Элементы Элементы большой науки

Поставить закладку

Напишите нам

Карта сайта

Содержание
Энциклопедия
Новости науки
LHC
Картинка дня
Библиотека
Видеотека
Книжный клуб
Задачи
Масштабы: времена
Детские вопросы
Плакаты
Научный календарь
Наука и право
ЖОБ
Наука в Рунете

Поиск

Подпишитесь на «Элементы»


ВКонтакте
в Твиттере
в Фейсбуке



Библиотека

 
Ф. Вильчек
«Красота физики». Глава из книги


К. Каренина, А. Гилёв
Зачем степи артезианы?


Н. Резник
Густой волос и низкий голос


Дж. Бэрроу
«История науки в знаменитых изображениях». Глава из книги


М. Борисов
Хеопс на подошве Имхотепа и сад камней


С. Дробышевский
«Европейский папуас», или «Человек мира»: мужчина с Маркиной горы


М. Москалева
Студенты МГУ против лженауки


Ж. Резникова
И даман поманил за собой


В. Сурдин
Поиски новых планет


С. Горбунов
Сeratotherium simum cottoni. Последний из могикан







Главная / Новости науки версия для печати

Метрика Карла Шварцшильда: предыстория, история и часть постистории


Карл Шварцшильд в своем рабочем кабинете

Карл Шварцшильд в своем рабочем кабинете в Потсдамской астрофизической обсерватории, директором которой он стал в 1909 году. Фото с сайта ru.wikipedia.org

Сто лет назад действительный член Королевской Академии наук Пруссии Карл Шварцшильд послал своему собрату по Академии Альберту Эйнштейну статью с математическим описанием поля тяготения вне и внутри сферы, заполненной неподвижной жидкостью постоянной плотности. Эта работа стала началом теоретических исследований экзотических объектов, которые мы называем черными дырами.

Озарение Джона Мичелла

История создания современной теории черных дыр и их открытия в космическом пространстве слишком обширна и сложна, чтобы ее можно было без пропусков и упрощений уложить в статью разумного размера. Поэтому я доведу повествование только до первых примеров использования математической модели Шварцшильда в реальной астрофизике, которые имели место почти через четверть века после публикации его замечательной статьи. Однако в противоположном направлении я залезу в историю куда дальше — в конец XVIII столетия. Как раз тогда, в 1784 году, в официальном журнале Лондонского Королевского общества появилась статья с непривычно (во всяком случае, для нас) длинным заголовком: On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. of the Fixed Stars, in Consequence of the Diminution of the Velocity of Their Light, in Case Such a Diminution Should be Found to Take Place in any of Them, and Such Other Data Should be Procured from Observations, as Would be Farther Necessary for That Purpose. By the Rev. John Michell, B. D. F. R. S. In a Letter to Henry Cavendish, Esq. F. R. S. and A.S. Ее автор, преподобный Джон Мичелл (John Michell), уже тогда умел вычислять физическую величину, которая сейчас носит имя радиуса Шварцшильда. Хотя эта работа ни в каком смысле не может считаться предшественницей современной концепции черных дыр, исторической полноты ради начать надо именно с нее.

Есть все основания назвать Джона Мичелла (1724–1793) самым блестящим английским ученым XVIII века, окончившим курс Кембриджского университета. Он получил образование в Колледже Королев (Queens' College), где затем преподавал с 1751-го по 1763 год. Женившись, он приличного дохода ради стал искать церковную должность, и с 1767 года до самой смерти был настоятелем (ректором) прихода Св. Михаила в деревне Торнхилл неподалеку от Лидса. Он и там продолжал заниматься наукой — до конца жизни.

Мичелл был замечательным и в высшей степени оригинальным исследователем. Его заслуженно считают отцом-основателем сразу двух наук — сейсмологии и звездной статистики. Мичелл первым обнаружил, что сила отталкивания между одноименными полюсами постоянных магнитов убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, и задолго до Шарля Кулона (Charles-Augustin de Coulomb) изобрел и сделал «в железе» крутильные весы, которые хотел, но не успел использовать для гравиметрических экспериментов. Уже после смерти Мичелла его друг Генри Кавендиш (Henry Cavendish), который получил этот прибор и самостоятельно построил его модифицированную версию, выполнил прецизионные промеры силы тяготения, результаты которых уже в начале XIX века позволили вычислить гравитационную постоянную с ошибкой всего лишь порядка одного процента. (Возможно, стоит напомнить, что эта фундаментальная физическая константа, как принято считать, впервые появилась в первом томе знаменитой монографии Симеона Дени Пуассона (Siméon Denis Poisson) Traité de mécanique, а широко использоваться физиками стала только во второй половине XIX века.) К слову, статья Мичелла, о которой идет речь, была отослана именно Кавендишу, зачитавшему ее на нескольких заседаниях Королевского общества в конце 1783-го и в начале 1784 года. Мичелл, и сам активный член Общества с 1760 года, тогда не смог или не захотел приехать в Лондон (почему именно, неизвестно).

К сожалению, Мичелл был неважным коммуникатором. Он часто включал свои самые замечательные результаты в тексты длинных журнальных статей, где описания открытий почти терялись на довольно трюистичном фоне. Из-за этого Мичелл ни при жизни, ни после смерти не получил того признания, которое он, несомненно, заслуживал.

Во вводном письме к Кавендишу, предваряющем основную статью, Мичелл очень четко сформулировал цель нового исследования. Он, как и другие британские ученые того времени, вслед за Ньютоном считал свет потоком мельчайших частиц. Мичелл также вслед за Джозефом Пристли (Joseph Priestley) предположил, что эти частицы, как и обычная материя, подчиняются законам механики и, в частности, должны тормозиться силами тяготения. Мичелл решил, что с помощью этого эффекта в принципе можно измерять расстояния до звезд, звездные величины и звездные массы (стр. 35). Он также выразил надежду, что астрономы смогут плодотворно использовать этот еще никем не применявшийся метод наблюдений (стр. 35–36).

Начало статьи Джона Мичелла и фрагмент о черных дырах

Начало статьи Джона Мичелла (стр. 35; вверху), в которой впервые обсуждаются идеи, отдаленно напоминающие современные представления о черных дырах, и фрагмент о черных дырах (стр. 50; внизу). Изображения с сайтов amnh.org и rstl.royalsocietypublishing.org (увеличенное изображение)

Суть дела в следующем. Считая, что скорость света в момент его испускания всегда одинакова, Мичелл предложил определять скорость света, приходящего на Землю от различных звезд, и с помощью законов небесной механики выжимать из этих измерений сведения о самих звездах. Например, если допустить, что все звезды (или какая-то группа звезд) удалены от Земли примерно на одинаковые расстояния, такие измерения позволят оценивать отношения звездных масс: чем тяжелее звезда, тем сильнее ее тяготение будет замедлять световые корпускулы.

Мичелл весьма подробно объяснил детали своего метода, причем, в духе ньютоновских «Математических начал натуральной философии», не привел ни одной формулы — его изложение строго геометрично. В его статье немало остроумных заключений, тем более что, помимо механики, он привлекает для своих рассуждений оптику и астрономию. Конечно, этот труд был потрачен впустую: скорость света в вакууме постоянна. Поэтому статья Мичелла скорее всего была бы прочно забыта, если бы не один вывод — кстати, сделанный совершенно походя. Развивая свои дедукции, он в конце концов заключает, что очень массивная звезда должна настолько тормозить световые частицы, что они никогда не смогут уйти на бесконечность. Весь ее свет под действием ее же собственного притяжения «будет вынужден вернуться обратно к звезде» (стр. 42). Отсюда следует, что такая звезда окажется невидимой — по крайней мере, с очень больших дистанций. Мичелл отметил, что, согласно его вычислениям, для того, чтобы свет звезды с той же плотностью, что и у Солнца, не мог уйти на бесконечность, ее диаметр должен примерно в 500 раз превышать солнечный. Таким образом, заключает Мичелл, если очень далеко от нас существуют столь же (и даже более) массивные звезды, мы никогда не сможем получить о них никакой информации посредством их света (стр. 50). Интересно, что он использует именно слово information, которое тогда отнюдь не было в таком ходу, как в наши дни.

Легко видеть, что аналогия между черными дырами в современном понимании и мичелловскими экзотическими звездами очень поверхностна и приблизительна. Классическая черная дыра вообще не излучает никакого света (гипотетическое излучение Хокинга — чисто квантовый эффект) и в этом смысле действительно является черной. Световые корпускулы в модели Мичелла, напротив, при любом раскладе покидают поверхность звезды, только не всегда уходят на бесконечность. Поэтому у Мичелла никаких абсолютно черных звезд нет и быть не может, все они видны с тех или иных дистанций. Есть и множество других вполне очевидных различий.

Мичелл задумался и над тем, нельзя ли с Земли как-то обнаружить звезду, если ее свет не достигает нашей планеты. И предложил (я не могу не восхититься его проницательностью!) не просто осуществимое, но и абсолютно современное решение. Предположим, что такая звезда входит в двойную систему, причем свет второй звезды виден в наши телескопы. Тогда мы сможем судить о наличии и даже свойствах невидимой звезды, наблюдая «качания» ее партнера. Хорошо известно, что этот метод давно применяется при поиске экзопланет.

Насколько прав оказался Мичелл в своем вычислении параметров звезды, которую невозможно увидеть с бесконечно большой дистанции? Соответствующую формулу получить очень легко, это задача для школьника. Надо взять общеизвестное математическое выражение для второй космической скорости и подставить на ее место скорость света. В результате получим, что звезда с массой M будет посылать световые корпускулы на конечные расстояния, если ее радиус R не превышает величину \( R_{cr} = \frac{2GM}{c^2} \), где G — ньютоновская постоянная тяготения, а c — скорость света. Для звезды с массой Солнца это примерно 3 километра. Следовательно, критический радиус любой звезды в мичелловской модели равен трем километрам, умноженным на ее массу в солнечных единицах (иначе говоря, на отношение ее массы к массе Солнца). Конечно, алгебраической формулой для критического радиуса Мичелл владеть не мог хотя бы из-за отсутствия в тогдашнем физическом языке понятия гравитационной постоянной. Мичелл (опять-таки в духе Ньютона) оценил его с помощью геометрических построений, причем весьма остроумных.

Вернемся к примеру Мичелла. Масса звезды солнечной плотности, чей поперечник в 500 раз больше солнечного, составляет 125 миллионов солнечных масс. Критический радиус тела с такой массой, согласно вышеприведенной формуле, равен 375 миллионов километров. Средний радиус Солнца — это примерно 700 тысяч километров, и если его умножить на 500, получим 350 миллионов. Так что Мичелл ошибся совсем немного.

Джон Мичелл доверял своей логике и интуиции и поэтому допускал, что глубины космоса скрывают множество звезд, которые с Земли нельзя разглядеть ни в один телескоп. Через три года после его смерти к такому же выводу пришел великий французский математик, астроном и физик Пьер-Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace), тогда еще не имевший ни графского титула, полученного от Наполеона, ни титула маркиза, которым его удостоили Бурбоны. О светящихся, но невидимых с Земли телах (corps obscurs) он очень кратко упомянул в первом (1796) издании своего популярного трактата Exposition du Système du Monde. В XIX веке этот труд выдержал много прижизненных переизданий, которые уже не упоминали эту гипотезу. Это и понятно, поскольку большинство физиков тогда уже считало свет колебаниями эфира. Существование «темных» звезд противоречило волновой концепции света, и Лаплас счел за лучшее о них забыть. В позднейшие времена эту идею считали курьезом, достойным упоминания лишь в трудах по истории науки.

И еще одна немаловажная деталь. И Мичелл, и Лаплас приписывали невидимость на больших дистанциях только самым гигантским и, автоматически, самым массивным звездам (в то время считалось, что плотности всех звезд приблизительно равны плотности Солнца). Ни тот, ни другой не заметили, что в рамках ньютонвской теории света тем же свойством может обладать и небольшое светящееся тело чрезвычайно высокой плотности. Впрочем, о возможности столь компактных космических объектов в то время никто не задумывался.

Карл Шварцшильд и его формулы

25 ноября 1915 года Альберт Эйнштейн представил Академии наук Пруссии письменный доклад, содержащий систему полностью ковариантных уравнений релятивистской теории гравитационного поля, известной также как общая теория относительности (ОТО). Неделей раньше он выступил на заседании Академии с лекцией, в которой продемонстрировал в работе более раннюю версию этих уравнений, которые не обладали полной ковариантностью (ее он представил Академии двумя неделями ранее). Однако уже эти уравнения дали Эйнштейну возможность с помощью метода последовательных приближений правильно вычислить аномальное вращение орбиты Меркурия и предсказать величину углового отклонения звездного света в поле тяготения Солнца (подробнее об истории открытия ОТО см. новость Столетие ОТО, или Юбилей Первой ноябрьской революции, «Элементы», 25.11.2015).

Это выступление нашло благодарного слушателя в лице коллеги Эйнштейна по Академии Карла Шварцшильда (Karl Schwarzschild, 1873–1916), который служил в действующей армии Германской империи лейтенантом артиллерии и как раз тогда приехал в отпуск. Вернувшись к месту службы, Шварцшильд в декабре нашел точное решение первой версии уравнений Эйнштейна, которое опубликовал через его посредство в «Отчетах о заседаниях» (Sitzungsberichte) Академии. В феврале, уже ознакомившись с окончательной версией уравнений ОТО, Шварцшильд отослал Эйнштейну вторую статью, в которой впервые в явном виде фигурировал гравитационный, он же шварцшильдовский, радиус. 24 февраля Эйнштейн передал в печать и эту работу.

Подобно Джону Мичеллу, Шварцшильд был не только блестящим, но и очень разносторонним ученым. Он оставил глубокий след в наблюдательной астрономии, где стал одним из пионеров оснащения телескопов фотографической аппаратурой и ее использования в целях фотометрии. Ему принадлежат глубокие и оригинальные труды в области электродинамики, звездной астрономии, астрофизики и оптики. Шварцшильд даже успел внести важный вклад в квантовую механику атомных оболочек, построив в своей последней научной работе теорию эффекта Штарка (K. Schwarzschild, 1916. Zur Quantenhypothese). В 1900 году, за пятнадцать лет до создания ОТО, он не только всерьез рассмотрел возможность того, что геометрия Вселенной отличается от евклидовой (ее допускал еще Лобачевский), но и оценил нижние пределы радиуса кривизны пространства для сферической и псевдосферической геометрии космоса. Не достигнув еще и тридцати лет, он стал профессором Геттингенского университета и директором университетской обсерватории. В 1909 году он был избран членом Лондонского астрономического общества и возглавил Потсдамскую астрофизическую обсерваторию, а еще через четыре года сделался членом Прусской академии.

Научную карьеру Шварцшильда оборвала Первая мировая война. Не подлежа по возрасту призыву, он пошел в армию добровольцем и в конце концов оказался на русском фронте в штабе артиллерийской части, где занимался расчетом траекторий снарядов дальнобойных орудий. Там он стал жертвой пемфигуса, очень тяжелого аутоиммунного заболевания кожных покровов, к которому имел наследственную склонность. Эта патология плохо поддается лекарствам и в наше время, а тогда была неизлечимой. В марте 1916 года Шварцшильд был комиссован и вернулся в Потсдам, где скончался 11 мая. Шварцшильд и погибший в Дарданелльской операции английский физик Генри Гвин Мозли (Henry Moseley) стали самыми крупными учеными, чьи жизни унесла Первая мировая война.

Знаменитая пространственно-временная метрика Шварцшильда исторически стала первым точным решением уравнений ОТО. Она описывает статическое гравитационное поле, которое создается в вакууме неподвижным сферически симметричным телом массы M. В стандартной записи в координатах Шварцшильда t, r, θ, φ и при выборе сигнатуры (+, −, −, −) она дается формулой

\[ \mathrm{d}s^2= \left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2\mathrm{d}t^2- \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2- r^2(\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2 + \mathrm{d}\theta^2), \quad\quad\quad \text{(1)}\]

где \( r_s = \frac{2GM}{c^2} \). Легко видеть, что этот параметр, который принято называть гравитационным радиусом, или радиусом Шварцшильда, в точности совпадает с критическим радиусом звезды, который появляется при расчете движения световых корпускул в модели Мичелла. Как известно, он играет ключевую роль в современной теории черных дыр (его также называют горизонтом событий дыры).

Черная дыра Гаргантюа из фильма «Интерстеллар»

Черная дыра Гаргантюа из фильма «Интерстеллар». Для создании изображений этой дыры применялись численные решения уравнений ОТО. Изображение с сайта blogs.scientificamerican.com

Метрика Шварцшильда имеет две особые точки — сингулярности на формальном языке. Одна из сингулярностей возникает при r = 0, то есть там же, где обращается в бесконечность ньютоновский гравитационный потенциал. Вторая сингулярность соответствует значению r = rs, когда коэффициент перед dt2 обращается в нуль, а перед dr2 — в бесконечность. Это и есть собственно шварцшильдовская сингулярность, над смыслом которой мучилось несколько поколений физиков. Стоит напомнить, что угловые координаты Шварцшильда θ и φ полностью аналогичны полярному и азимутальному углам в обычных сферических координатах, однако величина радиальной координаты r отнюдь не равна длине радиус-вектора. В метрике Шварцшильда длина окружности с центром в начале координат выражается евклидовской формулой 2πr, однако расстояние между двумя точками с радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \), находящимися на одном радиус-векторе, всегда превышает арифметическую разность \( r_2-r_1 \). Отсюда сразу видно, что шварцшильдовское пространство неевклидово — отношение длины окружности к длине ее радиуса меньше, чем 2π. Возможно, стоит уточнить, что координата r в шварцшильдовской метрике возникает как одно из возможных отображений (его принято называть стандартным) в трехмерное евклидово пространство метрической координаты ρ, которая фигурирует в описании трехмерного риманова многообразия общего вида со сферической симметрией (см.: Yvonne Choquet-Bruhat, Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology, стр. 105–106). Но это уже математические тонкости.

А теперь — самое интересное. Метрика Шварцшильда, как она приведена выше, в обеих его статьях вообще отсутствует. В первой из его публикаций «О гравитационном поле точечной массы, вытекающем из теории Эйнштейна» (K. Schwarzschild, 1916. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) представлена совсем другая метрика пространства-времени, соответствующая полю тяготения точечной массы:

\[ \mathrm{d}s^2 = \left(1-\frac\alpha R\right)\mathrm{d}t^2- \left(1-\frac\alpha R\right)^{-1}\mathrm{d}R^2- R^2(\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2+\mathrm{d}\theta^2). \quad\quad\quad \text{(2)} \]

Эта формула выглядит в точности как стандартная метрика Шварцшильда (1) с той только разницей, что скорость света в ней принята за единицу и потому в явном виде отсутствует, а радиальная координата обозначена не строчной буквой r, а заглавной R. Однако это сходство чисто внешнее, поскольку координата R отнюдь не тождественна r. Их связывает формула \( R^3=r^3+\alpha^3 \), где α — положительная постоянная интегрирования, имеющая размерность длины. Шварцшильд не дает ее конкретную величину и только отмечает, что α зависит от массы точечного центра гравитации. Эта метрика и есть найденное Шварцшильдом точное решение уравнений ОТО для точечной постоянной массы, выраженное в координатах t, R, θ и φ.

Чем эти метрики отличаются друг от друга? В метрике (1) значение радиальной координаты r меняется от нуля до бесконечности, в то время как в метрике (2) значения R лежат в промежутке от α до бесконечности. Как уже говорилось, метрика (1) имеет две особые точки (сингулярности), в то время как метрика (2) — только одну, R = α. При этом значении R метрика теряет смысл, а для меньших значений R она попросту не определена. Неформально отсюда следует, что точечный центр массы окружен сферой, соответствующей значению R = α, и на этой сферической поверхности происходит нечто странное и непонятное. Третье различие между метриками (1) и (2) состоит в том, что параметр α, в отличие от rs не определен какой-либо конкретной формулой, так что в ней нет явного упоминания о гравитационном радиусе.

Карл Шварцшильд получил метрику (2) в результате решения уравнений Эйнштейна в их первой версии, с которой он ознакомился 18 ноября. На ее основе он подтвердил величину вычисленного Эйнштейном аномального поворота орбиты Меркурия. Он также вывел релятивистский аналог третьего закона Кеплера — однако, только для круговых орбит. Конкретно, он показал, что квадрат угловой скорости пробных тел, обращающихся по таким орбитам вокруг центральной точки, дается простой формулой \( n^2 = \frac{\alpha}{2R^3} \) (буквой n Шварцшильд обозначал угловую скорость). Поскольку R не может быть меньше чем α, угловая скорость имеет верхний предел \(n_0=\frac1{\sqrt2\alpha}\). Напомню, что в ньютоновской механике угловая скорость тел, обращающихся вокруг точечной массы, может быть сколь угодно большой, так что тут зримо видна специфика ОТО. Напомню также, что формула для n0 выведена в предположении, что скорость света равна единице, из-за чего и выходит, что размерность угловой скорости — обратная длина. Чтобы получить угловую скорость с обычной размерностью 1/сек, надо правую часть формулы для n0 умножить на скорость света c.

Самое интересное Шварцшильд приберег под занавес. В конце статьи, буквально в предпоследней фразе, он отмечает, что если величина точечной массы в начале координат равна массе Солнца, то максимальная частота обращения оказывается примерно 10 тысяч оборотов в секунду. Отсюда сразу следует, что \(\alpha = \frac{10^{-4}c}{2\pi\sqrt2} \). Так как скорость света с = 3·105 км/сек, параметр α оказывается приблизительно равным 3 километрам, то есть, гравитационному радиусу Солнца! Не появившись в статье Шварцшильда явно, он проник туда с заднего входа и без какого-либо обоснования (Шварцшильд ведь не уточняет, как он получил численную величину предельной частоты). В общем, уже первая статья Шварцшильда прокладывает тонкий мостик к теории черных дыр, хотя обнаружить его не так-то просто. Заметив это, я немало удивился, поскольку принято считать, что гравитационный радиус появляется только во второй статье Шварцшильда.

И последнее. Стандартную форму метрики Шварцшильда (1) можно получить и из неокончательной версии уравнений ОТО. Поскольку речь идет о поле в вакууме, необходимо принять, что тензор-энергии импульса равен нулю. В обеих версиях уравнений ОТО отсюда вытекает равенство нулю тензора Риччи, откуда, в предположении центральной симметрии статического поля, без особых сложностей выводится шварцшильдовская метрика (см. об этом в книгах Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, «Теория поля», стр. 381–384; Peter Collier, A Most Incomprehensible Thing: Notes Towards a Very Gentle Introduction to the Mathematics of Relativity, стр. 260–263). Правда, здесь возникают некоторые математические тонкости, которые сто лет назад еще не были видны, но технически такой вывод довольно прост. Однако Шварцшильд, как видим, его не сделал.

Вторая статья Шварцшильда называется «О гравитационном поле сферы, заполненной несжимаемой жидкостью, вычисленном в соответствии с теорией Эйнштейна» (Karl Schwarzschild, 1916. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteins-chen Theorie). В ней (напомню, уже на базе полной системы уравнений ОТО) вычислены две метрики — для внешнего пространства и для пространства внутри сферы. Первая метрика вполне аналогична метрике (2) с той только разницей, что связь между координатами R и r там не столь проста. Метрика внутри сферы много сложнее, и приводить ее я не буду. Для нас важно то, что в конце этой статьи впервые появляется гравитационный радиус \( \frac{2GM}{c^2} \), только выраженный в других единицах и никак специально не названный. Как отмечает Шварцшильд, в случае тела с массой Солнца он равен 3 километрам, а для массы в 1 грамм — 1,5·10−28 сантиметра.

Но эти числа — еще не самое интересное. Шварцшильд также указывает, что радиус сферического тела, измеренный внешним наблюдателем, не может быть меньше этого параметра. Отсюда следует, что точечная масса, о которой шла речь в первой статье Шварцшильда, также представляется извне в виде сферы. Физически это связано с тем, что никакой световой луч не может приблизиться к этой массе ближе, чем на ее гравитационный радиус, а затем вернуться к внешнему наблюдателю. В статье Шварцшильда этих утверждений нет, но они прямо следуют из ее логики. Это второй и последний мостик к концепции черных дыр, который можно найти у самого Шварцшильда.

Сферически симметричными решениями уравнений ОТО после Шварцшильда занимались и чистые математики, и физики, и астрономы. Весной 1916 года голландец Иоханнес Дросте, который заканчивал в Лейденском университете докторскую диссертацию под руководством Х. А. Лоренца, представил шефу для публикации работу с более простым вычислением метрики пространства-времени для точечной массы по сравнению с шварцшильдовским (J. Droste, 1917. The Field of a Single Center in Einstein's Theory of Gravitation, and the Motion of a Particle in that Field). При этом в качестве основы он воспользовался еще более ранней версией уравнений гравитации, найденной Эйнштейном в 1913 году (так называемая теория «Проекта», Entwurf theory). Именно Дросте первым опубликовал ту форму метрики, которая стала считаться стандартной (несколько позже это сделали Давид Гильберт (David Hilbert) и Герман Вейль (Hermann Weyl)). Он также получил важные результаты относительно движения частиц в сферически симметричных полях тяготения.

В ходе последующей «шлифовки» решения Шварцшильда был также обнаружен совершенно различный характер сингулярностей, возникающих в стандартной форме метрики при r = rs (как выяснилось, ее можно устранить заменой координат) и сингулярностью при r = 0, которая оказалась неустранимой. Все это очень интересно, но полностью выпадает за рамки моей статьи. Поэтому мне остается выполнить обещание, заявленное в ее начале — проследить исторический путь к конструированию первых астрофизических моделей на ее основе.

Странная физика белых карликов

В первые годы после появления статей Шварцшильда и других публикаций на ту же тему практически никто не верил, что в природе могут существовать объекты, создающие действительно сильную неевклидовость окружающего пространства. Отсюда следовало, что сфера Шварцшильда, как ее стали называть, скорее всего не имеет физического смысла и никогда не станет объектом реальных наблюдений. Однако постепенно ситуация стала меняться.

Вероятно, будет правильным связать начало этой эволюции с опубликованной в 1926 году работой английского физика Ральфа Фаулера (Ralph Fowler) «О плотной материи» (R. H. Fowler, 1926. On Dense Matter). Фаулер поставил своей целью объяснить природу «таких звезд, как спутник Сириуса» (стр. 114), иначе говоря, белых карликов. Эти горячие звезды с очень малой болометрической светимостью были известны с середины XIX века, а к тому времени уже получили (в 1922 году) и свое нынешнее название. Они осознавались в качестве серьезной проблемы для астрофизики из-за своих аномально малых размеров и столь же аномально высокой плотности, на несколько порядков превышающей плотность Солнца.

Ральф Фаулер

Ральф Фаулер. Фото из статьи E. A. Milne, 1945, Ralph Howard Fowler. 1889–1944

Фаулер предположил, что такие звезды сопротивляются гравитационному сжатию за счет давления холодного нерелятивистского вырожденного электронного газа, возникающего при обобществлении атомных электронов при очень высокой плотности звездной материи. Такой газ, в соответствии с принципом Паули, занимает в импульсном пространстве все допустимые значения от нуля до определенной верхней границы. Давление этого газа не зависит от температуры и пропорционально его плотности в степени 5/3. Отсюда следует, что масса белого карлика в принципе может быть сколь угодно большой, поскольку давление вырожденного газа всегда сможет сопротивляться гравитационному сжатию звезды.

На первый взгляд модель Фаулера может показаться внутренне противоречивой. Белые карлики представляют собой медленно остывающие, но все еще достаточно горячие останки не слишком массивных звезд главной последовательности, полностью исчерпавших свое термоядерное топливо. Температуры их фотосфер варьируют от нескольких тысяч до нескольких десятков тысяч кельвинов, а центральные области, естественно, нагреты куда больше. Возникает вопрос, откуда же внутри этих звезд мог взяться холодный вырожденный электронный газ. Однако с физической точки зрения такой газ может считаться холодным, если максимальная энергия электронов заметно превышает тепловую энергию оголенных атомных ядер внутризвездной плазмы. Расчеты показывают, что такое положение дел сохраняется как минимум до температур порядка десятков миллионов кельвинов.

Двойная звезда Сириус

Двойная звезда Сириус. Компонент этой системы Сириус В — белый карлик. На фото это небольшая точка левее и ниже гораздо более яркого компонента Сириус А, который является ярчайшей звездой на ночном небе. Сириус В — первый из обнаруженных белых карликов. Фото телескопа «Хаббл» с сайта en.wikipedia.org

Теперь вернемся на историческую канву. Очень скоро модель Фаулера подверглась радикальной коррекции, основанной на использовании релятивистской механики для описания электронного газа. Пионером в этом деле оказался замечательный советский физик-теоретик Яков Ильич Френкель. Не могу отказать себе в удовольствии процитировать соответствующее место из его автобиографии, где все сказано с изумительной четкостью:

«В том же 1928 году я пытался приложить электронную теорию к проблеме внутреннего строения звезд, развивая теорию Ферми на случай электронного газа с релятивистскими энергиями. Таким путем мне удалось прийти к выводу о том, что масса стабильной звезды не может превосходить определенного максимального значения, ненамного превосходящего массу Солнца.»

Френкель имел в виду свою статью Anwendung der Pauli-Fermischen Elektronengastheorie auf das Problem der Kohäsionskräfte («Применение теории электронного газа Паули-Ферми к вопросу о силах сцепления»), которая в мае 1928 года появилась в журнале Zeitschrift für Physik (есть русский перевод: Я. И. Френкель, Собрание избранных трудов, т. 2). Под стабильными звездами он понимал звезды с чрезвычайно высокой плотностью вещества, чье внутреннее давление создается холодным вырожденным электронным газом. Это и есть белые карлики, хотя сам Френкель таким названием не пользовался. При этом он не только рассмотрел поведение как нерелятивистского, так и релятивистского электронного газа, но также показал, что релятивистские эффекты начинают работать, когда масса звезды достигает приблизительно массы Солнца, а плотность ее вещества переходит за 109 кг/м3, что в целом вполне соответствует современным представлениям о свойствах белых карликов. Однако Френкель все же не довел свой анализ до вычисления предельной массы этих звезд, что вскоре сделали другие ученые. К сожалению, его замечательные результаты не были замечены в астрономическом сообществе того времени и потому не оказали влияния на развитие астрофизики.

Через год после публикации статьи Френкеля появились работы, в которых выход за рамки теории Фаулера был осуществлен уже непосредственно в контексте объяснения свойств белых карликов. В 1929 году астрофизик из Тартусского университета Вильгельм Андерсон (Wilhelm Anderson) показал, что, если масса белого карлика достигает примерно массы Солнца, электроны у верхней границы энергий приобретают субсветовые скорости и потому для вычисления уравнения состояния электронного газа надо использовать релятивистскую механику. В предельном случае ультрарелятивистских электронов давление оказывается пропорциональным плотности в степени 4/3. Одновременно с Андерсоном такое же уравнение состояния, только с другим численным коэффициентом, вывел лектор Лидского университета Эдмунд Стоунер (Edmund Stoner). На основе этих результатов (см. W. Anderson, 1929. Gewöhnliche Materie und Strahlende Energie als Verschiedene 'Phasen' eines und Desselben Grundstoffes; E. C. Stoner, 1929. The Limiting Density in White Dwarf Stars) они оба пришли к заключению о невозможности стабильного существования звездных ядер, заполненных вырожденным электронным газом, если их массы по порядку величины приближаются к массе Солнца. В позднейших публикациях они привели приближенные оценки максимальной массы таких ядер (0,69 Ms у Андерсона и 1,12 Ms у Стоунера).

Андерсон и Стоунер в своих выкладках опирались на ряд упрощающих и потому нереалистичных допущений — например, оба они предполагали, что плотность вещества белого карлика постоянна во всем его объеме. Более адекватный анализ проблемы верхней границы массы белых карликов в 1930 году выполнил 19-летний выпускник Мадрасского университета и будущий Нобелевский лауреат Субраманьян Чандрасекар (Subrahmanyan Chandrasekhar), который использовал уравнение гидростатического равновесия (S. Chandrasekar, 1931. The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs). Он вывел формулу для максимальной массы идеального белого карлика, которая сейчас носит его имя (предел Чандрасекара). Правда, в явном виде, как ее в различных версиях можно найти в учебниках и справочниках, она в этой статье не приводится — возможно, в силу краткости текста. Подставив численные значения фигурирующих в ней физических величин, Чандрасекар заключил, что масса белого карлика не может превышать 0,91 Ms. Модель Чандрасекара (которая впоследствии не раз уточнялась) была в теоретическом контексте своего времени совершенно правильной, однако вычисленное им значение предельной массы оказалось слишком низким, поскольку он использовал завышенную величину средней массы звездного вещества, приходящейся на один электрон. Сейчас принято считать, что этот предел с точностью до первого десятичного знака равен 1,4 Ms; масса наилегчайшего белого карлика, открытого в нашей Галактике, приблизительно равна 0,2 Ms. В 1934 году Чандрасекар построил теорию белых карликов произвольной массы, которую использовал для детального обсчета структур почти двух десятков таких звезд. Моделирование белых карликов различных типов сыграло немалую роль и в развитии астрофизики во второй половине прошлого века.

Нейтронные ядра или нейтронные звезды?

Белые карлики были сначала открыты в наблюдениях, а затем смоделированы теоретиками. Все получилось ровно наоборот с еще более экзотическими компактными объектами Большого Космоса, нейтронными звездами.

К концу первой четверти ХХ столетия астрономы научились с приличной точностью определять межгалактические расстояния в окрестности Млечного Пути. После этого стало ясно, что некоторые из новых звезд излучают в тысячи раз больше энергии, нежели остальные. В 1925 году шведский астроном Кнут Эмиль Лундмарк (Knut Emil Lundmark) предложил выделить их в особую группу новых звезд высшего класса, но это наименование как-то не привилось. В начале 30-х профессор физики Калтеха Фриц Цвикки (Fritz Zwicky) в лекциях для аспирантов стал называть экстремально яркие вспышки сверх-новыми. Этот термин привился, хотя со временем лишился дефиса.

В декабре 1933 году Цвикки и астроном из обсерватории Маунт Вильсон Вальтер Бааде (Walter Baade) (оба — эмигранты из Европы) представили на сессии Американского физического общества доклад «О сверх-новых», который вскоре появился в печати (W. A. Baade and F. Zwicky, 1934 On Super-Novae). Доклад был замечен за пределами физического сообщества и отмечен в американских СМИ. Бааде и Цвикки подсчитали, что в течение месяца типичная сверхновая посылает в пространство столько же света, сколько излучает наше Солнце за 10 миллионов лет. Они пришли к заключению, что такое возможно лишь при частичном превращении массы звезды в лучевую энергию в соответствии с формулой Эйнштейна. Поэтому они предположили, что взрыв сверхновой представляет собой трансформацию обычной звезды в звезду нового типа, состоящую в основном из нейтронов. Нейтронная звезда должна обладать очень малым радиусом и, следовательно, состоять из вещества экстремально высокой плотности, на много порядков превосходящей плотность белых карликов. Эта гипотеза была сформулирована в заметке Cosmic Rays from Super-Novae, опубликованной в том же выпуске Proceedings of the National Academy of Sciences сразу вслед за первым сообщением. В той же работе они выдвинули поистине пророческую гипотезу: взрывы сверхновых звезд могут быть источником космических лучей.

Большинство специалистов сочло предположение о рождении нейтронных звезд на финальной стадии взрывов сверхновых, мягко говоря, плохо обоснованным — тем более, что Цвикки и Бааде не могли предложить физический механизм рождения столь странных космических объектов. Поначалу его не принял даже Чандрасекар, хотя в 1939 году, выступая на конференции в Париже, он все же допустил, что эта гипотеза имеет право на существование. Окончательно ее справедливость стала ясной только после открытия радиопульсаров в 1967 году. Стоит отметить, что термин «пульсар» в конце того же года изобрел не ученый, а журналист, научный обозреватель газеты Daily Telegraph Энтони Михаэлис (Anthony Michaelis).

Бааде и Цвикки не первыми допустили существование космических объектов, состоящих из сверхплотной материи. Ранее с аналогичной идеей выступил Лев Давидович Ландау, который предположил, что состоящие из такой материи звездные ядра могут служить источником гравитационной энергии, которую звезды расходуют на свое излучение. Его статья была написана в начале 1931 года, то есть еще до открытия нейтрона заместителем директора Кавендишской лаборатории Джеймсом Чедвиком (James Chadwick) в 1932 году (естественно, эта частица в статье Ландау и не упоминается), однако опубликована годом позже (L. D. Landau, 1932. On the theory of stars). В первой части статьи Ландау не только самостоятельно переоткрыл формулу для предела Чандрасекара (о которой он, можно не сомневаться, не успел узнать), но и вычислил для него вполне приемлемое значение 1,5 Ms. Ландау оказался ближе к истине, поскольку использовал вполне реалистичную оценку массы на один электрон, посчитав ее равной удвоенной массе протона (Чандрасекар в своей первой статье счел ее равной двум с половиной протонным массам).

Во второй части Ландау в каком-то смысле дал волю фантазии. Он сделал весьма экзотическое допущение, согласно которому обычные звезды обладают компактными сверхплотными сердцевинами, фактически гигантскими атомными ядрами, которые и служат их энергетическими источниками. Поскольку обосновать эту идею в контексте тогдашних (впрочем, как и сегодняшних) фундаментальных физических теорий было невозможно, Ландау даже допустил, что в таких звездных недрах может нарушаться закон сохранения энергии. При этом он ссылался на авторитет Нильса Бора, который пытался в том же ключе объяснить загадочный разброс энергий и импульсов бета-распадных электронов (как известно, Вольфганг Паули «спас» закон сохранения энергии с помощью гипотетической нейтральной частицы, позднее названной нейтрино).

В общем, «нейтронизация» звездного вещества как причина феноменальной мощности сверхновых — целиком и полностью идея Бааде и Цвикки. Правда, Бааде больше к ней не возвращался и, скорее всего, не слишком принимал всерьез. А вот Цвикки развернул целую программу поиска сверхновых с помощью 18-дюймового телескопа с фотокамерой, приобретенного за счет фонда Рокфеллера. Уже к осени 1937 года, всего за год наблюдений, он обнаружил три сверхновых. Эта программа была свернута после нападения японцев на Перл-Харбор.

В ретроспективе понятно, что гипотеза Бааде и Цвикки указывала на тот самый переход от вырожденного электронного газа к веществу иной природы, который логически вытекал из работ Френкеля, Андерсона, Стоунера и Чандрасекара. Неудивительно, что она весьма заинтересовала Ландау, который через несколько лет вернулся к своей модели и опубликовал ее модифицированную версию в журнале Nature (L. D. Landau, 1938. Origin of Stellar Energy). В этой заметке Ландау уже прямо писал не вообще о ядерной, а именно о нейтронной материи, возникшей при слиянии электронов с атомными ядрами при сверхвысоких давлениях внутри звездных недр (интересно, что при этом он сослался не на Бааде и Цвикки, а на профессора Лейпцигского университета Фридриха Хунда (Friedrich Hund), который в середине 1930-х годов весьма активно занимался астрофизикой). Ландау утверждал, что нормальные звезды могут обладать стабильными нейтронными ядрами с массой свыше одной тысячной (в других предположениях, одной двадцатой) массы Солнца, сжатие которых обеспечивает энергию, идущую на их излучение.

Однако в данном случае Ландау изменила его прославленная интуиция. Его гипотеза в том же году была опровергнута Робертом Оппенгеймером (Julius Robert Oppenheimer) и его постдоком Робертом Сербером (Robert Serber) (J. R. Oppenheimer and R. Serber, 1938. On the Stability of Stellar Neutron Cores). Они показали, что адекватный учет ядерных сил практически исключает возможность существования нейтронных ядер у звезд, чьи массы сравнимы с массой Солнца. Оппенгеймер и Сербер также пришли к совершенно верному, как показало время, заключению, что никакое нейтронное ядро не может возникнуть до того, как звезда полностью исчерпает все источники ядерной энергии (и, таким образом, хотя в статье это прямо и не говорится, сойдет с главной последовательности). В их коротком сообщении также отмечено (правда, без доказательств), что масса такого ядра во всяком случае не может быть меньше одной десятой массы Солнца. Эта оценка была получена на основе одних только энергетических соображений и оказалась совершенно правильной. По современным представлениям, при массе ядра менее 0,1 Ms нейтроны стали бы превращаться в протоны посредством бета-распада. Новорожденные протоны сливались бы с нейтронами, образуя сильно нейтроноизбыточные и потому крайне нестабильные атомные ядра. В результате, если бы нейтронная звезда каким-либо образом похудела настолько, что ее масса упала ниже 0,1 Ms, она исчезла бы в ядерном взрыве. За эту информацию я очень благодарен доктору ф.-м. наук А. Ю. Потехину.

Роберт Оппенгеймер и Альберт Эйнштейн

Роберт Оппенгеймер (справа) и Альберт Эйнштейн. Фото первой половины 1940-х годов с сайта coldwarwarrior.com

Ландау вскоре после публикации статьи в Nature был арестован и год провел в заключении. К своей модели нейтронного ядра как источника звездной энергии он больше никогда не возвращался — скорее всего потому, что ко времени его освобождения в апреле 1939 года было уже ясно, что звезды главной последовательности питаются энергией термоядерного синтеза. Возможно, будет нелишним напомнить, что Сербер в военные годы стал одним из главных участников возглавлявшегося Оппенгеймером Манхеттенского проекта, и это именно он придумал имена для атомных бомб «Малыш» (Little Boy) и «Толстяк» (Fat Man), cброшенных 6 и 9 августа 1945 года на Хиросиму и Нагасаки.

Возврат к Шварцшильду: первые шаги

Поскольку гипотеза Цвикки и Бааде все же никуда не делась, возник естественный вопрос: существует ли верхний предел массы для тех сверхновых, которые предположительно оставляют после себя нейтронные звезды (напомню, что Ландау говорил не о верхнем, а о нижнем пределе массы нейтронных ядер обычных звезд)? Иными словами, существует ли верхний предел массы гипотетических нейтронных звезд подобно тому, как он существует для белых карликов? При этом было понятно, что нейтронные звезды, если они действительно рождаются в космическом пространстве, по плотности неизмеримо превосходят белые карлики. В 1937 году Георгий Гамов оценил максимальную плотность нейтронного вещества в 1017 кг/м3 (G. Gamow, 1937. Structure of Atomic Nuclei and Nuclear Transformations; G. Gamov, 1939. Physical Possibilities of Stellar Evolution), что на 9 порядков больше плотности массы типичного белого карлика. Его результат вполне выдержал проверку наблюдениями: измеренные плотности нейтронных звезд варьируют в диапазоне (4–6)·1017 кг/м3. В той же монографии Гамов, вспомнив опубликованную в 1932 году гипотезу Ландау, отметил, что нейтронные ядра могли бы обеспечить активную жизнь звезды «на очень долгое время», хотя в то время такая точка зрения была уже анахронизмом.

В 1939 году эту проблему попытались разрешить Роберт Оппенгеймер и его канадский аспирант Джордж Майкл Волков (George Michael Volkoff), москвич по рождению и в прежней жизни Георгий Михайлович. Их совместная статья (J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, 1939. On Massive Neutron Cores) заслуженно считается одним из самых ярких достижений теоретической астрофизики первой половины двадцатого века. И это несмотря на то, что полученная в ней оценка верхнего предела массы нейтронных остатков массивных звезд оказалась сильно заниженной.

Можно было бы ожидать, что Оппенгеймер, ставя эту задачу, хотел прояснить применимость гипотезы Бааде и Цвикки. Однако если у него и было такое намерение, он сделал все, что его скрыть. В статье, о которой идет речь, вообще нет ссылок ни на одну публикацию этих исследователей. Что и неудивительно. Оппенгеймер тогда был профессором физики Калифорнийского университета в Беркли, однако регулярно наезжал в Калтех, где работал Цвикки. Не секрет, что Оппенгеймер на дух не переносил Цвикки как человека и не доверял ему как ученому (и такое отношение в обоих планах разделяли многие современники). Так что Оппенгеймер и Волков ограничились нейтральной фразой: «Была предположена возможность того, что в центральных областях достаточно массивных звезд, истощивших термоядерные источники энергии, формируются сильно сжатые нейтронные ядра» (стр. 475). В качестве одного из источников этой гипотезы они назвали недавнюю публикацию Ландау в Nature, в то время как Бааде и Цвикки проходят всего лишь по разряду «и другие» (Ibid). Они также сослались на вышеупомянутое сообщение Оппенгеймера и Сербера, точнее, на их оценку минимальной массы нейтронного ядра в 0,1 Ms.

А дальше начинается самое интересное. Оппенгеймер и Волков работали с моделью вырожденного холодного нейтронного ферми-газа со сферически симметричным распределением частиц. В этом плане их подход вполне аналогичен подходу Андерсона, Стоунера, Чандрасекара и Ландау, которые делали вычисления на базе модели вырожденного релятивистского электронного газа. Оппенгеймер и Волков специально подчеркнули, что если непосредственно взять из статьи Ландау 1932 года формулу для максимальной массы звезды, состоящей из такого газа (напомню, что это точный аналог формулы Чандрасекара) и просто заменить там электроны нейтронами, верхний предел массы звезды составит примерно 6 солнечных масс, что и в самом деле вычисляется совершенно элементарно. Однако дальше соавторы указывают, что такой подход был бы ошибочен, причем по двум причинам. Для получения правильного результата необходимо учесть неньютоновский характер тяготения гипотетического нейтронного ядра с его гигантской гравитацией. Кроме того, нельзя заранее предполагать, что нейтронный газ будет релятивистски вырожденным во всем объеме звезды. «Настоящее исследование ставит своей целью выяснить, какие отличия в результаты вычислений внесет использование как общей теории относительности вместо ньютоновской теории гравитации, так и более точного уравнения состояния» (стр. 575).

Для решения этой задачи Оппенгеймер и Волков провели расчеты на основе общего статического решения полевых уравнений Эйнштейна для сферически симметричного распределения вещества и, в частности, решения Шварцшильда, которое описывает метрику пустого пространства, окружающего это вещество. Они также предположили, что вещество состоит из квантовых частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, чьей тепловой энергией и негравитационными взаимодействиями можно пренебречь. Приравняв массу частиц этого холодного ферми-газа массе нейтронов и проведя приближенное численное интегрирование полученных уравнений, Оппенгеймер и Волков пришли к выводу, что массы нейтронных ядер звезд, которые полностью использовали свои термоядерные энергетические ресурсы, не могут превышать 70% солнечной массы.

Давно известно, что эта первая оценка максимальной массы нейтронных ядер оказалась сильно заниженной. Позднейшее моделирование показало, что массы нейтронных звезд должны лежать в интервале (1,5–3)·Ms; массы реально наблюдавшихся нейтронных звезд составляют от полутора до двух солнечных масс. Причина этой ошибки также понятна. В конце 1930-х годов еще не существовало развернутой теории ядерных сил, которая позволила бы написать хотя бы приближенные уравнения состояния материи при сверхвысоких плотностях и давлениях. Сейчас известно, что в этой области действуют мощные ядерные силы отталкивания, которые и увеличивают нижний предел масс нейтронных звезд по сравнению с моделью Оппенгеймера-Волкова.

Сравнение оценки Оппенгеймера-Волкова с пределом Чандраксекара очевидным образом создавало малоприятную проблему, которую они сами прекрасно поняли и прокомментировали. Если давление вырожденного релятивистского электронного газа способно сопротивляться гравитационному коллапсу звезд с массой вплоть до почти что полутора масс Солнца, то совершенно непонятно, как могла бы возникнуть нейтронная звезда, коль скоро ее масса не может превышать 0,7 Ms. Оппенгеймер и Волков обошли эту трудность, предположив, что нейтронные ядра могут быть сколь угодно массивными, если разность между плотностью материи и ее утроенным давлением принимает большие отрицательные значения (стр. 381). Сейчас мы знаем, что это допущение не оправдалось, и верхний предел масс нейтронных звезд все же существует. Оппенгеймер и Волков также высказали почти что уверенность, что учет ядерных сил взаимного отталкивания не позволит существенно повысить вычисленный ими верхний предел масс нейтронных ядер — и в этом они тоже оказались неправы.

Разумеется, все это ни в коем случае не уменьшает значения работы Оппенгеймера и Волкова. Они действовали на совершенно неизведанной территории, причем практически в одиночку, если не считать неформального содействия профессора Калтеха Ричарда Толмена (Richard Tolman). Демонстрация, пусть и на упрощенной модели, существования верхнего предела масс нейтронных звезд была результатом первостепенной важности. Этот результат позволял предположить, что самые массивные потомки сверхновых не становятся нейтронными звездами, а переходят в какое-то другое состояние.

На этом стоит остановиться поподробней. Оппенгеймер, Волков и Толмен получили уравнение для радиального градиента давления вещества внутри сжимающейся звезды. Образно выражаясь, оно показывает, каким образом звезда сопротивляется сжатию, увеличивая внутреннее давление. Однако в ОТО, в отличие от ньютоновской механики, давление само служит фактором искривления пространства-времени и тем самым источником поля тяготения. Поэтому гравитация внутри звезды может нарастать настолько быстро, что коллапс делается необратимым. Это следствие уравнения Толмена — Оппенгеймера — Волкова сейчас кажется очень прозрачным, однако авторы его не проследили.

В том же 1939 году Оппенгеймер и еще один его аспирант Хартланд Снайдер (Hartland Snyder) вплотную приблизились к описанию такого финала (J. R. Oppenheimer and H. Snyder, 1939. On Continued Gravitational Contraction). Они рассмотрели процесс гравитационного сжатия строго сферического невращающегося пылевого облака с постоянной плотностью — опять-таки, с явным использованием шварцшильдовской метрики. Конечно, это была максимально упрощенная модель космического вещества. Частички пылевидной материи по определению взаимодействуют друг с другом исключительно посредством взаимного притяжения (следовательно, давление в таком облаке равно нулю) и потому движутся по геодезическим мировым линиям; кроме того, такая система не имеет термодинамических характеристик. Однако более реалистических расчетов на базе общей теории относительности тогда было просто не потянуть, в чем авторы статьи и признались. Тем не менее, они отметили, что найденное ими решение, скорее всего, приблизительно отражает основные черты процесса гравитационного сжатия реальной звезды достаточно большой массы, которая полностью сожгла свое термоядерное топливо (стр. 457).

Для получения аналитического решения уравнений ОТО Оппенгеймер и Снайдер перешли к сопутствующим координатам, в которых тензор энергии-импульса в данном случае имеет единственную ненулевую компоненту \( T_4^4 \), равную плотности вещества. На основе своей — повторю, сильно идеализированной — модели они пришли к заключению, что достаточно массивная звезда, успевшая сжечь термоядерное топливо, в ходе последующего сжатия стягивается к своему гравитационному радиусу. Этот процесс занимает бесконечно большое время с точки зрения удаленного наблюдателя, но может быть очень коротким для наблюдателя, который движется вместе со стягивающейся звездной материей. Например, согласно их вычислениям, гравитационный коллапс облака с первоначальной плотностью 1 г/см3 и общей массой 1033 г (следовательно, с радиусом порядка миллиона километров) с точки зрения такого наблюдателя займет всего лишь одни земные сутки. Приближаясь к гравитационному радиусу, «звезда полностью изолирует себя от любых контактов с удаленным наблюдателем; сохраняется только ее гравитационное поле» (стр. 456).

Из уравнений Оппенгеймера и Снайдера почти однозначно следует, что звезда по достижении гравитационного радиуса не останавливается и продолжает сжиматься к состоянию с бесконечно малым объемом и бесконечно высокой плотностью. Соавторы все же воздержались от столь радикального вывода и даже не предложили его в качестве гипотезы. К сожалению, тогда их замечательная работа не вызвала особого интереса — возможно, отчасти и потому, что ее публикация в точности совпала по дате с началом Второй мировой войны (1 сентября 1939 года). К тому же в то время физики и астрономы мало интересовались ОТО и плохо ее знали. Кажется, единственным физиком-теоретиком экстра-класса, который без задержки оценил ее по достоинству, был Ландау.

Чуть раньше Оппенгеймера и Снайдера проблеме гравитационного коллапса сферически симметричной системы невзаимодействующих частиц уделил внимание и сам Эйнштейн (Albert Einstein, 1939. Stationary System with Spherical Symmetry Consisting of Many Gravitating Masses). Эта статья, которую он представил к публикации за два месяца до них, оказалась неудачной. Эйнштейн не верил в шварцшильдовскую сингулярность, возникающую вблизи гравитационного радиуса, и потому постарался доказать, что она физически недостижима. Он использовал метрику Шварцшильда (правда, в нестандартной записи), однако сделал совершенно искусственное допущение, что все частицы движутся вокруг центра симметрии по круговым орбитам. Его вычисления показали, что рост массы такой системы приводит к увеличению центробежных сил, и это не позволяет ей сжиматься далее определенного предела. В итоге Эйнштейн с явным удовлетворением констатировал, что «сингулярность Шварцшильда не существует в физической реальности» (стр. 936). Он полагал, что этот вывод имеет общий характер, не ограниченный спецификой модели, в чем сильно ошибся. Некоторые историки науки вообще считают эту статью худшей из эйнштейновских научных работ. Насколько я знаю, история умалчивает о том, ознакомился ли Эйнштейн с моделью Оппенгеймера — Снайдера, и если да, то как он ее оценил.

Замечательные исследования Оппенгеймера — Волкова и Оппенгеймера — Снайдера стоят в начале долгой и славной истории приложения шварцшильдовского решения уравнений ОТО к анализу конкретных астрофизических моделей. Новые шаги в этом направлении были сделаны уже в послевоенное время, и их описание выходит за рамки моей статьи.

Поэтому ограничусь предельно кратким резюме. Физическая реальность черных дыр стала постепенно признаваться после открытия квазаров в конце 1950-х — начале 1960-х годов. Окончательное решение проблемы тотального коллапса очень массивных звезд, исчерпавших свое ядерное топливо, было найдено во второй половине ХХ века усилиями плеяды блестящих физиков-теоретиков, в том числе и советских, в основном, из группы Я. Б. Зельдовича. Оказалось, что подобный коллапс всегда сжимает звезду «до упора», полностью разрушая ее вещество и порождая черную дыру. Внутри дыры возникает сингулярность, «суперконцентрат» гравитационного поля, замкнутый в бесконечно малом объеме. У статичной дыры это точка, у вращающейся — кольцо. Кривизна пространства-времени и, следовательно, сила тяготения вблизи сингулярности стремятся к бесконечности (конечно, речь идет об описании на базе ОТО, которое не учитывает квантовых эффектов). Математическая теория черных дыр хорошо разработана и очень красива — и вся она исторически восходит к решению Шварцшильда.

Дополнение: автора, автора!

Официальным отцом термина «черная дыра» считается профессор Принстонского университета Джон Арчибальд Уилер (John Archibald Wheeler). В начале 1950-х годов он переключился с ядерной физики на ОТО и очень много сделал для превращения этих исследований в серьезную и быстро растущую область на стыке фундаментальной физики, астрофизики и космологии. Достоверно известно, что он говорил о черных дырах 29 декабря 1967 года, выступая на ежегодной конференции Американской ассоциации в поддержку науки (не исключено, что это выражение и до того несколько раз проскальзывало в его публичных лекциях). Вскоре его выступление появилось в печати (John Archibald Wheeler, 1968. Our Universe: The Known and the Unknown). Эффектное и запоминающееся название возникло очень вовремя, поскольку почти совпало по времени с первым сообщением об открытии радиопульсаров (A. Hewish et al., Observations of a Rapidly Pulsating Radio Source). Оно полюбилось физикам и привело в восторг журналистов, которые разнесли его по всему миру.

Хотя Уилер бесспорно ввел термин «черная дыра» как в язык физики, так и в массовое обращение, изобрели его все же другие. Его этимология подробно разобрана в новой книге профессора MIT Марсии Бартусяк (Marcia Bartusiak, 2015. Black Hole: How an Idea Abandoned by Newtonians, Hated by Einstein, and Gambled on by Hawking Became Loved, стр. 137-141). Согласно ее разысканиям, уже в 1960 году коллега Уилера по физическому факультету Принстонского университета Роберт Дикке (Robert Dicke), который в начале второй половины прошлого века тоже занялся гравитацией, выступая на коллоквиуме в Институте продвинутых исследований, в шутку сравнил коллапс массивной звезды с «Калькуттской черной ямой» (Black Hole of Calcutta). В середине XVIII столетия так стали называть небольшую тюремную камеру в форте Уильям, который построила в Калькутте британская Ост-Индская Компания. В июне 1756 года новый правитель Бенгалии, Бихара и Ориссы Сирадж-уд-Дауда захватил форт Уильям и уморил в этой камере несколько десятков пленных англичан, которые погибли от удушья или теплового удара. С того времени выражение black hole закрепилось в английском языке как символ чего-то, откуда нет возврата. В этом смысле его и употребил Роберт Дикке.

Как говорится, лиха беда начало. Шуточному выражению Дикке была суждена долгая и почетная жизнь в совершенно новом значении. Название «черная дыра» несколько раз прозвучало в кулуарах Первого Техасского симпозиума по релятивистской астрофизике, который состоялся в Далласе в декабре 1963 года. Вскоре его использовал научный редактор журнала Life Альберт Розенфельд, который опубликовал репортаж об этой встрече. Его первое появление в научной печати имело место 18 января 1964 года, когда в журнале Science News Letters была помещена заметка о встрече астрономов на ежегодной сессии Американской Ассоциации в поддержку науки, которая прошла в конце декабря в Кливленде. Согласно автору заметки Энн Эвинг, это выражение не раз употреблял физик из Института Годдарда Хонг-И Чиу (Hong-Yee Chiu), который признался, что впервые услышал его от Дикке парой лет раньше. Так что пальма первенства в именовании полностью сколлапсировавших звезд черными дырами скорее всего принадлежит Роберту Дикке. Интересно, что Чиу в 1964 году и сам придумал новый астрофизический термин, а именно «квазар».

В общем, выражение «черная дыра» как название финальной стадии гравитационного коллапса самых массивных звезд эпизодически использовалось и до Уилера. Такова реальная история.

Дополнение: постсолнечный карлик

Звезды главной последовательности идут к превращению в белые карлики разными путями и за разное время — в зависимости от своей начальной массы. Иллюстрации ради посмотрим, как и когда станет белым карликом наша звезда, родное Солнце. Его судьба давно и надежно просчитана.

Вот стандартный сценарий. По мере уменьшения запасов водорода солнечное ядро постепенно сжимается и разогревается, что увеличивает светимость Солнца. С момента превращения в звезду главной последовательности она уже выросла на 25–30% — и процесс идет и будет идти. Через 5,4 миллиарда лет температура центральной зоны Солнца повысится настолько, что водород загорится не только в ядре, но и в прилегающем слое. Давление в этой зоне быстро увеличится, Солнце потеряет гидростатическую устойчивость и начнет расширяться, превращаясь в красный гигант. Этот процесс займет около 2 миллиардов лет и приведет к тому, что солнечный радиус вырастет примерно в 250 раз, светимость увеличится в 2700 раз, а температура поверхности упадет до 2600 кельвинов. В этой фазе многократно возрастет интенсивность солнечного ветра, в результате чего Солнце потеряет около 30% массы.

На этом изменения не закончатся. Когда возраст Солнца приблизится к 12 миллиардам лет, температура ядра достигнет сотни миллионов градусов, и тогда в его центре загорится гелий с образованием углерода и кислорода. В это время Солнце сожмется примерно в 20 раз, так что его радиус составит 11 радиусов стабильного периода. Температура поверхности вновь повысится, хотя и не до прежнего уровня — только до 4770 кельвинов (так что Солнце из красного станет оранжевым).

Стадия гелиевого горения будет не слишком продолжительной — примерно 100 миллионов лет. На периферии в это время будет дожигаться водород, причем зона его сгорания вновь сдвинется по направлению к поверхности. К концу этой эпохи гелий загорится вокруг ядра, в то время как в самом ядре реакции синтеза уже прекратятся. Солнце опять дестабилизируется, его внешние слои вторично раздуются примерно до прежнего максимума, и оно превратится в асимптотический красный гигант с температурой поверхности около 3500 кельвинов.

Жизненный срок этого исполина окажется совсем коротким, всего лишь 30 миллионов лет. В центре его ядра быстро накопится большое количество углерода и кислорода, которые вспыхнуть уже не смогут — не хватит температуры. Внешний гелиевый слой будет продолжать гореть, постепенно расширяясь и в силу этого охлаждаясь. Скорость термоядерного сгорания гелия чрезвычайно быстро растет с повышением температуры и падает с ее снижением. Поэтому внутренности асимптотического красного гиганта начнут сильно пульсировать и в конце концов его атмосфера окажется выброшенной в окружающий космос со скоростью в десятки километров в секунду. Сначала разлетающаяся звездная оболочка под действием ионизирующего ультрафиолетового излучения нижележащих звездных слоев ярко засияет голубым и зеленым светом (такие светящиеся оболочки по чисто историческим причинам называются планетарными туманностями). Но уже через тысячи или, в крайнем случае, десятки тысяч лет она остынет, потемнеет и рассеется в пространстве.

Планетарная туманность Эскимос

Планетарная туманность Эскимос (NGC 2392). Туманность образовалась около 10 000 лет назад в ходе последних стадий эволюции солнцеподобной звезды. Свое название туманность получила из-за того, что при наблюдении в наземные телескопы она была похожа на лицо эскимоса в меховом капюшоне куртки-парки. Фото с сайта hubblesite.org

Что касается оставшегося оголенным ядра, то там превращение элементов прекратится вовсе, и оно будет светить лишь за счет накопленной тепловой энергии, все больше и больше остывая и угасая. Сжаться в нейтронную звезду или черную дыру оно не сможет, не хватит массы. В результате на месте Солнца возникнет белый карлик, состоящий из ядер углерода и кислорода, погруженных в вырожденный электронный газ. Его масса составит 54% нынешней массы нашего светила, то есть, сильно не дотянет до предела Чандрасекара, поэтому электронный газ будет нерелятивистским. Где-то через триллион лет он остынет до десятков градусов Кельвина, практически перестанет излучать тепло и станет черным карликом.

Если бы наша Галактика была обречена на одиночное путешествие по Космосу, этот прогноз имел бы стопроцентную достоверность. Однако через 4 миллиарда лет Млечный Путь встретится и сольется с соседней Андромедой, образовав новую гигантскую галактику. В еще более отдаленном будущем ей суждено объединение с галактикой М33, она же галактика Треугольника. Нельзя заранее исключить того, что в этой звездной ассоциации ставшее белым карликом Солнце окажется членом тесной бинарной системы, имея в качестве партнера звезду главной последовательности или красный гигант. Если ее вещество начнет перетекать на поверхность Солнца, может случиться так, что Солнце или станет новой звездой, или даже превратится в сверхновую типа Ia и полностью исчезнет в чудовищном по силе взрыве. Однако, насколько можно судить, вероятность такого исхода очень мала, так что стандартный сценарий имеет все шансы на осуществление.

Алексей Левин


Комментарии (68)



Последние новости: АстрофизикаФизикаАлексей Левин

11.05
Аномалия в распадах B-мезонов подтверждается еще в одном эксперименте
10.05
ATLAS обновил данные по топ-антитоп-хиггс отклонению
9.05
Коллайдер набирает обороты
1.05
Поломка трансформатора на неделю задерживает работу коллайдера
27.04
Теоретики продолжают искать объяснения двухфотонному пику
26.04
ATLAS не проясняет ситуацию с распадом B-мезона на мюоны
25.04
CMS выложил в свободный доступ 300 ТБ своих данных
12.04
Коллайдер не видит «двуххиггсовских» тяжелых резонансов
11.04
Коллайдер ищет невидимые частицы в данных Run 2
10.04
Прошел пробный сеанс протонных столкновений


Новости науки по темам: антропология, археология, астрономическая научная картинка дня, астрономия, биология, биотехнологии, генетика, геология, затмения, информационные технологии, космос, лингвистика, математика, медицина, нанотехнологии, наука в России, наука и общество, Нобелевские премии, палеонтология, Первое апреля, психология, технологии, физика, химия, эволюция, экология, энергетика, этология

Новости науки по авторам: Валентин Анаников, Дарья Баранова, Вера Башмакова, Александр Бердичевский, Максим Борисов, Варвара Веденина, Александр Венедюхин, Михаил Волович, Михаил Гарбузов, Алексей Гиляров, Дмитрий Гиляров, Сергей Глаголев, Евгений Гордеев, Николай Горностаев, Владимир Гриньков, Дмитрий Дагаев, Юрий Ерин, Анастасия Еськова, Дмитрий Жарков, Андрей Журавлёв, Дмитрий Замолодчиков, Игорь Иванов, Вячеслав Калинин, Павел Квартальнов, Мария Кирсанова, Дмитрий Кирюхин, Александр Козловский, Юлия Кондратенко, Артем Коржиманов, Ольга Кочина, Виталий Кушниров, Иван Лаврёнов, Алексей Левин, Андрей Логинов, Сергей Лысенков, Лейла Мамирова, Александр Марков, Мария Медникова, Вадим Мокиевский, Григорий Молев, Тарас Молотилин, Марат Мусин, Максим Нагорных, Елена Наймарк, Алексей Опаев, Петр Петров, Александр Пиперски, Константин Попадьин, Сергей Попов, Роман Ракитов, Татьяна Романовская, Александр Самардак, Александр Сергеев, Андрей Сидоренко, Виктория Скобеева, Даниил Смирнов, Дарья Спасская, Любовь Стрельникова, Алексей Тимошенко, Александр Токарев, Мария Шнырёва, Сергей Ястребов, Светлана Ястребова

Новости науки по месяцам: 2016 V, IV, III, II, I  2015 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2014 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2013 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2012 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2011 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2010 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2009 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2008 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2007 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2006 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2005 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I 

Новости науки почтой (рассылка на Subscribe.ru):

 


Где еще почитать научные новости: «Биомолекула», «Вокруг света», Газета.ру. Наука, «Наука и жизнь», Наука и технологии РФ, «Научная Россия», «Популярная механика», РИА Наука, «Чердак», N+1, Naked Science

 


при поддержке фонда Дмитрия Зимина - Династия