Элементы Элементы большой науки

Поставить закладку

Напишите нам

Карта сайта

Содержание
Энциклопедия
Новости науки
LHC
Библиотека
Видеотека
Книжный клуб
Задачи
Детские вопросы
Плакаты
Научный календарь
Наука и право
ЖОБ
Наука в Рунете

Поиск

Подпишитесь на новости науки


 
(на Subscribe.ru)



Библиотека

 
П. Квартальнов
Пернатый букварь


В. Зинов, Г. Эрлих
В зеркале патентной статистики


Д. Рогаткин
Сказки о биорезонансе


А. Новичонок
10 фактов о кометах


Н. Резник
Занятия спящего мозга


Д. Тихонов
Яды против ионных каналов


И. Леенсон
Эрнест Резерфорд: штрихи к портрету


Д. Вибе
Химия в космосе


А. Григорьев, Н. Мышкин
Твердые смазки


С. Комаров
Нефть и будущее







Главная / Новости науки версия для печати

Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков


Три независимых группы математиков утверждают, что полностью доказали гипотезу Пуанкаре — одну из самых сложных задач XX века. Окончательный вердикт, возможно, будет вскоре объявлен на Международном конгрессе математиков.

Гипотеза Пуанкаре уже доказана, но кто получит миллион долларов — Григорий Перельман, набросавший идею доказательства, или авторы одной из трех статей, представившие полный текст доказательства по следам его препринтов? (Изображение с сайта www.claymath.org)
Гипотеза Пуанкаре уже доказана, но кто получит миллион долларов — Григорий Перельман, набросавший идею доказательства, или авторы одной из трех статей, представившие полный текст доказательства по следам его препринтов? (Изображение с сайта www.claymath.org)

Процесс доказательства гипотезы Пуанкаре сейчас, по-видимому, вступает в заключительную стадию. Три группы математиков окончательно разобрались в идеях Григория Перельмана и за последние пару месяцев представили свои версии полного доказательства этой гипотезы.

Гипотеза, сформулированная Пуанкаре в 1904 году, утверждает, что все трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность кое в чем похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным. Подробности об этой гипотезе и об истории ее доказательства читайте в популярной заметке Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре в журнале «Компьютерра».

За доказательство гипотезы Пуанкаре Математический институт им. Клэя присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле, для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть на уровень глубже, в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей «нового поколения».

Как и в ситуации с теоремой Ферма, выяснилось, что гипотеза Пуанкаре есть частный случай гораздо более общего утверждения о геометрических свойствах произвольных трехмерных поверхностей — гипотезы геометризации Тёрстона (Thurston's Geometrization Conjecture). Поэтому усилия математиков были направлены не на решение этого частного случая, а на построение нового математического подхода, который способен справляться с такими задачами.

Прорыв в 2002-2003 годах совершил российский математик Григорий Перельман. В своих трех статьях math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, предложив ряд новых идей, он развил и довел до конца метод, предложенный в 1980-е годы Ричардом Гамильтоном. В своих работах Перельман утверждает, что построенная им теория позволяет доказать не только гипотезу Пуанкаре, но и гипотезу геометризации.

Суть метода состоит в том, что для геометрических объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции», похожее на уравнение ренормализационной группы в теорфизике. Исходная поверхность в ходе этой эволюции будет деформироваться и, как показал Перельман, в конце концов плавно перейдет именно в сферу. Сила этого подхода состоит в том, что, минуя все промежуточные моменты, можно сразу заглянуть «в бесконечность», в самый конец эволюции, и обнаружить там сферу.

Работы Перельмана положили начало интриге. В своих статьях он развил общую теорию и набросал ключевые моменты доказательства не только гипотезы Пуанкаре, но и гипотезы геометризации. Полного доказательства во всех деталях Перельман не представил, хотя утверждал, что обе гипотезы он доказал. В том же 2003 году Перельман совершил турне по США с серией лекций, на которых четко и подробно отвечал на любые технические вопросы слушателей.

Сразу же после опубликования препринтов Перельмана специалисты приступили к проверке ключевых моментов его теории, и ни одной ошибки до сих пор не найдено. Более того, за прошедшие годы несколько коллективов математиков смогли впитать предложенные Перельманом идеи до такой степени, чтобы приступить к записыванию полного доказательства «набело».

В мае 2006 года появилась работа B. Kleiner, J. Lott, math.DG/0605667, в которой был дан подробный вывод опущенных моментов в доказательстве Перельмана. (Кстати, эти авторы поддерживают веб-страничку, посвященную статьям Перельмана и связанным с ними работам.)

Затем в июне 2006 года в журнале Asian Journal of Mathematics была опубликована 327-страничная статья китайских математиков Huai-Dong Cao и Xi-Ping Zhu, озаглавленная «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации — приложение теории Гамильтона—Перельмана о потоках Риччи». Сами авторы не претендуют на абсолютно новое доказательство, а лишь утверждают, что подход Перельмана действительно работает.

Наконец, на днях появился 473-страничная статья (или уже книга?) J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607, в которой авторы, по следам Перельмана, приводят свое доказательство гипотезы Пуанкаре (а не более общей гипотезы геометризации). Джон Морган (John Morgan) считается одним из главных специалистов по этой проблеме, и после выхода его работы можно, по-видимому считать, что гипотеза Пуанкаре окончательно доказана.

Интересно, кстати, что вначале статья китайских математиков распространялась только в бумажной версии по цене 69 долларов, так что далеко не все желающие имели возможность взглянуть на нее. Но уже на следующий день после появления в архиве препринтов статьи Моргана—Тяна на сайте Asian Journal of Mathematics появилась и электронная версия статьи.

Чья доводка доказательства Перельмана точнее и прозрачнее — покажет время. Не исключено, что в ближайшие годы оно упростится, как это случилось с теоремой Ферма. Пока что видно лишь увеличение объема публикаций: от 30-страничных статей Перельмана до толстой книжицы у Моргана и Тяна, но связано это не с усложнением доказательства, а с более подробным выводом всех промежуточных шагов.

А тем временем ожидается, что на Международном конгрессе математиков, который пройдет в августе этого года в Мадриде, будет «официально» объявлено об окончательном доказательстве гипотезы и, возможно, о том, кому будет присуждена премия Института Клэя. Кроме этого, ходят слухи, что Григорий Перельман станет одним из четырех филдсовских медалистов, что является высшим знаком отличия для молодых математиков.

Игорь Иванов

Последние новости: Математика, Наука в России, Игорь Иванов

19 ноября
Опубликованы окончательные результаты CMS и LHCb по сверхредким распадам B-мезонов
27 октября
Геном древнего обитателя Западной Сибири проливает свет на историю заселения Евразии
16 октября
У аспидистр открыт вариант опыления, раньше не встречавшийся у цветковых растений
14 октября
Синтезирован гексакарбонил сиборгия, самое сложное химическое соединение с трансактиноидом
26 сентября
Поиск смещенных фотонов в детекторе ATLAS не выявил ничего необычного
24 сентября
Новые данные обсерватории Planck закрывают чересчур оптимистичную интерпретацию результатов BICEP2
15 сентября
На пути к объяснению гомохиральности жизни: поляризованные электроны инициируют хирально-селективные реакции в газовой фазе
8 сентября
ATLAS измерил полное сечение протонных столкновений
28 августа
Новые результаты не подтверждают загадочную рентгеновскую линию излучения
23 августа
Поиск экзотических явлений на LHC по-прежнему дает отрицательный результат


Астрономические наблюдения недели

Новости науки почтой (рассылка на Subscribe.ru):

 

Новости науки по темам: антропология, археология, астрономическая научная картинка дня, астрономия, биология, биотехнологии, генетика, геология, затмения, информационные технологии, космос, лингвистика, математика, медицина, нанотехнологии, наука в России, наука и общество, Нобелевские премии, палеонтология, Первое апреля, психология, технологии, физика, химия, эволюция, экология, энергетика, этология

Новости науки по авторам: Дарья Баранова, Вера Башмакова, Александр Бердичевский, Максим Борисов, Варвара Веденина, Александр Венедюхин, Михаил Волович, Михаил Гарбузов, Алексей Гиляров, Дмитрий Гиляров, Сергей Глаголев, Николай Горностаев, Юрий Ерин, Анастасия Еськова, Андрей Журавлёв, Дмитрий Замолодчиков, Игорь Иванов, Вячеслав Калинин, Мария Кирсанова, Дмитрий Кирюхин, Александр Козловский, Юлия Кондратенко, Артем Коржиманов, Ольга Кочина, Виталий Кушниров, Иван Лаврёнов, Алексей Левин, Андрей Логинов, Сергей Лысенков, Лейла Мамирова, Александр Марков, Мария Медникова, Вадим Мокиевский, Григорий Молев, Максим Нагорных, Елена Наймарк, Петр Петров, Александр Пиперски, Константин Попадьин, Сергей Попов, Роман Ракитов, Татьяна Романовская, Александр Самардак, Александр Сергеев, Андрей Сидоренко, Даниил Смирнов, Дарья Спасская, Любовь Стрельникова, Алексей Тимошенко, Мария Шнырёва, Сергей Ястребов, Светлана Ястребова

Новости науки по месяцам: 2014 XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2013 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2012 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2011 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2010 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2009 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2008 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2007 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2006 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I  2005 XII, XI, X, IX, VIII, VII, VI, V, IV, III, II, I 


Научные новости у наших партнеров: «Биомолекула», «В мире науки», «Вокруг света», Газета.ру, Грани.ру, Лента.ру, «Наука и жизнь», «Популярная механика», Gzt.ru

 


при поддержке фонда Дмитрия Зимина - Династия