Радиальные скорости и экзопланеты

В предыдущей задаче мы обсуждали метод транзитов — самый плодотворный способ обнаружения экзопланет. Проблема этого метода в том, что из него мало чего можно узнать о физических параметрах системы «звезда + экзопланета». В частности, единственный параметр, который можно получить напрямую — плотность звезды (это и предлагалось сделать в той задаче).

Второй по распространенности способ поиска экзопланет — метод радиальных скоростей. Суть его в следующем. Как известно, два гравитационно связанных тела будут вращаться вокруг общего центра тяжести. В случае с системой «звезда + экзопланета» центр тяжести обычно лежит очень близко к центру звезды, так как ее масса гораздо больше. Поэтому звезда почти не отклоняется под влиянием экзопланеты. Однако есть системы с планетами-гигантами типа Юпитера, которые расположены очень близко к своей звезде (см. Горячий Юпитер). В таких системах движение звезды заметно для современных телескопов.

Правда, улавливают они его не прямо, а косвенно — благодаря эффекту Доплера. Дело в том, что движение звезды в направлении луча зрения приводит к доплеровскому смещению спектра звезды (точнее, спектральных линий), и это смещение можно фиксировать. Схематично этот эффект показан на рис. 1.

Рис. 1. Метод радиальных скоростей

Рис. 1. Колебания звезды вокруг общего с экзопланетой центра масс приводит к периодическому смещению спектральных линий. Рисунок с сайта lcogt.net

Этим способом можно измерить так называемую полуамплитуду скорости звезды — проекцию «орбитальной» скорости вращения звезды вокруг общего центра масс на луч зрения. Эта величина аналитически выражается через массы планеты m и звезды M, период вращения планеты P и наклон орбиты относительно луча зрения i так:

\[ K = \left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3}\frac{m \sin{i}}{\left(M+m\right)^{2/3}}. \]

Зная закон всемирного тяготения, закон Ньютона, выражение для центростремительного ускорения и считая, что планета вместе со звездой движутся вокруг общего центра тяжести, полезно самому вывести эту формулу. Но для решения задачи она не потребуется.

Обратите внимание, что в числителе стоит m·sin i, то есть из этого метода невозможно независимо определить массу планеты и угол наклона, так как мы всегда видим лишь проекцию скорости на луч зрения. Такой эффект называется вырожденностью массы/угла наклона (англ. msin(i) degeneracy). Однако если сопоставить оба обсуждаемых метода для одной и той же системы, то можно выяснить еще кое-что.

Задача

На рисунке 2 изображена зависимость измеренной с помощью эффекта Доплера радиальной скорости звезды HD 189733 от времени (взято из статьи I. Boisse et al., 2008. Stellar activity of planetary host star HD 189733).

Рис. 2. Метод радиальных скоростей - график

Рис. 2.

Определите значение K из этого графика и, используя его, вычислите ускорение свободного падения на поверхности экзопланеты HD 189733b. Иначе говоря, выразите gP через K и найденные в задаче «Кривые блеска и экзопланеты» параметры T, τ, δ, P.

Примечание 1. Для простоты можно считать, что sin i ≈ 1 (можно в этом убедиться, зная отношение прицельного параметра b и радиуса орбиты экзопланеты).

Примечаниe 2. Приведенная выше аналитическая формула для K не потребуется.


Подсказка

Из времени прохождения экзопланеты по диску звезды (см. задачу «Кривые блеска и экзопланеты») можно найти отношение радиуса планеты к радиусу орбиты. Затем из закона сохранения импульса для системы «звезда + экзопланета» и закона тяготения Ньютона для планеты можно получить выражения ускорения свободного падения на поверхности планеты через ее период, полуамплитуду скорости звезды и отношение размера планеты к размеру орбиты.


Решение

По графику с рис. 2 можно измерить амплитуду скорости звезды и, взяв половину, можно найти K = 197,5 м/с. Это не совсем реальная скорость звезды, а лишь её проекция на линию взгляда.

Напомним обозначения из задачи «Кривые блеска и экзопланеты»: d — радиус орбиты планеты, r' — расстояние от центра диска планеты, на котором общая касательная дисков пересекает горизонтальную прямую, проходящую через этот центр (см. рис. 3 в решении той задачи), τ — время вхождения/выхода, Р — период обращения планеты, Rp — период ее обращения.

Очевидно, что \( 2r'/2\pi d=\tau/P \), так как скорость движения планеты постоянна. Отсюда, зная, что \( r'=R_{\rm p}/\cos{\beta} \), найдем:

\[ \frac{R_{\mathrm p}}{d}=\frac{\pi\tau}{P}\sqrt{1-b^2}. \]

Закон Ньютона для планеты будет выглядеть так:

\[ \frac{GMm}{d^2}=m\frac{v^2}{d}~~~\rightarrow~~~GM=v^2 d. \]

Разделив обе части на \( M R_{\mathrm p}^2 \) и умножив на m, получим:

\[ \frac{Gm}{R_{\mathrm p}^2}=g_{\mathrm p}=v^2\frac{d^2}{R_{\mathrm p}^2}\frac{m}{M}\frac{1}{d}.\]

Сделаем подстановку v = uM/m (следует из закона сохранения импульса), тогда в правой части возникнет множитель M/md, который можно заменить на дробь 2π/Pu (это следует из равенства 2πd/P = v), а u ≈ K, потому что они отличаются множителем sin(i) ≈ 1. Итого:

\[ g_{\mathrm p}=\frac{2}{\pi}u\frac{P}{\tau^2}\frac{1}{1-b^2}=19{,}7~\text{м/с}^2. \]

Это примерно в два раза больше ускорения свободного падения на Земле.

Важно отметить, что параметр «ускорение свободного падения на поверхности экзопланеты» был выбран не случайно. Дело в том, что другие параметры (радиус планеты, ее масса и т. д.) не определяются независимо друг от друга из данных, имеющихся из наблюдений прохождения и радиальной скорости. Ученые используют спектральные данные звезды для оценки ее массы и радиуса, чтобы в дальнейшем определить остальные параметры.

Ответ на вопрос задачи получен, но давайте проверим, что угол i действительно близок к 90°. Из чисто геометрических соображений ясно, что прицельный параметр b — это проекция радиуса орбиты на плоскость, перпендикулярную лучу зрения, поэтому \( b=\frac{d\cos{i}}{R_{\mathrm s}}. \) Отсюда \( \cos{i}=\frac{b}{d/R_{\mathrm s}}=0{,}08 \), то есть i ≈ 85° — как и должно быть: орбита лежит почти в плоскости луча зрения (иначе мы не видели бы прохождения).

Давайте также выведем аналитическое выражение для K. Обозначим расстояния от планеты (массой m) и звезды (массой M) до их общего центра тяжести через r и R соответственно, а расстояние между ними r + R = d. Центр тяжести определяется так, чтобы выполнялось равенство MR = mr. А из того, что и звезда, и планета совершают полный оборот за один и тот же период Р (или из закона сохранения импульса) следует, что Mu = mv, где u — это скорость звезды, а v — скорость планеты.

На звезду со стороны планеты действует сила GMm/d2, которая придает центростремительное ускорение u2/R. Это дает равенство

\[ \frac{Gm}{d^2}=\frac{u^2}{R}. \]

Скорость планеты нам ни к чему, поэтому заменим ее на v = 2π r/P и перепишем предыдущее уравнение:

\[ \frac{Gm}{(R+r)^2}=\frac{Gm}{R^2(1+r/R)^2}=\frac{u^2}{R}. \]

Подставив R = Pu/2π и r/R = M/m, в итоге получим:

\[ u^2=\frac{2\pi Gm}{Pu(1+M/m)^2}, \]

то есть

\[u=\left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3}\frac{m}{\left(m+M\right)^{2/3}}. \]

Вспомним, что K — это всего лишь проекция, и поэтому K = sin(i).


Послесловие

Как уже было отмечено выше, метод радиальных скоростей является вторым по эффективности способом обнаружения экзопланет, а до 2011–12 годов был самым эффективным (до активной фазы работы телескопа «Кеплер» по методу транзитов). Сейчас с помощью этого метода открыто свыше 500 планет, а всего измерения радиальной скорости сделаны для более чем 1600 планет.

Для проведения наблюдений с помощью этого метода требуются рекордно точные спектрометры, которые способны уловить колебание скорости звезды в несколько метров в секунду.

У массивных звезд тяжелые элементы почти полностью ионизированы из-за высокой температуры, поэтому линии поглощения, по смещению которых и определяют радиальную скорость звезды, почти отсутствуют. Помимо этого, опять же из-за слишком большой температуры, линии натуральным образом расширены из-за хаотичного движения молекул, что также усложняет определение их смещения. У маломассивных звезд, в свою очередь, излучение слабее и линии не достаточно четко видны. Ниже на рис. 3 приведены типичные спектры для звезд различного типа. Обратите внимание на расширенные линии у горячих массивных звезд спектральных классов O, B и A, а также на «загрязнение» спектра у холодных маломассивных звезд классов М и K молекулярными линиями TiO. Поэтому наиболее четкими измерения радиальной скорости получаются для звезд солнечного типа (спектральный класс G).

Рис. 3.

Рис. 3.

Такие точные измерения позволяют обнаруживать не только одиночные большие экзопланеты вокруг звезд, но и целые экзопланетные системы. К примеру, в системе звезды 55 Рака (55 Cancri) обнаружили целых пять экзопланет (см. D. A. Fisher et al., 2008. Five Planets Orbiting 55 Cancri).

Рис. 4. Орбиты части планет в системе 55 Рака

Рис. 4. Орбиты части планет в системе 55 Рака (черные линии) в сравнении с орбитами планет Солнечной системы (синие линии). Всего на данный момент в этой системе обнаружено пять планет (все — методом радиальных скоростей). Первой из них в 1996 году стала планета 55 Рака b (55 Cnc b). Рисунок с сайта wikiwand.com

Очевидно, что такой метод наиболее чувствителен к так называемым горячим Юпитерам — гигантским планетам с массами, сравнимыми с массой Юпитера, которые вращаются достаточно близко к своей звезде. Именно такие тяжелые и близкие экзопланеты сильнее всего возмущают скорость своей звезды.

Однако буквально несколько недель назад мир всколыхнуло открытие методом радиальных скоростей землеподобной экзопланеты. Вращается она вокруг самой близкой к нашему Солнцу звезды — красного карлика Проксима Центавра, который в 7 раз меньше и в 8 раз легче Солнца (см. G. Anglada-Escudé et al., 2016. A terrestrial planet candidate in a temperate orbit around Proxima Centauri). Массу планеты Проксима b оценили в 1,3 земных масс, она обращается вокруг своей звезды за 11,2 дня по орбите, радиус которой в 20 раз меньше радиуса земной орбиты.

Примечательно, что, несмотря на столь близкое расстояние к звезде, эта планета находится в обитаемой зоне, то есть на таком расстоянии от звезды, что вода на планете может находиться в жидком состоянии, (и удовлетворяется необходимое условие существования известных нам форм жизни). Дело в том, что Проксима Центавра принадлежит к классу М-карликов — маленьких звезд с очень низкой температурой поверхности (порядка 3000 К), поэтому ее обитаемая зона располагается гораздо ближе, чем у Солнца.

Планета Проксима b потенциально обитаема, но есть веские аргументы и против того, что там возможно существование жизни и даже воды в жидкой форме. Например, активность карликовых звезд класса М и их магнитное поле в среднем гораздо выше, чем у обычных звезд солнечного типа, а это может пагубно сказаться на атмосфере планеты, в особенности находящейся так близко к звезде.


0
Написать комментарий


    Другие задачи


    Элементы

    © 2005-2017 «Элементы»