Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков

Три независимых группы математиков утверждают, что полностью доказали гипотезу Пуанкаре — одну из самых сложных задач XX века. Окончательный вердикт, возможно, будет вскоре объявлен на Международном конгрессе математиков.

Гипотеза Пуанкаре уже доказана, но кто получит миллион долларов — Григорий Перельман, набросавший идею доказательства, или авторы одной из трех статей, представившие полный текст доказательства по следам его препринтов? (Изображение с сайта www.claymath.org)
Гипотеза Пуанкаре уже доказана, но кто получит миллион долларов — Григорий Перельман, набросавший идею доказательства, или авторы одной из трех статей, представившие полный текст доказательства по следам его препринтов? (Изображение с сайта www.claymath.org)

Процесс доказательства гипотезы Пуанкаре сейчас, по-видимому, вступает в заключительную стадию. Три группы математиков окончательно разобрались в идеях Григория Перельмана и за последние пару месяцев представили свои версии полного доказательства этой гипотезы.

Гипотеза, сформулированная Пуанкаре в 1904 году, утверждает, что все трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность кое в чем похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным. Подробности об этой гипотезе и об истории ее доказательства читайте в популярной заметке Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре в журнале «Компьютерра».

За доказательство гипотезы Пуанкаре Математический институт им. Клэя присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле, для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть на уровень глубже, в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей «нового поколения».

Как и в ситуации с теоремой Ферма, выяснилось, что гипотеза Пуанкаре есть частный случай гораздо более общего утверждения о геометрических свойствах произвольных трехмерных поверхностей — гипотезы геометризации Тёрстона (Thurston's Geometrization Conjecture). Поэтому усилия математиков были направлены не на решение этого частного случая, а на построение нового математического подхода, который способен справляться с такими задачами.

Прорыв в 2002-2003 годах совершил российский математик Григорий Перельман. В своих трех статьях math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, предложив ряд новых идей, он развил и довел до конца метод, предложенный в 1980-е годы Ричардом Гамильтоном. В своих работах Перельман утверждает, что построенная им теория позволяет доказать не только гипотезу Пуанкаре, но и гипотезу геометризации.

Суть метода состоит в том, что для геометрических объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции», похожее на уравнение ренормализационной группы в теорфизике. Исходная поверхность в ходе этой эволюции будет деформироваться и, как показал Перельман, в конце концов плавно перейдет именно в сферу. Сила этого подхода состоит в том, что, минуя все промежуточные моменты, можно сразу заглянуть «в бесконечность», в самый конец эволюции, и обнаружить там сферу.

Работы Перельмана положили начало интриге. В своих статьях он развил общую теорию и набросал ключевые моменты доказательства не только гипотезы Пуанкаре, но и гипотезы геометризации. Полного доказательства во всех деталях Перельман не представил, хотя утверждал, что обе гипотезы он доказал. В том же 2003 году Перельман совершил турне по США с серией лекций, на которых четко и подробно отвечал на любые технические вопросы слушателей.

Сразу же после опубликования препринтов Перельмана специалисты приступили к проверке ключевых моментов его теории, и ни одной ошибки до сих пор не найдено. Более того, за прошедшие годы несколько коллективов математиков смогли впитать предложенные Перельманом идеи до такой степени, чтобы приступить к записыванию полного доказательства «набело».

В мае 2006 года появилась работа B. Kleiner, J. Lott, math.DG/0605667, в которой был дан подробный вывод опущенных моментов в доказательстве Перельмана. (Кстати, эти авторы поддерживают веб-страничку, посвященную статьям Перельмана и связанным с ними работам.)

Затем в июне 2006 года в журнале Asian Journal of Mathematics была опубликована 327-страничная статья китайских математиков Huai-Dong Cao и Xi-Ping Zhu, озаглавленная «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации — приложение теории Гамильтона—Перельмана о потоках Риччи». Сами авторы не претендуют на абсолютно новое доказательство, а лишь утверждают, что подход Перельмана действительно работает.

Наконец, на днях появился 473-страничная статья (или уже книга?) J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607, в которой авторы, по следам Перельмана, приводят свое доказательство гипотезы Пуанкаре (а не более общей гипотезы геометризации). Джон Морган (John Morgan) считается одним из главных специалистов по этой проблеме, и после выхода его работы можно, по-видимому считать, что гипотеза Пуанкаре окончательно доказана.

Интересно, кстати, что вначале статья китайских математиков распространялась только в бумажной версии по цене 69 долларов, так что далеко не все желающие имели возможность взглянуть на нее. Но уже на следующий день после появления в архиве препринтов статьи Моргана—Тяна на сайте Asian Journal of Mathematics появилась и электронная версия статьи.

Чья доводка доказательства Перельмана точнее и прозрачнее — покажет время. Не исключено, что в ближайшие годы оно упростится, как это случилось с теоремой Ферма. Пока что видно лишь увеличение объема публикаций: от 30-страничных статей Перельмана до толстой книжицы у Моргана и Тяна, но связано это не с усложнением доказательства, а с более подробным выводом всех промежуточных шагов.

А тем временем ожидается, что на Международном конгрессе математиков, который пройдет в августе этого года в Мадриде, будет «официально» объявлено об окончательном доказательстве гипотезы и, возможно, о том, кому будет присуждена премия Института Клэя. Кроме этого, ходят слухи, что Григорий Перельман станет одним из четырех филдсовских медалистов, что является высшим знаком отличия для молодых математиков.

Игорь Иванов


16
Показать комментарии (16)
Свернуть комментарии (16)

  • Аматор  | 03.08.2006 | 19:18 Ответить
    Г-н Иванов "все извилины заплел" (без разрывов и склеек)! :)

    "...все трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей."

    Наверное, для "аматоров" не лишним было бы уточнить, что "гомеоморфны" не двухмерной, а трехмерной сфере!

    Я не слышал об этой гипотизе Пуанкаре, но когда прочел слово "сфера", то автоматически подумал об обычной двухмерной...Но потом вспомнил, что размерность многообразия - топологический инвариант, который сохраняется при гомеоморфных преобразованиях. Поэтому кусок трехмерного многообразия не может быть гомеоморфен двухмерному.
    Ответить
    • spark > Аматор | 03.08.2006 | 21:55 Ответить
      Ну да, речь идет о трехмерной сфере, т.е. поверхности четырехмерного шара. Я наверно слишком кратко написал формулировку; желающих подробнее ознакомиться с самой гипотезой приглашаю читателей прочитать статью в "Компьютерре".
      Ответить
      • n0isy > spark | 04.08.2006 | 02:10 Ответить
        Хм. А разве обычную нашу родную сферу "разрезав", можно обратно сложить во что-то иное? Я почему-то считал - что 3-х мерная - это значит наша - объемная... :-)
        Ответить
  • Роман  | 23.08.2006 | 23:52 Ответить
    Кто может сказать, что математическое представление о 4-мерном пространстве соотвествует физической реальности?
    Ответить
    • nick > Роман | 24.08.2006 | 20:45 Ответить
      Если представление правильное, то оно соответствует физической реальности.
      Ответить
      • Роман > nick | 25.08.2006 | 13:24 Ответить
        Правильное математическое представление не гарантирует верное физическое представление. Физическое пространство имеет совершенно другую структуру, и соответственно математические теоремы не применимы при описании реального пространства-времени, в определеных пределах допустимо применять "математический подход".
        По крайней мере, почти все фундаментальные уравнения физики говорят о том, что физическое пространство не обладает математической однородностью и линейностью, тем более в присутствии вещества.
        Ответить
  • nick  | 24.08.2006 | 11:08 Ответить
    А не верно ли следующее:
    Все 2n-1 - мерные поверхности (связные) в 2n - мерном пространстве гомеоморфны сфере? Т.е. "В пространствах четных размерностей торов нет!"
    Ответить
    • nick > nick | 24.08.2006 | 20:02 Ответить
      Хочу добавить следующее. В предыдущем сообщении забыл сказать, что n - натуральное число. Но дело в другом. Ребята, а результаты Г.Перельмана выглядят очень правдоподобно! В самом деле, теорема Григория Перельмана всего лишь еще одно подтверждение т.н. антропного принципа!! Почему мы с вами живем в 3D пространстве? Да потому, что в пространстве других измерений нас бы (и жизни вообще) не было бы! Человек представляет собой с топологической точки зрения тор (или трубу, если так нагляднее). Так вот, в пространствах четных измерений такие конструкции невозможны!!! Легко убедиться в этом на примере 2D пространства - попробуйте нарисовать на плоском листе бумаги существо, обладающеее внутренним сквозным проходом - оно распадется у вас всегда на две половинки (т.е. станет несвязным).
      Ответить
      • spark > nick | 24.08.2006 | 21:01 Ответить
        Гипотеза Пуанкаре ни с физической реальностью, ни с "формой вселенной" (как писали некоторые СМИ), ни с антропным принципом не связаны. По поводу последнего отмечу, что аналоги гипотезы Пуанкаре для ВСЕХ других размерностей уже доказаны. Случай 3-сферы в 4-мерном пространстве просто оказался самым сложным.
        Ответить
      • Роман > nick | 25.08.2006 | 12:43 Ответить
        Нарисовал!!!
        1.свозной проход перпендикулярен плоскости.
        2.существо нарисовано на плоской трубке.
        Как понятно если отойти от догматического и упрошенного представления о 2-мерном пространстве, то все возможно.
        аналогично можно сказать об 3-мерном пространстве, нет доказательств того что оно ровное и плоское, на всех масштабах. В ОТО расматривается кривизна пространства как эффект гравитации, НО ПРИЧИНЫ??? такой кривизны не понятны.
        Ответить
        • nick > Роман | 29.08.2006 | 10:05 Ответить
          То, что перпендикулярно плоскости уже выходит из двумерного пространства этой плоскости. Трехмерное (как и двумерное) пространство может быть "ровным и плоским", а может быть и искривленным. Другой вопрос - наше реальное трехмерное (!) пространство кривое или нет? Наблюдения говорят, что оно плоское с потрясающей точностью, но, может быть, слегка искривлено. Если плотность Вселенной в точности равна критической, то пространство плоское, но средняя плотность Вселенной еще не определена с необходимой точностью.
          Ответить
          • Роман Романович > nick | 29.08.2006 | 14:34 Ответить
            Наше пространство в обычном (Эйнштейновском) представлении кривое, из-за гравитации (ОТО).
            НО мне непонятно почему знак кривизны не определен? Это принципиально важно.
            Отсутствие однозначности говорит о том, что в космологических моделях на базе ОТО есть ошибки.
            Особенно если учесть, что тензор кривизны эл.поля равен нулю.
            И какое отношение имеет критическая плотность к знаку кривизны пространства?
            То есть математический формализм ОТО не совпадает с реальным пространством.
            Поэтому есть интересный вопрос, насколько верно математическое представление об 4-мерном пространстве??? Ведь вся наша логика опирается на 3-мерные представления. Пример с 3-плоскостью нельзя считать удачным и абсолютно точным.
            Ответить
    • рыбак > nick | 22.11.2007 | 19:48 Ответить
      Неверно. Гиперплоскость в пространстве любого числа измерений.
      Ответить
    • рыбак > nick | 22.11.2007 | 19:48 Ответить
      Неверно. Гиперплоскость в пространстве любого числа измерений.
      Ответить
  • vos  | 08.08.2007 | 19:30 Ответить
    Несколько ссылок на переводы по "делу Перельмана":

    большая статья из газеты "Нью-Йоркер" (конец августа 2006 г.) - http://th1.ihep.su/soloviev/perevod/Perelman_trans.htm
    ответ Яу на нападки из AMS Notices (апрель 2007 г.) -
    http://th1.ihep.su/soloviev/perevod/Yau.html
    фотоснимки папарацци (июнь 2007 г.) -
    http://ub7com.livejournal.com/202268.html
    Ответить
  • Андрей любопытный  | 17.03.2011 | 17:03 Ответить
    ..ни какого доказательства гипотезы Пуанкаре не существует, так как не существует самой проблемы гомеоформости и 3-х мерности пространства..скорость С-света Эйнштейна для взаимодействия с пространством не изменена и не делима...и она "скорость С" находиться в единственном числе.., все то, что дальше вы сможете произвести в этом мире со скорость света (не делимой и единственной)
    выполняя или создавая математические формулы..вычисляя их ..или просто создавая любые другие небылицы в математике и геометрии пространства..все будет основано на неделимости и постоянстве взаимодействия материи с существующим пространством..но только в единственном числе..и только в плоскости пространства..как кратчайшее расстояние для взаимодействия с материей..с точностью до деформации пространства..в следующую плоскость..для последующего
    неделимого взаимодействия через кратчайшее расстояние пространства..и так раз за разом.. шаг за шагом..эволюционируя в пространстве..
    …а сфера???..такой конструкции вообще не существует в нашей части вселенной…нельзя пробежать расстояние окружности сферы быстрее, чем расстояние ее диаметра.
    Ответить
Написать комментарий


Элементы

© 2005-2017 «Элементы»