Великая теорема Ферма

Для целых чисел n больше 2 уравнение xn + yn = zn не имеет ненулевых решений в натуральных числах.

Вы, наверное, помните со школьных времен теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Возможно, вы помните и классический прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых соотносятся как 3 : 4 : 5. Для него теорема Пифагора выглядит так:

32 + 42 = 52

Это пример решения обобщенного уравнения Пифагора в ненулевых целых числах при n = 2. Великая теорема Ферма (ее также называют «Большой теоремой Ферма» и «Последней теоремой Ферма») состоит в утверждении, что при значениях n > 2 уравнения вида xn + yn = zn не имеют ненулевых решений в натуральных числах.

История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно. Дело в том, что математика для Ферма была чем-то вроде хобби, а не профессиональным занятием. Он переписывался с ведущими математиками своего времени, однако публиковать свои работы не стремился. Научные труды Ферма в основном обнаружены в форме частной переписки и обрывочных записей, часто сделанных на полях различных книг. Именно на полях (второго тома древнегреческой «Арифметики» Диофанта. — Прим. переводчика) вскоре после смерти математика потомки и обнаружили формулировку знаменитой теоремы и приписку:

«Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки».

Увы, судя по всему, Ферма так и не удосужился записать найденное им «чудесное доказательство», и потомки безуспешно искали его три с лишним века. Из всего разрозненного научного наследия Ферма, содержащего немало удивительных утверждений, именно Великая теорема упорно не поддавалась решению.

Кто только не брался за доказательство Великой теоремы Ферма — всё тщетно! Другой великий французский математик, Рене Декарт (René Descartes, 1596–1650), называл Ферма «хвастуном», а английский математик Джон Уоллис (John Wallis, 1616–1703) — и вовсе «чертовым французом». Сам Ферма, правда, все-таки оставил после себя доказательство своей теоремы для случая n = 4. С доказательством для n = 3 справился великий швейцарско-российский математик XVIII века Леонард Эйлер (1707–83), после чего, не сумев найти доказательств для n > 4, в шутку предложил устроить обыск в доме Ферма, чтобы найти ключ к утерянному доказательству. В XIX веке новые методы теории чисел позволили доказать утверждение для многих целых чисел в пределах 200, однако, опять же, не для всех.

В 1908 году была учреждена премия в размере 100 000 немецких марок за решение этой задачи. Призовой фонд был завещан германским промышленником Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), который, согласно преданию, собирался покончить жизнь самоубийством, но так увлекся Великой теоремой Ферма, что передумал умирать. С появлением арифмометров, а затем и компьютеров планка значений n стала подниматься всё выше — до 617 к началу Второй мировой войны, до 4001 в 1954 году, до 125 000 в 1976 году. В конце XX столетия мощнейшие компьютеры военных лабораторий в Лос-Аламосе (Нью-Мексико, США) были запрограммированы на решение задачи Ферма в фоновом режиме (по аналогии с режимом экранной заставки персонального компьютера). Таким образом удалось показать, что теорема верна для невероятно больших значений x, y, z и n, но строгим доказательством это послужить не могло, поскольку любые следующие значения n или тройки натуральных чисел могли опровергнуть теорему в целом.

Наконец в 1994 году английский математик Эндрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), работая в Принстоне, опубликовал доказательство Великой теоремы Ферма, которое, после некоторых доработок, было признано исчерпывающим. Доказательство заняло более ста журнальных страниц и основывалось на использовании современного аппарата высшей математики, который в эпоху Ферма разработан не был. Так что же тогда имел в виду Ферма, оставляя на полях книги сообщение о том, что доказательство им найдено? Большинство математиков, с которыми я беседовал на эту тему, указывали, что за века накопилось более чем достаточно некорректных доказательств Великой теоремы Ферма, и что, скорее всего, сам Ферма нашел подобное доказательство, однако не сумел усмотреть в нем ошибку. Впрочем, не исключено, что все-таки имеется какое-то короткое и изящное доказательство Великой теоремы Ферма, которое никто до сих пор не нашел. С уверенностью можно утверждать лишь одно: сегодня мы точно знаем, что теорема верна. Большинство математиков, я думаю, безоговорочно согласятся с Эндрю Уайлсом, который заметил по поводу своего доказательства: «Теперь наконец мой ум спокоен».

Пьер де ФЕРМА
Пьер де ФЕРМА
Pierre de Fermat, 1601–65

Французский математик и юрист. Родился в Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne). Изучал право, работал судьей. В свободное время увлекался математикой и внес значительный вклад в развитие различных отраслей этой науки, за что получил прозвище «король любителей». Помимо теории чисел (так называется область математики, к которой относится Великая теорема Ферма) еще до Ньютона разработал многие основы дифференциального исчисления, а совместно с Блезом Паскалем (Blaise Pascal, 1623–62) основал теорию вероятностей. В оптике сформулировал принцип Ферма, согласно которому преломление света на границе двух сред обусловлено различной скоростью распространения света в различных средах.


56
Показать комментарии (56)
Свернуть комментарии (56)

  • Derbasov  | 03.06.2005 | 14:33 Ответить
    О Большой теореме Ферма имеется много интересных публикаций.
    Интересно было бы узнать, имеются ли доказательства теоремы, связанные с делителями, представляющими собой сумму квадратов двух взаимнопростых чисел.

    С уважением,
    Игорь.
    Ответить
    • hevuelto > Derbasov | 23.06.2008 | 22:27 Ответить
      Сумму квадратов двух взимнопростых чисел использовали, но авторы этого метода, доказательства не создали. Тупиковый путь.
      Ответить
  • cto  | 04.10.2005 | 16:50 Ответить
    Здравствуйте!

    На сайте

    laplas.narod.ru/my_dok_ferma.htm

    Я нашёл доказательство теоремы Ферма.

    Могли бы ваши специалисты прокомментировать это доказательство.

    С Уважением

    Егор
    Ответить
    • veprus > cto | 02.06.2006 | 06:39 Ответить
      До шага 2 написаны тривиальные вещи, а сам шаг 2 неверен. Для 4 не существует двух натуральных чисел y,z, для которых 4+y^2=z^2.
      Ответить
  • olegal  | 18.06.2007 | 17:59 Ответить
    ЗНАЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ БОЛЬШОЙ ТЕОРЕМЫ ДОКАЗАНА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ!
    Всем ферматистам я советую отказаться от дедуктивных приемов поиска доказательств Большой теоремы. Здесь более пригоден детективный метод. Надо, пользуясь открытыми источниками, составить перечень сведений по теории чисел, которыми наверняка располагал Пьер Ферма. Затем выделить то, что может пригодиться для доказательства пресловутой теоремы. На этом пути вы с удивлением обнаружите, что Ферма (кроме всего прочего) доказал так называемую Малую теорему. А с ее помощью нетрудно доказать, что злополучное уравнение для целых показателей степени вида n = p - 1, где число p > 3 - простое, не имеет решений в целых числах X, Y и Z. Тем самым Большая теорема Ферма верна для всех показателей стерени, на единицу меньших простого числа p > 3. Остается совсем немного: доказать теорему полностью (если это вообще теорема, а не аксиома).
    Доказательство Большой теоремы для бесконечного числа показателей вида n = p - 1 > 2 опубликовано в журнале "КВАНТ" (Задачи наших читателей. //Квант. ?6-1986, с.19; ?10-1986, с. 64.)
    Ответить
    • Lathean > olegal | 23.12.2008 | 12:54 Ответить
      Именно так! При доказательстве нужно оперировать исключительно теми математическими методами, которые были доступны П. Ферма, т. е. использовать математический потенциал XVII века.
      Ответить
  • SAM888  | 16.08.2007 | 19:59 Ответить
    Имеет ли какую либо пользу в дальнейшем развитии математики доказательство теоремы Ферма
    Ответить
    • Orlangur > SAM888 | 19.10.2007 | 16:55 Ответить
      Скорее обратная связь - попытки доказать сподвигли развить нехилый матаппарат.
      Ответить
  • olegal  | 15.09.2010 | 09:35 Ответить
    С некоторым удивлением я обнаружил, что есть еще люди, стремящиеся доказать ВТФ, зная, что премии они не получат. Вот уж действительно преданность науке! Я и сам пробовал найти доказательство, которым хвастал Ферма, и могу утверждать, что он его имел. Это легко установить детективным способом, не прибегая к математической дедукции.
    Известно, что Пьер Ферма доказал так называемую Малую теорему. Она гласит, что остаток от деления числа А в степени Р-1 на простое число Р равен единице: А^(Р-1)=1(modP). То есть, при (А,Р)=1 число
    А^(Р-1)-1 делится на Р без остатка. При этом нетрудно доказать, что уравнение X^(P-1)+Y^(P-1)=Z^(P-1) при Р>3 не имеет целочисленных решений. Для этого запишем эквивалентное уравнение [X^(P-1)-1]+[Y^(P-1)-1]=Z^(P-1)-2 и разделим обе его части на Р. Согласно Малой теореме слагаемые в левой части при (Х,Р)=1 и (Y,P)=1 делятся на Р нацело и сумма {[X^(P-1)-1]/P}+{[Y^(P-1)-1]/P} является целым числом.
    Напротив, число [Z^(P-1)-2]/P не может быть целым, поскольку остаток от деления Z^(P-1)-2 на Р при (Z,P)=1 равен P-1, а при Z, делящемся на Р, остаток равен P-2.
    Таково элементарное доказательство ВТФ X^N+Y^N=Z^N для бесконечного множества показателей степени вида N=P-1, где простое P>3. И это доказательства опубликовано в рецензируемом журнале (Черепанов О.А. Задачи наших читателей.//Квант. -1986.-№6.–С. 19; -№10.–С. 64.)
    Но поскольку реконструированное доказательство является частичным, то возникает вопрос: что еще знал Пьер Ферма, утверждая, будто его Великая теорема верна для всех натуральных N>2?
    Например, если бы Ферма знал, что его Малая теорема обобщена Эйлером как А^F(M)=1(modM), где F(M) – арифметическая функция, значение которой равно количеству натуральных чисел, не превосходящих числа M и взаимно простых с M, то аналогичным способом доказал бы, что уравнение X^N+Y^N=Z^N, где N=F(M), при F(M)>2 и M>4 также не имеет решений в целых положительных числах.
    Ответить
    • persicum > olegal | 08.04.2016 | 08:48 Ответить
      Облом, p должно быть взаимнопростым с X,Y,Z, а это не факт, МТФ не сработает. Поэтому для n=p-1 нет такого доказательства. Софи Жармен доказала для p, когда 2р+1 простое, используя МТФ
      Ответить
  • innotech  | 20.08.2012 | 20:24 Ответить
    Теорема Ферма верна, в противном случае «рухнет» часть математики связанная с треугольником Паскаля – бином Ньютона, числа Фиббоначи, комбинаторика, как и исчезнет сам треугольник.
    Ответить
    • ВиРа > innotech | 29.11.2012 | 21:31 Ответить
      Т.о., "innotech" утверждает, что имеет доказательство 'от противного' для этой теоремы !!!
      Осталось предъявить это замечательное док-во ...
      Ответить
  • popov  | 30.11.2012 | 16:57 Ответить
    Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.

    Начальные условия. Имеем: уравнение Ферма F^n=Α^n+B^n (1) при n>2 и его частный случай – уравнение Пифагора Α^2+B^2=C^2 (2) для прямоугольного треугольника. Здесь Α=p^2-q^2, B=2pq, С=p^2+q^2, F≠C. Числами p и q могут быть любая пара натуральных положительных чисел, не имеющих общих множителей (3). При этих условиях расчёт даёт чистую пифагорову тройку, (т.е. не требующую сокращений). Отметим, числа p и q на месте катетов А и В дают иррациональную гипотенузу С уже при n=2, Присутствие иррационального элемента в уравнении априори означает иррациональность уравнения в целом, поэтому на участие в ВТФ могут претендовать только пифагоровы А и В.

    1.Тригонометрический эквивалент уравнения Ферма .
    F=С*[(sin α)^n +(cos α)^n]^1/n (4). Здесь: α = αrc tg (Α/B). Тригонометрические функции sin α =А/C и cos α =B/C – рациональные дроби, взаимно зависимые по уравнению (sin α)^2+(cos α)^2=1. При n>2 функция (sin α)^n+(cos α)^n<1. В интервале 0< α <45 имеем (2^1/2)/2<
    (sin α)^n+(cos α)^n<1 (5).
    Уравнение (4) позволяет определить область существования функции. Это криволинейный треугольник, очерченный линиями:
    - дугой окружности по уравнению (4) при n=2,
    - асимптотой при n → ∞ F=C*[(sinα)^∞+(cos α)^∞)]^1/∞=C*cosα (6); здесь необходимо отметить факт: интервал B<F<(B+1) есть зона не целого F, при этом рубеж F=(B+1) достигается в степенях, несравнимо меньших n→∞; например: архимедова тройка чисел 3^2+4^2=5^2 уже в степени n=3 оказывается в зоне не целого, точнее – иррационального, F – 3^3+4^3=4,49791445…^3, тройка 20^2+21^2=29^2 при n=11: 20^11+21^11=21,80756298…^11, тройка 696^2+697^2=985^2 при n=336: 696^336+697^336=697,997799…^336...
    - асимптотой при α →45, когда А→В, F=C*[(sin 45)^n+(cos 45)^n]^1/n =C*(2^1/2)/2*2^1/n=C*2^(1/n-1/2) (7).
    Поэтому поиск целочисленного решения по уравнению (4) вблизи от пределов n→∞ и α →45 оказывается совершенно бессмысленным. Отсутствие случайных целочисленных решений по уравнению (1) внутри криволинейного треугольника доказывается решением треугольника Ферма по теореме косинусов: F^2=Α^2+В^2-2ΑBcosy, где cоsy={1-[(sinα)^n+(cos α)^n)]^2/n}/sin 2α (8) - всегда число иррациональное из-за присутствия в его составе иррационального элемента (5). В развёрнутом виде:
    F^2=Α^2+B^2-2ΑB{1-[(sin αrctgΑ/B)^n+(cos αrctgΑ/B)^n]^2/n}/sin2α (9).
    Великая теорема Ферма доказана.

    2. Уравнение (1) в виде произведения двух чисел F=(C^2*M)^(1/n) (10).
    Число М есть частное от деления числа (Α^n+B^n) на пифагорово число (Α^2+B^2). При n=4m+2=2,6,10,14…, (где m=0,1,2,…∞), число М представляет собой неполный бином Ньютона (отличающийся от последнего биномиальными коэффициентами, равными 1): M=Α^(n-2)-Α^(n-4)B^2+Α^(n-6)B^4 -…-А^4В^(n-6)+Α^2B^(n-4)-B^(n-2) (11).
    В тоже время число М есть некоторое пифагорово Сi: М=Сi≠C, то есть обладает всеми признаками и свойствами (квази)простого числа С, главное из которых - отсутствие в структуре числа n равных сомножителей, что не позволяет рассчитывать на целочисленный радикал M^1/n. Пример: тройка 20^2+21^2=29^2, при n=6: (Α^6+B^6) =149766121. М=149766121/29^2= 178081=41^2+420^2=37*4813.
    В трёх степенях из каждой четвёрки степеней число М оказывается дробным (дробная часть уравнения - в конце строк (12), (13), (14):
    n=4m-1=3,7,11,15… M=Α^(n-2)-Α^(n-4)B^2+Α^(n-6)B^4-…+ΑB^(n-3)
    -(Α-B)B^(n-1) /(Α^2+B^2) (12),
    n=4m=4,8,12,16,20…M=Α^(n-2)-Α^(n-4)B^2+Α^(n-6)B^4-…+Α^2B^(n-4)-B^(n-2) + 2B^n /(Α^2+B^2) (13),
    n=4m+1=5,9,13,17… M=Α^(n-2)-Α^(n-4)B^2+Α^n-6)B^4-…-ΑB^(n-3) +(Α+B)B^(n-1)/(Α^2+B^2) (14).
    Но если М – число дробное, то радикал (M^1/n) - число иррациональное.
    Таким образом, уравнение (10) F=C^(2/n)*M^(1/n) , как произведение двух разных иррациональных чисел (числа С^2 и М не имеют общих множителей) есть число иррациональное.

    Подробнее - на сайте http://popov41l.aterix.ru/
    Авторы Попов Леонид Федорович, Селин Артём Алексеевич
    Ответить
    • ВиРа > popov | 02.12.2012 | 18:38 Ответить
      Красивая идея привлечь несоизмеримость гипотенузы с катетами
      "гасится" существованием троек Пифагора (оригинальных, названных кем-то "примитивными", и прочих - с примитивным умножением их на целое).

      Остальное дилетанту, мне, не понятно, и нужна гиперссылка на файл с чётким изложением доказательства - без ... принятия желаемого за действительное.
      Ответить
      • popov > ВиРа | 04.12.2012 | 17:23 Ответить
        Господин ВиРа!
        Учитывая (с ваших же слов), что вы дилетант, даю вам очередной урок
        математики для начинающих. (В отличии от ваших “примитивных литературных” изысков с принятием желаемого за действительное, совершенно бездоказательно… У нас же каждый шаг обеспечивается математически…
        Итак, имеем два уравнения: F^n=A^n+D^n и C^2=A^2+B^2. Известно, масштаб не нарушает подобия и, соответственно, гармонии чисел. Это даёт нам право разделить уравнение Ферма на С^n, или на (А^2+B^2):
        1. F^n/C^n=(A^n/C^n+B^n/C^n), или F^n =C^n * [(sinα)^n+(cosα)^n] F=C^n * [(sinα)^n+(cosα)^n]^1/n… Далее, по нашему тексту от 30.11.2012…
        2. F^n/C^2=(A^n+B^n)/(A^2+B^2), отсюда F^n=MC^2… Далее по тексту..
        Так что никакой подставы… Мы грамотно вскрыли истину, которую искали. Подробнее - здесь: http://popov41l.aterix.ru/
        Если будут вопросы по существу, чтобы не засорять чепухой сайт Элементы, пишите selen_a@mail.ru.
        От авторов, Л. Попов
        Ответить
        • ВиРа > popov | 04.12.2012 | 21:39 Ответить
          _ В отсутствие текста док-ва, написанного по правилам для авторов реферируемых журналов, я опять ничего не понял в обоих вариантах.
          _ Никаких вопросов к Леониду и Артёму не имею.
          Ответить
          • Tolya > ВиРа | 16.12.2012 | 14:22 Ответить
            Доказательство своё Ферма обнаружил при решении Диофантовых уравнений в целых числах. Вдобавок попрошу Вас ответить много ли существует прямоугольных треугольников обладающих следующим свойством : 2*Z + (X + Y) = J^2
            Z + (X + Y) = I^2
            и существует ли алгоритм их решения .
            Ответить
  • ВиРа  | 05.01.2013 | 16:34 Ответить
    ...
    Ответить
    • vxv > ВиРа | 21.05.2013 | 22:25 Ответить
      Теорема Ферма (частный случай).

      Теорема Ферма

      Дано: Если a,b,c целые числа, для уравнения: a^2+b^2=c^2, (1) то при любых целых k и n=2 значения a, b, c для (2) и (3) те же, что и в (1): (a/k)^2+(b/k)^2=(c/k)^2 (2) (a*k)^2+(b*k)^2=(c*k)^2 (3) Аналогично при n больше 2 для уравнений: a^n+b^n=c^n (4) (a/k)^n+(b/k)^n=(c/k)^n (5) (a*k)^n+(b*k)^n=(c*k)^n (6) Требуется доказать,

      что для системы из уравнений (7) и (8) при n=3 значения a,b,c ,m не являются целыми числами, принадлежащими одной и той же числовой последовательности, а уравнение (7) является неравенством для целых a, b, c.

      Доказательство: Предположим (методом от обратного), что a,b,c ,m целые (натуральные) числа для системы из двух уравнений (7-8)

      a^3+b^3=c^3 (7)

      a+b=c+m (8)
      где m=2k - целое четное число (это следует из системы 7-8 по результатам исследования сочетаний «чет-нечет»), а k- любое целое число.
      Ответить
  • vxv  | 21.05.2013 | 22:53 Ответить
    Теорема Ферма (частный случай).

    Теорема Ферма

    Дано: Если a,b,c целые числа, для уравнения: a^2+b^2=c^2, (1) то при любых целых k и n=2 значения a, b, c для (2) и (3) те же, что и в (1): (a/k)^2+(b/k)^2=(c/k)^2 (2) (a*k)^2+(b*k)^2=(c*k)^2 (3) Аналогично при n больше 2 для уравнений: a^n+b^n=c^n (4) (a/k)^n+(b/k)^n=(c/k)^n (5) (a*k)^n+(b*k)^n=(c*k)^n (6) Требуется доказать,

    что для системы из уравнений (7) и (8) при n=3 значения a,b,c ,m не являются целыми числами, принадлежащими одной и той же числовой последовательности, а уравнение (7) является неравенством для целых a, b, c.

    Доказательство: Предположим (методом от обратного), что a,b,c ,m целые (натуральные) числа для системы из двух уравнений (7-8)

    a^3+b^3=c^3 (7)

    a+b=c+m (8)
    где m=2k - целое четное число (это следует из системы 7-8 по результатам исследования сочетаний «чет-нечет»), а k- любое целое число.

    Возведем в куб обе части уравнения (8) и преобразуем, вычтя при этом (7) из (9) a^3+3(a+b)(ab-mc)+b^3=c^3+m^3 (9) 3(a+b)(ab-mc)=(2^3)(k^3) (10) 3(a/k+b/k)(a/k*b/k - m/k*c/k)=8 (11) Разделим обе части уравнения (11) дополнительно на k: 3*1/k *(a*1/k + b*1/k)(a*1/k*b*1/k - m*1/k*c*1/k)=8*1/k (12) 1/k примем за общую «единицу измерения» для целых чисел данного уравнения (размерность числовой последовательности) и согласно (1- 6), уравнение (12) запишем в виде: 3(a+b)(ab-mc)=8 (13) или (a+b)(ab-mc)=8/3 (14) Но равенство не возможно, если a,b,c и m натуральные числа. Следовательно, (13) является неравенством. Но тогда неравенством для целых a,b, c при n=3 является и «уравнение» (7), изъятое из (9), что и требовалось доказать.

    Следствия: Из доказательства автоматически следует, что 1) выражение (4) при степени n кратной 3 (например, 6, 9, 12 и т.д.) есть неравенство при любых целых a, b, c; 2) при n=2 выражение (4) может быть равенством при целых a, b, c, что следует из 2(ab-cn)=2^2; 3) исходя из бинома Ньютона и треугольника Паскаля, алгоритм доказательства применим для n=5,7,...

    P.S. Внимание! Выражение (13) сложно по смысловому содержанию.

    Писков Евгений Стефанович.
    Ответить
    • ВиРа > vxv | 22.05.2013 | 10:48 Ответить
      Равенство (a+b)(ab-mc)=8/3 (14) _ _
      возможно, например, при c = 3L, т.е. если a=3i-1 и b=3j-2.
      Ответить
      • vxv > ВиРа | 22.05.2013 | 22:54 Ответить
        Уточню. Все буквенные обозначения в доказательстве принадлежат исключительно натуральным числам (простым и составным).
        Выражение (14) призвано показать,что натуральное составное число 8 при разложении не имеет нечетного множителя. И только.
        В прочем, его можно исключить из доказательства без малейшего ущерба.
        Ответить
        • ВиРа > vxv | 23.05.2013 | 14:35 Ответить
          ...
          Ответить
          • vxv > ВиРа | 24.05.2013 | 23:09 Ответить
            Интересно, есть ли еще эксперты, кто смог бы заметить разницу между несколькими целыми единицами дюймов и таким же количеством единиц целых километров, например?
            Ответить
            • ВиРа > vxv | 25.05.2013 | 10:52 Ответить
              ...
              Ответить
              • vxv > ВиРа | 14.04.2014 | 16:24 Ответить
                http://dxdy.ru/topic75889.html
                Ответить
                • vxv > vxv | 14.10.2014 | 13:55 Ответить
                  Алгоритм доказательства теоремы, с учетом частного случая для степени n=4 и кратных четырем, распространяется для k=1 на все частные случаи без исключения.
                  Для k=1 теорема Ферма доказана.
                  Чтобы доказать теорему для любых натуральных k, достаточно доказать ее для k=1.
                  Ответить
                  • vxv > vxv | 27.10.2014 | 10:31 Ответить
                    Чтобы не мучиться с размерностями членов числовых последовательностей в (12), можно перейти сразу от (10) к (13) при k=1. Этого достаточно для доказательства. Но необходимо иметь в виду, что значения a, b, c, n при k не равном единице в (10) отличаются от a, b, c, n при k=1 в (13), которые одни и те же и в (13), и в (10) при k=1.
                    Т. о. доказательство теоремы сводится к решению системы уравнений в задаче для средней сельской школы (ну, или 8 класса ЗФТШ при МФТИ).
                    Ответить
                    • vxv > vxv | 30.10.2014 | 11:10 Ответить
                      Возможные "подборы" a, b, c, n при k, не равном единице, в(10)при переходе к (13) всегда можно заменить так же, как и сочетание 20,21,29,2k для степени n=2 на 18,24,30,2k (k=6), для соблюдения размерности, при этом не нарушая равенства для n=2 (или неравенства для n больше двух).
                      Ответить
                      • vxv > vxv | 15.12.2014 | 10:03 Ответить
                        В дополнение к доказательству (как следствие):
                        Для степени n=4 при k=1 уравнение (13) будет иметь вид:
                        2(ab-cn)(ab+cn)=16
                        Откуда следует (это не трудно показать), что либо уравнение (13) является на самом деле неравенством при натуральных a,b,c,n при k=1 , либо c,n не имеют целочисленных значений при натуральных a,b.
                        Ответить
                        • vxv > vxv | 15.06.2015 | 11:45 Ответить
                          Таким образом,для целых чисел n больше 2 уравнение x^n + y^n = z^n имеет место быть РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД.
                          Ответить
                          • vxv > vxv | 20.07.2015 | 10:42 Ответить
                            Из любого имеющегося на сегодня верного доказательства теоремы Ферма само собой следует то, что имеет место быть расходящийся числовой ряд, потому что предел его k-го члена (ck)^n-[(ak)^n+(bk)^n] или [c^n-(a^n+b^n)]k^n не стремится к нулю (необходимое условие сходимости ряда), т.к. его первый (k=1) член c^n-(a^n+b^n) не равен нулю (для натуральных значений a,b,c).
                            Например, в рамках системы уравнений 6-8 для степени n=3 при k=1 из c^n-(a^n+b^n) выделяется не равный нулю "остаток" 3(a+b)(ab-mc)-8^3.
                            http://dxdy.ru/topic75889.html
                            Ответить
                            • vxv > vxv | 21.07.2015 | 10:21 Ответить
                              Опечатка. Следует читать: "...не равный нулю "остаток" 3(a+b)(ab-mc)-8."
                              Ответить
                              • vxv > vxv | 06.04.2016 | 10:50 Ответить
                                Следует отличать в сочетаниях взаимно простых чисел их общий множитель (или размерный коэффициент k=1 числовой последовательности) от множителя отдельного составного числа из такого сочетания (остальные не делают это сознательно).
                                В рассматриваемой в доказательстве системе параметрических уравнений для предположительно натуральных взаимно простых параметров a, b, c (ОДЗ – натуральный ряд) неизвестной величиной x (или k) может быть только единица (т.е. k=1).
                                Система: (ak)^n+(bk)^n=(ck)^n\\a^n+b^n=c^n\\a+b=c+2x
                                Это утверждение справедливо для всех степеней (n) больше единицы (ИМХО).
                                Ответить
  • Agasphere  | 28.10.2013 | 14:16 Ответить
    Вот тут - http://popov41l.aterix.ru/ - содержатся еще два "доказательства" (В/Б/П ненужное зачеркнуть)ТФ - гораздо более доступных, нежели нынче "признанное". И все они (три штуки) - выходят за пределы аксиоматики теории целых чисел (арифметики). Это всё - шутки Мюнхгаузена, вытаскивающего себя за слетающий парик из болота (вместе с лошадью, на которой он сидит). См. статьи типа "Теорема Гёделя (сильная)", "Теорема Хаусдорфа" и т. п. (вторую из названных здешний Треффил, по-моему, пропустил, хотя она столь же "сильна" в плане убийства общепринятой методологии науки и влечет за собой хотя бы и тот же "принцип Гейзенберга"...)
    Всё это (вкупе с "суперструнами" и прочими LHC и якобы подтверждённым на нём Хиггс-бозонами) давно описано простой русской пословицей: "Не хочешь с.ать - не мучай ж.пу!" Именно таково состояние современной "общепризнанной науки" (в части физического естествознания), увы и ах... :(
    C уважением, Григорий Агафонов, переводчик основной массы статей этой "Энциклопедии".
    Ответить
    • ВиРа > Agasphere | 29.10.2013 | 10:20 Ответить
      "Там" нет ни одного не "агасферного", а приличного доказательства обсуждаемой теоремы -
      только аналогичное представленному выше "громыхание пустой бочки"!

      Порядочность предполагает выдачу сюда автором чего-нибудь оригинального и обоснованного чётко и ясно.
      Ответить
  • anatolii  | 28.06.2014 | 19:12 Ответить
    Ферма не ошибся и действительно в общем виде доказал теорему. И ее доказательство найдено и опубликовано в первом номере электронного журнала "Физ-мат" за 2014 год.
    Ответить
  • super.hmelnikov  | 24.07.2014 | 21:00 Ответить
    http://www.science-ru.net/phpBB3/viewtopic.php?f=4&t=47#p276

    Если кому интересно и не лень, поищите на второй странице форума 'Доказательство ВТФ'.
    Буду искренне рад спокойным возражениям.
    Ответить
  • gennady ovchinnikov  | 15.08.2014 | 19:39 Ответить
    В работе "Доказательство теоремы Ферма" показано, что уравнение теоремы Ферма является трансцендентным уравнением. Это трансцендентное уравнение не имеет решений в целых числах. Следовательно, Великая теорема Ферма верна.
    www.vixra.org: Mathematics, Number Theory, proof of fermat's theorem, Go!, vixra: 1306.0161, Proof of Fermat's Theorem, [v3].
    Ответить
    • gennady ovchinnikov > gennady ovchinnikov | 09.10.2014 | 15:22 Ответить
      В работе "Доказательство теоремы Ферма" показано, что уравнение теоремы Ферма является трансцендентным уравнением. Это трансцендентное уравнение не имеет решений в целых числах. Следовательно, Великая теорема Ферма верна. www.vixra.org: Mathematics - Number Theory - Previous months: 2013 - 1306 - vixra: 1306.0161 - [v4].
      Ответить
  • miola  | 03.10.2014 | 10:12 Ответить
    Я пыталась решить уравнение ВТФ как уравнение с целыми коэффициентами с использованием формулы представления целого числа как остатка от деления на данное натуральное. Но чтобы подтвердить противоречие, надо доказать неравенство.Кажется по-началу все нормально, а через некоторое время нахожу ошибки. А когда посмотрела гипотезу Била и применила этот метод, кажется, получилось
    https://yadi.sk/i/1fC329UfbnkAh
    Ответить
    • ВиРа > miola | 06.10.2014 | 08:59 Ответить
      Ошибка преобразования (9) в (10), -
      они не тождественны.
      Ответить
      • miola > ВиРа | 06.10.2014 | 10:32 Ответить
        Совершенно верно, я по невнимательности оставила один сомножитель, но на резуль тат это не влияет.
        Ответить
        • ВиРа > miola | 07.10.2014 | 09:22 Ответить
          .
          Далее ошибочно деление равенства на ноль и тривиальны примеры
          (типа _ 3+7+13 = 23 плюс умножим на любое простое в любой степени).
          Нет конструктивной идеи попытки док-ва, заслуживающего уникальный эпитет Пьера Ферма.
          Ответить
          • ВиРа > ВиРа | 09.10.2014 | 10:35 Ответить
            "Размножение темы" в разделе комментариев не изменило в новой редакции
            ошибочного утверждения о целости коэффициентов (5) и сохранения
            "деления на натуральное число (c^3-b^3)", якобы равное нулю.
            .
            Ответить
  • ВиРа  | 06.10.2014 | 09:31 Ответить
    .
    'Этого не может быть, потому что этого не может быть никогда.'
    =====================================================================================
    ...
    Только в 1995 году, наконец-то, была доказана эта теорема Ферма - последняя
    из сотни в его наследии, но более сотни страниц этого достижения явно исключали
    эпитет "поистине чудесное" самого автора доказательства семнадцатого века.

    И серьёзные специалисты решили поставить крест на раскрытии сей загадки :

    "среди профессиональных математиков имеется консенсус по поводу того,
    что последняя теорема Ферма - это глубоко нетривиальное утверждение, у
    которого нет и не может быть простого доказательства.
    Поэтому нет никакого смысла тратить время на изучение таких доказательств
    и поиск ошибок, которые обязательно присутствуют в них".

    Вот так в 2014 году очередному ферматисту объяснил отлынивание редакций
    всех солидных журналов от оценки работ на эту тему порядочный член редколлегии
    профильного математического журнала - профессор одного из университетов :

    т.е., 'правящие бал спецы' вооружились обоснованием отставного
    урядника из дворян по имени Василий Семи-Булатов ...
    ...
    ----------------------------------------------------------------------------------------

    Будем искать, "где зарыта собака".
    .
    Ответить
    • anatolii > ВиРа | 02.02.2015 | 23:15 Ответить
      Теорема Ферма не такая уж и сложная как ее представил Уэльс доказывая методом теории вычетов, да и ограничения у него очень большие, всего два слагаемых. Нормальное доказательство теоремы опубликовано в первом номере электронного журнала "Физ-мат" за 2014 год. Согласно приведенной теоремы показатель степени при некоторых дополнительных условиях равен количеству слагаемых числового равенства (количество слагаемых с обеих сторон равенства при этом не ограничено, что для теории вычетов является вообще непосильной задачей). Для количества же слагаемых равном двум эти дополнительные условия исчезают, поэтому и показатель степени их может быть равен только двум.
      Анатолий Соловьев
      Ответить
  • miola  | 07.10.2014 | 13:40 Ответить
    На исправленный вариант доказательства гипотезы Била
    https://yadi.sk/i/741v7WcZbrcLa
    Ответить
  • miola  | 08.10.2014 | 17:38 Ответить
    А где Вы увидели деление равенства на ноль?
    Ответить
  • ВиРа  | 06.11.2014 | 11:07 Ответить
    ...
    Ответить
    • ВиРа > ВиРа | 30.01.2015 | 15:11 Ответить
      .
      См. Вып.06."Журнал Эксцессов ТеорФизики, Упущений Физических Наук и Математические Заковыки":

      https://drive.google.com/file/d/0ByFsU0YN_ng2b0l3d0JIVVJ2NFE/view?usp=sharing

      ====== сжатое изложение ======================================================================

      Для решения уравнения z^N = y^N + x^N придётся задать два параметра.

      Оптимально : z^N - (z - P)^N = Q^N, где слева - функция F переменной z.

      Считая её непрерывной ищем экстремумы F, приравняв нулю производную :

      z^(N-1) - (z - P)^(N-1) = 0, так что z^(N-1) = (z - P)^(N-1).

      Для натуральных чисел в этом равенстве следует Р=0, и теорема доказана.
      * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
      Пару лет я браковал этот вывод, т.к. здесь Р=0 и для троек Пифагора при N=2,

      но функция F при N=2 - линейная, а поиск экстремума для таких ВСЕГДА абсурден :

      общий вид у них aZ+b=0, и поэтому a=0 невозможно в линейной функции, т.е.

      тройки Пифагора «спасены»! Подробнее – в тексте из семидесяти одной строки (27 КБ).

      =================================================================================================
      Принята на рецензию редакцией журнала "Известия АН":
      https://drive.google.com/file/d/0ByFsU0YN_ng2bVVVNElQcFU4VW8/view?usp=sharing

      ============================== 16.08.2015. =======================================================
      Из Редакции уведомили, что рецензирование может занять полгода,
      после чего рассмотрением займётся редколлегия.

      . Ждём...с
      .
      Ответить
  • monstr518  | 26.03.2016 | 23:53 Ответить
    А почему собственно теорему называют великой? Она элементарно доказывается школьной математикой и очень коротко. Что от неё зависит? Это все равно, что доказывать 1+1. Тут текста написано больше, чем алгоритмическое описание доказательства.
    Ответить
  • edmen  | 03.05.2016 | 08:38 Ответить
    Доказательство, которое могло бы поместиться на полях тетради Ферма
    http://oilforum.kz/dokazatelstvo-teoremy-ferma/
    Ответить
  • popov  | 21.10.2016 | 16:32 Ответить
    В своём вердикте (1847 г) Куммер поведал миру, что «…полное доказательство Великой теоремы Ферма лежит за пределами возможностей существующих математических подходов». Приговор Куммера стал величайшим тормозом нa пути доказательства Великой теоремы. Куммер сдался! И его можно понять…Но имеет ли право настоящий учёный на такое категорическое заявление? Для некоторых «горе математиков» этот вердикт обрёл силу закона со всеми вытекающими отсюда последствиями, главное из которых отказ от поиска
    Издание многотомника МИР МАТЕМАТИКИ (DeAGOSTINI, 2013 г.) повторяет (Том 9, стр. 10, последняя строка) стратегическую ошибку Куммера, заявляя по поводу доказательства Вайлсом гипотезы Таниямы-Шимуры , что это есть окончательное доказательство… теоремы Ферма. А по сути доказательство Вайлса не отвечает ни на один конкретный вопрос по теореме Ферма (см. контр пример Наума Элкиса).
    Настоящим на суд широкого круга читателей и учёного сообщества выносится обещанное ранее (2013 г), ныне дополненное новыми знаниями изложение Элементарного доказательства ВТФ.
    Смотрите наш блог: leopopov41.blogspot.ru,
    Доказательство: https://drive.google.com/file/d/0B7PRqw8Xf76DUTZCVUZ5NkJKaWM/view
    Ответить
  • persicum  | 23.03.2017 | 09:24 Ответить
    abc-гипотеза и разоблачение Великой теоремы Ферма.

    Последняя, большая или "Великая" теорема Ферма (ВТФ) – элементарное высказывание из теории чисел, которое снискало себе многовековую славу чрезвычайно сложной, неразрешимой задачи. Считается, что теорема Ферма была доказана профессором Принстонского университета Эндрю Уайлсом в 1994 году, причем в 1995 году доказательство было переработано и усовершенствовано, явившись полным и окончательным решением проблемы. Попробуем разобраться, какое отношение имеет Уайлс к доказательству ВТФ. Едва познакомившись с теоремой в младших классах, Уайлс загорелся желанием заполучить мировую славу покорителя неприступной вершины. Для достижения этой цели он стал профессиональным математиком. Но, разумеется, успехов на этом поприще не добился, сколько ни старался, пока не познакомился с двумя важными гипотезами. Первая гипотеза была выдвинута в середине 50-х годов и называется гипотезой Таниямы-Симуры. Она устанавливает соотношение между эллиптическими кривыми в рациональных числах и модулярными формами, которые представляют собой определённые аналитические функции комплексного переменного. А именно, каждой эллиптической кривой соответствует своя модулярная форма. Вторая гипотеза была выдвинута в 1985 году Герхардом Фреем (и доказана в 1986 году Кеном Рибетом) и заключается в том, что любой контрпример к ВТФ, если он существует, приводит к эллиптической кривой без модулярной формы. Заполучив эти гениальные, революционные идеи, наш герой-выскочка решил не упустить свой последний шанс "первооткрывателя" и на многие годы изолировал себя от всего мира, спрятавшись на чердаке собственного дома, чтобы выполнить недостающую техническую работу по доказательству той части (лишь части!) гипотезы Таниямы (полустабильные кривые), которой будет достаточно для формального завершения доказательства ВТФ, которая уже, по-сути, была доказана Фреем. Время от времени он симулировал вялую научную деятельность, публикуя свои уже имеющиеся наработки по эллиптическим кривым. Иногда, когда дело стопорилось, он высовывал нос для вынюхивания свежих идей в математике, а также подсовывал для проверки некоторые выжимки своего доказательства студентам и аспирантам в качестве "задачек" на семинарских занятиях. Разумеется, этой теме посвящено немало книг, статей, есть даже научно-популярные фильмы. Но все они сходятся в одном - доказательство ВТФ очень сложно и должно быть именно таким, каким его предоставил Уайлс на 200 страницах. И хотя в конечном итоге Уайлс удостоился престижной Абелевской премии в "за потрясающее доказательство Великой теоремы Ферма путём применения теории модулярности для полустабильных эллиптических кривых, открывающее новую эру в теории чисел", более уродливой ситуации и неподходящего доказательства невозможно себе представить за всю историю существования науки.
    Теорема Ферма - это пустельга, не имеющая никакой практической ценности. Ее истинное доказательство, как и формулировка, понятно любому любознательному школьнику. Доказать ее не сложнее, чем несоизмеримость диагонали квадрата его стороне.

    Одно известное короткое доказательство основано на гипотезе Била (1993).
    Если a^x + b^y = c^z, где a,b,c,x,y,z - натуральные числа, причем x,y,z>2, то a,b,c имеют общий простой делитель.
    Если ВТФ только и может, что отрицать, то у гипотезы Била есть положительное содержание. Тройки a,b,c существуют, но они имеют общий делитель.
    Например, 3^3 + 6^3 = 3^5, однако тут a,b,c делятся на 3.
    Теперь докажем ВТФ.
    Допустим, x = y= z = n > 2, тогда a^n + b^n = c^n. По гипотезе Била это равенство можно сократить на некоторое p, то есть (a/p)^n + (b/p)^n = (c/p)^n.
    Проделывая эту операцию снова и снова, бесконечное число раз, приходим к противоречию.
    Для достаточно больших a,b,c,x,y,z гипотезу Билла можно доказать через abc-гипотезу, но этого и не требуется, так как abc-гипотеза дает возможность доказать ВТФ напрямую.

    abc-гипотеза - (1985)
    Пусть a + b = c - упорядоченная тройка взаимнопростых чисел, тогда П(abc) - произведение составляющих эти числа различных простых сомножителей, взятых строго по одному разу.
    Если теперь записать с через степень П, как с = П(abc)^q, то оказывается, что q (качество) лежит в интервале (1/3, 5/3) для любых чисел. Менее смелая оценка интервала это (1/3, 7/4) (Baker 2004, wiki англ.). На факт доказательства ВТФ это не влияет.
    Добротность (merit) тройки вычисляется по формуле:
    m = (q-1)^2 * ln(c)/q * ln(ln(c)/q)
    Пример:
    3 + 5^3 = 2^7
    П(abc) = 3*5*2 = 30
    q = ln(128)/ln(30) = 1.427
    m = (1.427-1)^2 * ln(128)/1.427 * ln(ln(128)/1.427) = 0.789

    Для чисел порядка 10^20, для которых выполнен полный перебор,
    по этой формуле получается, что при m < 48 имеем q < 1.75, а при m < 40 имеем q < 5/3.
    Известные рекордные значения для некоторых троек:
    m=38.67 и q=1.32
    m=8.64 и q=1.63
    m=26.86 и q=1.62
    Если допустимая добротность m не может превышать 40, рассчитаем максимальное качество для чисел размера 10^100, 10^1000, 10^1000000. Оно (q) будет равно 1.2, 1.049 и 1.0011.
    Таким образом, максимально допустимое качество равно 5/3 (реально только у трех известных троек чисел оно > 1.6 и лишь у нескольких > 1.5), а с ростом размера чисел оно стремится к единице. Выборочный поиск ведется и для очень больших чисел, порядка 10^1000, но получаемые при этом q ~ 1.02 и m < 17.
    ВТФ нельзя доказать никаким перебором. Даже если мы переберем все числа в 100 знаков и все степени вплоть до 1000, то может оказаться, что мы плохо искали, и для 1001 степени ВТФ не работает.
    В противоположность этому, численный эксперимент надежно иллюстрирует справедливость abc-гипотезы. Качество q троек взаимнопростых чисел ограничено. Это число равно 5/3, но для верности можно принять верхний предел даже равным 2-м, что заведомо больше всех мыслимых оценок. Все равно ВТФ будет доказана, правда, начиная с шестой степени вместо пятой.
    Познакомившись с abc-гипотезой, рассмотрим
    a^5 + b^5 = c^5
    a^6 + b^6 = с^6
    ....
    Собственно, это тоже суммы троек чисел, однако П(a^n b^n c^n) = П(abc) < c^3. Поэтому для первой суммы П(abc)^(5/3) < c^5, и q > 5/3, для второй q > 2, и т.д., что выходит за пределы интервала допустимых значений q.
    Таким образом, ВТФ доказана для всех степеней n >= 5

    Данное доказательство проливает новый свет на ВТФ. Ее компетенция реально ограничена случаями n = 3 и n = 4, которые давно рассмотрены Ферма и Эйлером. Для n >= 5 мы сталкиваемся с более общей проблемой разложения высококомпозитного числа на сумму двух высококомпозитных слагаемых. Поэтому вся четырехвековая гонка доказательств ВТФ для все больших n, а потом и для всех n, выглядит театром абсурда, хотя и принесла свои плоды в смежных областях математики. Ведь чем больше числа и больше n, тем острее нарушается максимальный предел на качество adc-троек!! Оказывается, ВТФ просто-напросто противна самой арифметической природе операций сложения и умножения!! Записав x^n + y^n = z^n и начав преобразования, мы не обнаружим никаких противоречий, общих для всех n, за исключением одного - таких высокосоставных чисел не бывает!! В этом и заключается подлинная разгадка ВТФ.
    И хотя гипотеза-abc еще не доказана в строгом смысле этого слова и из первых принципов, прямая численная проверка показывает, что она верна. Ситуация во многом аналогична гипотезе Римана, на которую ссылаются, не имея ее строгого доказательства.
    Вот как на деле, используя гипотезу Била или abc-гипотезу, буквально за пару строк можно доказать так называемую ВТФ. Вот уж действительно, ВТФ формулируется на школьном уровне, и на школьном уровне элементарно доказывается, как и полагается для такого рода утверждения.
    Ответить
  • persicum  | 24.03.2017 | 08:54 Ответить
    Зависимость качества q от размера abc-троек. Картинка иллюстрирует несуществование троек с качеством q >= 5/3 (только три точки вплотную подбираются), что автоматически доказывает ВТФ для всех n >= 5.

    http://s015.radikal.ru/i330/1703/4c/8ed325c7ebee.png
    Ответить
Написать комментарий

1630
Великая теорема Ферма
Математик Эндрю Уайлс докладывает первый вариант своего доказательства Великой теоремы Ферма (23 июня 1993 года, Кембридж, Англия)

Математик Эндрю Уайлс докладывает первый вариант своего доказательства Великой теоремы Ферма (23 июня 1993 года, Кембридж, Англия)

Элементы

© 2005-2017 «Элементы»