Астрономическая единица

Задача измерения космических расстояний стояла перед астрономами с самых давних времен. В одной из задач мы уже обсуждали современные методы измерения расстояний до далеких галактик. Но вся эта эпопея с измерением расстояний начиналась с ближайших к нам объектов солнечной системы.

Здесь применим метод параллакса, который основывается на том, что конкретный небесный объект находится не слишком далеко, и его положение на небе зависит от того, откуда на него посмотреть. Подобным образом, кстати, работает и стереоскопическое восприятие наших глаз, с помощью которого мозг определяет примерное расстояние до объектов: левый и правый глаз видят объект под разными (хотя и близкими) углами. Зная углы и расстояния между глаз — так называемую длину базы, — можно довольно точно оценить расстояние до объекта (рис. 1).

Рис 1. Метод геодезической триангуляции (параллакса)

Рис 1. Метод геодезической триангуляции (параллакса). Если известно значение L и один из углов θ, а другой угол для простоты прямой, то расстояние D равно L·tg θ. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

В геодезии такой метод измерения расстояний называется триангуляцией. Ну а в астрономии через параллаксы можно точнее всего посчитать расстояния до ближайших к нам звезд. В качестве базы в этом случае берется полуось орбиты Земли и угловое положение звезды определяется два раза с промежутком в полгода. Но с чего все это началось? Откуда мы знаем размер орбиты Земли?

Астрономическая единица (среднее расстояние от Земли до Солнца) — один из основных стандартов расстояний в космосе — была принята на вооружение после того, как Кеплером была предложена и обоснована гелиоцентрическая система, в которой Земля обращается вокруг Солнца по (почти) круговой орбите. Естественным решением было принять радиус этой орбиты за единицу измерения.

Сейчас параметры земной орбиты измерены с огромной точностью, однако тогда, в XVIII веке, астрономия уперлась в тупик. Ученые к тому времени смогли определить расстояния до многих планет в Солнечной системе, выразив их в астрономических единицах. Но само значение астрономической единицы в привычных человеку единицах (например, километрах) точно известно не было.

При этом уже был довольно точно измерен радиус Земли. Тем самым, значение базы было достоверно известно, и требовалось лишь измерение параллактического угла до любого из объектов солнечной системы, до которого было известно относительное расстояние в астрономических единицах.

Поэтому астрономы всего мира возлагали огромные надежды на прохождение Венеры по диску Солнца в 1761 и 1769 годах. Правильно организованное наблюдение этого явления потенциально позволило бы измерить параллакс Венеры относительно параллакса Солнца (точнее, их разность), и, зная радиус Земли (длину базы) узнать астрономическую единицу.

Дело в том, что с разных точек Земли прохождение Венеры по диску Солнца выглядит по разному (рис. 2). Если бы удалось измерить эти траектории в разных точках, то задача была бы решена, потому что затем можно либо найти непосредственно угловые размеры этих траекторий, либо — время прохождения, и уже из него найти требуемое. Так и получилось: в результате наблюдений, проходивших в разных точках земного шара, ученые смогли определить значение астрономической единицы с достаточно высокой точностью.

Рис. 2. Схематическое изображение того, как различаются прохождения, наблюдаемые с разных широт

Рис. 2. Схематическое изображение того, как различаются прохождения, наблюдаемые с разных широт

В частности, Томас Хорнсби получил значение расстояния от Земли до Солнца примерно 93 726 900 английских миль (150 838 449 км), что очень близко к истине.

Рис. 3. Диаграмма, сделанная Дэвидом Риттенхаусом во время наблюдения прохождения Венеры в 1769 году

Рис. 3. Диаграмма, сделанная Дэвидом Риттенхаусом во время наблюдения прохождения Венеры в 1769 году. Изображение с сайта en.wikipedia.org

В этой задаче предлагается проделать похожие измерения параллакса Венеры.

Задача

Даны две фотографии прохождения Венеры, сделанные одновременно в 22:25:52 UTC 5 июня 2012 года (рис. 4). Слева — фотография, сделанная в городе Принстон, штат Нью-Джерси. Справа — фотография, сделанная с вершины вулкана Халеакала на острове Мауи, Гавайи.

Рис. 4.

Рис. 4.

Различия в расположении диска Венеры связаны с параллаксом. Известно, что расстояние от Земли до Венеры в момент снимка составляло 0,2887 а. е., расстояние до Солнца — 1,0147 а. е. угловой размер Солнца — 31,57 угловых минуты, а эффективный радиус Земли можно принять за 6378,1 км. В момент, когда были сделаны фотографии, на Гавайях Венера находилась почти точно в зените. Определите по этим данным и фотографиям расстояние от Земли до Солнца.


Подсказка 1

Определение длины базы в общем случае — довольно сложный вопрос. Однако в момент снимка Солнце на острове Мауи находилось почти в точности в зените. В этом можно убедится с помощью программы Stellarium, выставив текущее положение в Гавайях и время 12 часов 25 минут 5 июня 2012 года.

В таком случае длина базы определяется легко (рис. 5).

Рис. 5.

Рис. 5.


Подсказка 2

Прежде чем что-то измерять, нужно учесть, что фотографии сделаны со случайной ориентацией камеры, поэтому нужно правильно их сопоставить, чтобы измерить реальное смещение Венеры. Сделать это можно, используя в качестве фона Солнце, а точнее, солнечные пятна. Правда, тогда измеренный параллакс будет относительным, так как у Солнца тоже есть свой параллакс.


Решение

Повозившись, можно сопоставить два предложенных изображения Венеры на диске Солнца в графическом редакторе. Так как границы Солнца довольно размытые из-за облаков и потемнения к краю, можно ориентироваться на солнечные пятна. Достаточно совместить три пары пятен. Вот, что получится в результате (фото слегка обработаны для выделения краев):

Рис. 6.

Рис. 6.

Затем находим центры двух силуэтов Венеры (рис. 7). Поскольку пока идет работа c изображениями, то мерить расстояния можно в пикселях, но потом, естественно, придется перевести все в «нормальные» единицы длины. Координаты центров получаются такими: C1 (красный центр на рис. 7) — X: 624,5 px, Y: 317 px, C2 — X: 631,5 px, Y: 324,5 px.

Рис. 7.

Рис. 7.

Теперь считаем относительный параллакс Венеры (тоже в пикселях):

\[ p=\sqrt{(624{,}5-631{,}5)^2+(317-324{,}5)^2}=10{,}3\pm0{,}25~\text{px}. \]

У вас могло получиться другое число, но это нормально, ведь эти величины относительны, а конкретные их значения зависят от величины и разрешения фотографий.

Диаметр Солнца можно тоже измерить в пикселях (рис. 8), и это даст шкалу перевода. На наших картинках получается, что Ds = 936±1 px, что соответствует значению 31,57±0,005 угловых минуты или 1894,2±0,3 угловых секунды. Отсюда 1 px = 2,024±0,002 угловых секунды.

Рис. 8.

Рис. 8.

Получаем, что параллакс Венеры (относительно Солнца) равен

pvs = 10,3·2,024 = 20,9±0,5 угловых секунды.

Так как мы хотим найти абсолютное значение астрономической единицы, нас интересует абсолютный параллакс Венеры. Обратите внимание на рис. 9. На нем pv и ps — это реальные параллаксы Венеры и Солнца, а pvs — параллакс Венеры относительно Солнца (то, что мы посчитали выше). Из рисунка ясно, что pvs = pv − ps.

Рис. 9. Схема расположения наблюдателей, Венеры и Солнца в момент наблюдений

Рис. 9. Схема расположения наблюдателей, Венеры и Солнца в момент наблюдений. A и B — наблюдатели, E — центр Земли, V — Венера, S — Солнце

Так как углы малые, будем пользоваться приближенными равенствами для малых углов: sin φ ≈ tg φ ≈ φ в радианах. Тогда в обозначениях рис. 9: d/EV ≈ pv, d/ES ≈ ps, где EV и ES — расстояния от Земли до Венеры и Солнца соответственно. Отсюда находим реальный параллакс:

\[ p_v=\frac{p_{vs}}{1-\frac{EV}{ES}}=29{,}2\pm 0{,}7~\text{угловых секунды}. \]

С помощью любого картографического сервиса с функцией измерения расстояний на поверхности Земли (или каким-нибудь другим способом) определяем, что кратчайшее расстояние между двумя точками наблюдения составляет 7834 км (рис. 10). Это длина дуги AB на рис. 9. Тогда α ≈ 1,2282 радиан, и можно найти длину базы: d ≈ 6007,6 км.

Рис. 10.

Рис. 10.

Остается самое простое. Зная длину базы и параллакс, можно найти расстояние до Венеры: dv = d/pv =42±1 млн км. А поскольку известно, что относительное расстояние до Венеры в астрономических единицах равно 0,2887 а. е., то получаем, что 1 а. е. = 147±3 млн км. Точность этих вычислений можно было бы значительно улучшить с помощью снимков более высокого разрешения.


Послесловие

Неудивительно, что первые более-менее точные измерения значения астрономической единицы были сделаны именно с помощью транзита Венеры. Само Солнце было довольно плохим кандидатом для таких наблюдений, так как оно — не точечный объект, и, кроме того, измерения углов в XVIII веке были довольно неточными. По той же причине было довольно сложно измерить параллакс Марса.

Венера сама по себе, которая в нижнем соединении располагается ближе к Земле, чем Марс, тоже не очень удобна. Дело в том, что в такой позиции Венера находится прямо между Землей и Солнцем и поэтому представляет собой тонкую полоску нимба. Да и само Солнце в таком случае сильно затрудняет измерения углового расположения Венеры относительно фоновых звезд. Поэтому парное прохождение Венеры по диску Солнца в 1761 и 1769 годах стало поистине грандиозным событием в мире науки того времени.

С параллаксом и астрономической единицей связана еще одна мера длины, часто встречающаяся в астрофизике и космологии. Как уже отмечалось выше, с помощью метода параллакса астрономы сегодня измеряют расстояния до ближайших объектов вне Солнечной системы (рис. 11)

Рис. 11. Полугодовое смещение близкой звезды на фоне далеких звезд

Рис. 11. Полугодовое смещение близкой звезды на фоне далеких звезд. Рисунок с сайта sci.esa.int

Из-за обращения Земли вокруг Солнца, изображение звезды на фоне далеких звезд, которые не подвержены (или гораздо слабее подвержены) эффекту параллакса, будет слегка сдвигаться (на параллактический угол). По определению, если параллакс звезды равен 1 угловой секунде — то звезда находится на расстоянии 1 парсека (сокращенно пк), это примерно 3,26 светового года. Иначе говоря, 1 парсек — это расстояние, с которого система Земля—Солнце имеет угловой размер всего лишь в 1 угловую секунду.

Расстояние до ближайшей к нам звезды, Проксимы Центавра, составляет 1,301 парсек. До центра нашей Галактики — 8000 парсек (8 килопарсек). До ближайшей к нам крупной галактики Андромеды — 778 кпк.

В астрофизике и космологии используется именно эта единица измерения расстояний, а не световые годы, как многие думают. В частности, например, постоянная Хаббла по данным телескопа «Планк» примерно равна 68 км/с/Мпк, то есть через каждый мегапарсек (миллион парсек) скорость «убегания» галактик из-за расширения Вселенной возрастает на 68 км/с.

Измерение расстояний в космологии, как уже говорилось выше, это важнейшая проблема, которая на протяжении многих десятилетий стоит перед астрономами.

В основном методом параллакса измеряют расстояния до нескольких сотен парсек. Однако здесь есть и своеобразный рекорд. Он был поставлен телескопом «Хаббл», который смог измерить точный параллакс звезд на расстоянии до 5000 парсек! Для этого телескопу потребовалась разрешающая способность в 20 микросекунд дуги (использовалась техника накопления наблюдений, которая улучшала точность измерения при ограниченной разрешающей способности). Это все равно, что с Земли прочитать надпись на листе бумаги, который держит космонавт на Луне.

Более далекие расстояния измеряются другими способами, например, с помощью стандартных свеч (типа сверхновых, звезд типа RR Лиры, цефеид и т. д.). Проблема в том, что все эти измерения зависят от конкретных моделей, и поэтому не являются независимыми. Для этого их необходимо калибровать на модельно независимых методах, таких как параллакс.

Однако и эти модели имеют свои границы применимости, дальше которых нужны новые методы, которые нужно, опять же, калибровать на старых. Эта система методов, каждая из которых работает на более далеких объектах, но калибруется на близких с помощью предыдущих методов, называется космологической «лестницей» расстояний (см. также статью М. Мусина «Звезда с звездою говорит»). И берет свое начало эта лестница как раз в методе, изученном в этой задаче.


0
Написать комментарий


    Другие задачи


    Элементы

    © 2005-2017 «Элементы»