТО фотон, излученный вблизи гравитационного объекта в сторону бесконечно удаленного наблюдателя, подвержен гравитационному красному смещению — его частота будет уменьшаться, а длина волны увеличиваться по мере удаления от объекта. Фактически фотон теряет энергию, преодолевая гравитационное влияние массивного объекта. И наоборот, фотон, излученный в сторону массивного тела, будет подвержен гравитационному синему смещению (увеличению частоты).

В своем эксперименте Паунд и Ребка исследовали гравитационное красное смещение гамма-фотонов, излученных возбужденным атомом железа ⁵⁷Fe. Дело происходило в башне Джефферсоновской лаборатории Гарварда, а сама установка имела высоту 22,5 м: на верхнем конце располагался излучатель, а на нижнем — приемник довольно сложной конструкции также с атомами изотопа ⁵⁷Fe, которые должны были поглотить гамма-фотоны в обратном процессе в случае, если их частота не поменялась.

Для увеличения точности эксперимента источник циклично двигали вверх и вниз, чтобы симулировать эффект Доплера, который при определенной скорости источника компенсировал бы гравитационное красное смещение, вызвав резонансное поглощение фотонов железом на нижнем конце установки.

Гравитационное красное смещение. Не следует путать этот эффект с красным смещением из-за эффекта Доплера при удалении галактик или движении звезд (см. задачу Радиальные скорости и экзопланеты). В частности, в эксперименте Паунда и Ребки гравитационное красное смещение было специально компенсировано эффектом Доплера, благодаря движению источника излучения. Рисунок с сайта theconversation.com

Может возникнуть вопрос, а почему, собственно, берется именно параметр 2GM/(Rc²)? На этот вопрос можно ответить двумя способами: феноменологически и физически.

1. Представьте, что вы хотите построить теорию гравитации, которая бы одновременно учитывала и ньютоновскую гравитацию, и специальную теорию относительности. Получается, что в вашей теории будет и константа G и скорость света c. Характерное «влияние» вашей теории при массе объекта M на расстоянии R будет описываться некоторым безразмерным параметром. Единственный способ сконструировать безразмерную величину из G, M, c и R — это как раз скомбинировать их в виде 2GM/(Rc²), что и будет показывать поправку вашей теории к уже существующей. Такой подход иногда называется размерным анализом.

Точно так же со специальной теорией относительности. Малым параметром в этой теории является ε = v/c, где v — некоторая скорость, с которой одно тело движется относительно другого. Например, эффект замедления времени на космическом корабле, движущемся со скоростью v относительно покоящегося наблюдателя, по порядку величины равен v/c (опять же, с точностью до некоторого коэффициента).

Примечательно то, что такой малый параметр в физике встречается сплошь и рядом. Например, эффекты квантовой механики при рассеянии частиц важны, когда характерное расстояние между частицами r порядка дебройлевской длины волны частиц λ_dB. Иными словами, квантовая механика не сильно важна, когда λ_dB/r ≪ 1.

2. Чтобы привести физическое объяснение этого малого параметра, давайте перепишем его в следующем виде: ε = 2(GM/R)/c² = 2φ/c², где φ = GM/R — это классический гравитационный потенциал на расстоянии R от объекта с массой M. Чем меньше потенциал (то есть сила гравитационного поля), тем меньше параметр ε, и, соответственно, тем меньше влияние эффектов ОТО.

Если у вас есть тело массы m на расстоянии R от массивного объекта с массой M, то, сравнив потенциальную энергию тела GMm/R и энергию покоя mc², можно понять, насколько важны эффекты ОТО. Отношение этих величин и есть параметр ε.

Стоит отметить, что во всех упомянутых выше случаях параметр ε был сильно меньше единицы, то есть эффекты общей теории относительности пусть и можно было измерить, но они были очень слабыми. Такой предел общей теории относительности называется слабополевым.

До 1974 года все эксперименты ОТО были именно в слабополевом приближении, что, безусловно, является сильным аргументом в пользу ОТО, но лишь в определенном приближении. В 1974 радиоастрономами Расселом Халсом и Джозефом Тейлором на радиотелескопе в Аресибо была открыта двойная система из нейтронных звезд (двойной пульсар PSR B1913+16).

Обе нейтронные звезды обращаются по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс. Но астрономы заметили, что орбиты постепенно сужаются. Оказалось, что если посчитать потерю энергии за счет сужения орбиты, она окажется в точности такой же, как если бы эта система излучала, предсказанные в рамках уже сильнополевого приближения ОТО (при ε ~ 1) гравитационные волны.

Таким образом, двойная Халса-Тейлора стала первым доказательством как существования гравитационных волн, так и общей теории относительности в сильнополевом приближении. В 2016 году, как известно, состоялось первое в истории прямое детектирование гравитационных волн (Гравитационные волны — открыты!, «Элементы», 11.02.2016) замечательно совпадающее с предсказаниями общей теории относительности, и в корне закрепившее ее статус как единственной состоятельной теории гравитации.