Кривые блеска и экзопланеты

Из кривой блеска определите примерные значения параметров T, τ и δ. Считая, что интенсивность пропорциональна площади изображения, свяжите радиус планеты, радиус звезды и параметр δ.

С помощью T, τ и δ оцените параметр b, выразив его в радиусах звезды. Для этого упрощенно считайте, что касание диска планеты происходит не с кругом, а с прямой — касательной, а также — что при движении по диску звезды скорость планеты постоянна. При подсчете полного прохождения радиусом планеты можно пренебречь.

Из данного графика легко определить, что τ = 0,0175 дней, T = 0,0595 дней. δ определяется как разность относительной интенсивности в максимуме и интенсивности в минимуме: δ = 0,0245 = 2,45%.

Отношение площади диска планеты S_p к площади диска звезды S_s определяет долю «потерянной» интенсивности. Иначе говоря, \( S_{\mathrm p}/S_{\mathrm s} = R_{\mathrm p}^2/R_{\mathrm s}^2=\delta \). Отсюда \( R_{\mathrm s}/R_{\mathrm p}=6{,}4 \). Для сравнения, отношение радиуса Солнца к радиусу Юпитера примерно равно 10.

Двигаемся дальше по плану, намеченному в подсказках. Сейчас потребуется несколько геометрических упражнений. Пусть u — скорость перемещения диска планеты, R' — «горизонтальное» расстояние между центрами дисков, r' — расстояние от центра диска планеты, на котором общая касательная дисков пересекает горизонтальную прямую, проходящую через этот центр (рис. 3). Тогда \( \tau = 2r'/u \), \( T=2R'/u \).

Рис. 3. Схема расположения дисков планеты и звезды в момент начала прохождения

Поделив одно из этих равенств на другое, избавимся от скорости u и получим, что \( \tau / T = r'/R' \). Но R' и r' легко можно выразить через угол β и радиусы звезды и планеты: \( r'=R_{\mathrm p}/\cos{\beta} \), \( R'=R_{\mathrm s}\cos{\beta} \). В итоге имеем \( \tau/T = R_{\mathrm p}/R_{\mathrm s}\cos^2{\beta} \).

Угол β можно выразить через прицельный параметр: \( \sin{\beta}=b/R_{\mathrm s} \) (радиусом планеты пренебрегаем). Отсюда находим \( \cos{\beta} \). Зная отношение радиусов \( R_{\mathrm p}/R_{\mathrm s}=\sqrt{\delta} \), найдем:

Теперь, наконец, можно посчитать и плотность звезды. Запишем второй закон Ньютона для планеты (радиус орбиты обозначим d, а скорость планеты — v):

Сократив m и подставив вместо скорости \( v=\frac{2\pi d}{P}\), где Р — известный период обращения планеты, получим:

Умножив это равенство на d³ и разделив его на объем звезды \( V_{\mathrm s} = \frac{4\pi}{3} R_{\mathrm s}^3 \), получим плотность:

Мы знаем, что за время прохождения T планета проходит примерно путь в \( 2R'=2R_{\mathrm s}\sqrt{1-b^2} \) (здесь и ниже параметр b «обезразмерен» на радиус звезды). Отсюда:

и поэтому плотность равна ρ_s = 2,5 г/см³. Это примерно в 1,77 раз больше средней плотности Солнца.

Поиск планет вне Солнечной системы — экзопланет — казался фантастикой вплоть до конца XX века. Первым открытием считается результат 1992 года, когда после двухгодичных наблюдений группа наблюдателей во главе с польским астрономом Александром Вольщаном нашла две планеты, вращающиеся вокруг пульсара PSR B1257+12.

Однако на самом деле экзопланеты обнаруживали и раннее: в 1988 году две группы астрономов независимо друг от друга (причем первую и вторую публикацию разделил почти год) очень осторожно сказали о возможности существования «субзвездных объектов» в двойной системе γ Цефея. Слово «планета» тогда не употребляли, чтобы не вызвать лишнего ажиотажа и волны критики. Как оказалось, зря: более поздние наблюдения подтвердили существование планеты типа Юпитера в этой системе.

Чтобы обрисовать историю и нынешнюю ситуацию с экзопланетами и «масштабы бедствия», давайте немного посмотрим на статистику. С 1992 по 2013 год было обнаружено в общей сложности около 800 экзопланет, однако настоящий бум в этой области начался с развитием систем наземных телескопов и запуском в космос телескопа «Кеплер», специально предназначенного для поиска характерных колебаний яркости во время затмений звезды планетой (транзитная фотометрия). И всего за пару лет «Кеплер» нашел больше экзопланет, чем все остальные телескопы другими методами за последние 20 лет. На рис. 4 показана динамика числа открытых экзопланет по годам.

Рис. 4. Темпы открытия экзопланет. За 1992–2013 годы было открыто около 800 экзопланет. За 2014–2016 годы (по состоянию на 28 июля) в ходе анализа данных телескопа «Кеплер» — больше 2000, то есть за последние 2,5 года было открыто почти в три раза больше экзопланет, чем за 20 лет до этого. Цвет указывает на метод обнаружения. График с сайта exoplanetarchive.ipac.caltech.edu

Сейчас у астрономов общепринято мнение, что в среднем на каждую звезду нашей Галактики приходится чуть больше одной планеты. Это дает больше сотни миллиардов планет только лишь в Млечном Пути. Правда, до сих пор достоверно известно всего лишь около 3000 экзопланет, и еще примерно 2500 неподтвержденных объектов ожидают подтверждения в этом статусе.

Рис. 5. Кривая блеска звезды TrES-1. Во время прохождения экзопланеты телескоп «Хаббл» зафиксировал небольшое увеличение яркости, которое видно, как небольшой пик на правом графике. Слева показаны данные с наземного телескопа, в которых этот пик тонет в шумах. Ученые интерпретируют этот пик как прохождение планеты по пятну на звезде. Графики из статьи M. Rabus et al., 2009. A cool starspot or a second transiting planet in the TrES-1 system?

Как видно, подавляющее большинство экзопланет открыто с помощью метода транзитов. Этот метод позволяет извлечь довольно много информации о наблюдаемой системе. Например, во время одного из наблюдений прохождения телескоп «Хаббл» увидел странный пик в кривой блеска (рис. 5), который не был виден на наблюдениях с Земли из-за большого разброса точек (вызванного влиянием атмосферы). Считается, что такой «пичок» может быть свидетельством того, что диск планеты проходит по звездному пятну, тем самым загораживая его. На мгновение общая интенсивность подскакивает. Такое наблюдается довольно часто, и с помощью этого эффекта даже определяют наклон оси вращения звезды относительно оси вращения планеты вокруг звезды (см., например, R. Sanchis-Ojeda et al., 2012. Alignment of the stellar spin with the orbits of a three-planet system).

Рис. 6. Иллюстрация эффекта «потемнения к краю». Грубо говоря, точка А кажется ярче точки В, потому что из точки А до наблюдателя доходит больше фотонов и они в среднем «горячее», чем фотоны из точки В. Схема с сайта wikiwand.com

Внимательный читатель мог заметить странную особенность кривых блеска при прохождении планеты. «Донышко» кривых при прохождении не абсолютно плоское, а имеет выпуклую форму. Такой эффект проявляется из-за того, что поверхность диска неоднородна по яркости. Действительно, есть так называемый эффект «потемнения к краю»: в центре диска звезда ярче, чем по краям (см. Limb darkening). Это связано с тем, что температура звезды распределена не однородно по объему, и, смотря в центральные части диска, вы «погружаете взгляд» в более горячие глубокие области. С помощью прохождения можно пробовать моделировать «неровное донышко» и оценивать различные модели атмосферы и распределения температур звезды (N. Espinoza, A. Jordán, 2015. Limb darkening and exoplanets: testing stellar model atmospheres and identifying biases in transit parameters).

У метода прохождения есть и несколько проблем. Во-первых, из него мы мало чего можем узнать о физических параметрах системы звезда-экзопланета. Плотность звезды, которую как раз и предлагалось посчитать читателю, — единственный физический параметр, который можно узнать напрямую. Поэтому зачастую метод прохождения используют вместе с другими наблюдениями. Например, если это звезда главной последовательности, то из ее светимости можно узнать ее массу, а зная массу и плотность, можно узнать радиус. Далее, например, зная отношение радиусов планеты и звезды (из параметра δ), можно оценить размер самой планеты.

Во-вторых, метод прохождения очень сильно ограничен эффектом селекции: мы видим прохождения только для тех планет, плоскости орбит которых почти сонаправлены с линией взгляда. Насколько силен этот эффект?

Так как при формировании протопланетных дисков, из которых далее образуются планеты, нет выделенного направления (структура галактики имеет несопоставимые масштабы, чтобы как-то влиять на образование протопланетного диска), то в таких системах нет выделенного направления, и протопланетные диски (соответственно, и орбиты планет), направлены случайно. Считая угол наклона свободным параметром, оценим вероятность того, что Земля попадет в область тени. Тень образуется в углах от −Θ до +Θ, где величина Θ определяется из соотношения tg Θ = R_s/d (R_s — радиус звезды, d — расстояние от звезды до планеты, рис. 7). Отсюда телесный угол тени Ω = 2π×2Θ. А вероятность p = Ω/4π = Θ. Подставив вместо R_s радиус Солнца, вместо d — 1 а. е., получим p = 0,005. Иначе говоря, примерно 99,5% всех экзопланет мы не сможем поймать методом транзитов.

Рис. 7. Область тени, в которой должен оказаться наблюдатель, чтобы обнаружить экзопланету методом транзитов. Рисунок из статьи J. N. Winn, 2014. Transits and Occultations

Литература:
1) Про метод прохождения: статьи J. N. Winn, 2014. Transits and Occultations и S. Seager, G. Mallén-Ornelas, 2003. A Unique Solution of Planet and Star Parameters from an Extrasolar Planet Transit Light Curve.
2) Про динамику движения экзопланет: Carl D. Murray, Alexandre C. M. Correia, 2011. Keplerian Orbits and Dynamics of Exoplanets.
3) Открытая база со всей информацией обо всех известных нам экзопланетах, со всеми известными параметрами и ссылками на оригинальные работы: exoplanets.org и exoplanetarchive.ipac.caltech.edu.