Почему нельзя делить на ноль?

Рисунок © Е.В.

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Ответил: Александр Сергеев


96
Показать комментарии (96)
Свернуть комментарии (96)

  • dims  | 10.04.2006 | 00:31 Ответить
    По-моему, надо честно признаться, что математики просто ещё не придумали, что будет, если делить на ноль. С тем же успехом можно было когда-то сказать, что нельзя вычислять квадратные корни из отрицательных чисел: ну как же ВЕДЬ НЕТ такого числа, которое при умножении самого на себя даёт отрицательное число!
    Ответить
    • Alf > dims | 10.04.2006 | 15:15 Ответить
      Почему не придумали, придумали - если устремить к нулю делитель, то будет бесконечность. И почему нельзя квадратный корень из отрицательного числа вычислять - возьмите комплексную плоскость и будет вам корень. Над R же не существует числа, которое при умножении на самоее себя давало бы отрицательное значение.
      Ответить
      • sawa > Alf | 22.12.2010 | 20:05 Ответить
        а что такое квадратный корень ?
        Ответить
        • VladNSK > sawa | 23.12.2010 | 13:27 Ответить
          Квадратный корень определяется как обратная операцию к умножению.

          Q является квадратным корнем из R, если Q * Q = R

          На множестве целых чисел эта операция определена только для некоторых положительных чисел, например, для 1, 4, 9, 16, 25. На множестве вещественных чисел эта операция определена для любого положительного числа. На комплексной плоскости квадратный корень определен всюду.
          Ответить
    • Jabberwok > dims | 17.04.2006 | 17:10 Ответить
      На ноль формально делить нельзя, но можно неограниченно стремить знаменатель к нулю, а дробь будет стремится к бесконечности. в мат. анализе можно делить на ноль и полить бесконечность, так и пишут. хотя бесконечность это не число, а условность, тем не менее при делении любого конечного числа на ноль можно сказать что дробь стремится к бесконечности.
      Я вам скажу что понятие НЕЛЬЗЯ в математике нет. Просто раньше невозможно было сказать, что будет если взять корень (четной степени) из отрицательного числа. Т.е. математика того времени не могла это описать. Результат лежит вне множества действительных чисел. И если ввести новое множества - множество мнимых (комплексных) чисел, то это явление описывается легко : i^2 = -1
      Ответить
      • Libach > Jabberwok | 06.05.2006 | 11:44 Ответить
        В математике понятие "нельзя" равносильно понятию "не определено".

        В матане нельзя делить на нуль, как и в арифметике. Последовательность n/0, n - натуральное, не определена, поэтому никуда она не стремится.

        В математике, основанной на аксиомах, использующихся сейчас, деление на нуль определять никогда не будут.
        Ответить
    • Антон Ч > dims | 22.07.2006 | 18:16 Ответить
      эээээ. никто ведь не говорит о вычислении корня из минус единицы. Просто ввели новое понятие. Расширили множество чисел. Разрешили проблему введением новых понятий. Это кстати относится к теореме Геделя. Здесь проблема в другом.
      Ответить
    • Mutagen > dims | 15.09.2006 | 13:04 Ответить
      корень из минус-единицы ввели потому, что тут есть единственность и экономия - введением всего лишь ОДНОГО понянтия можно описать получение корней из всех отрицательных чисел. Выход - надо ввести число 'зю'.

      i - число, умножение которого на само себя дает -1.
      зю - число умножение которого на ноль дает единицу

      5/0 = х
      х*0 = 5
      x*0*зю = 5*зю
      x = 5*зю

      Теперь результат математической операции, например, 'деления пяти на ноль' вполне определен - это 'пять зю' ;-)) Наверное за этим должен последовать крутой прорыв в науке, включая перемещение во времени, сверхсветовые скорости, доказательства существования жизни после смерти, контакт с инопланетянами итп...
      Ответить
  • APXIMHD  | 19.05.2006 | 13:54 Ответить
    Можно привести еще более простой пример. Допустим, на ноль делить можно. Оказывается, что такое допущение позволяет доказать любое утверждение. Начнем с тождества:

    0*2=0*3

    Сократим на ноль. Получим:

    2=3

    То есть, допущение возможности деления на ноль приводит к выводу, что любые два числа равны между собой. Поскольку любому утверждению можно сопоставить некий числовой код (ну, хотя бы последовательность кодов символов, которыми записано это утверждение), то из возможности деления на ноль, оказывается следует тождественность любых двух утверждений.

    Подводя итог: если можно делить на ноль, то Луна сделана из швейцарского сыра.
    Ответить
    • Injener > APXIMHD | 20.05.2006 | 14:11 Ответить
      НЕПРАВИЛЬНО! Сократим на ноль - это значит поделим на ноль левую и правую часть уравнения. Получим неопредленность типа ноль/ноль.
      На самом деле есть неопределенности в математике. Такие например как отношение двух бесконечностей.
      А делением на ноль уже никого не испугаешь и там все справедливо.
      Ответить
      • Sash > Injener | 19.07.2006 | 16:00 Ответить
        НУ УЖ НЕТ! Здесь речь идет о доказательстве от противного!
        И если мы предположили, что на нуль делить МОЖНО, то ни о каких неопределенностях типа нуль на нуль уже речи не идет!
        Ответить
        • Melethron > Sash | 10.11.2006 | 18:04 Ответить
          Неопределённости ТИПА 0/0. бесконечно малое на бескончно малое. тут вопрос кто быстрее стремится к нулю.
          Ответить
  • belka  | 22.05.2006 | 16:06 Ответить
    А по-моему,все правильно объяснено для школьников и добавлено,что в институте на ноль делить все же придется:))
    Ответить
    • Injener > belka | 28.05.2006 | 14:06 Ответить
      Ничего правильного тут нет. А самая главная неправильность в том, что в школе нам рассказывают всякую чушь, которая на самом деле не верна. Как то: невозможность деления на ноль, рассказы про строение атома(Боровская модель), то что человек произошел от обезьяны и т.д. (по поводу обезьяны я точно сказать не могу, так как я физик, а не биолог). Неснясным остается следующее - зачем заведомо неверную информацию вводить в школьную программу, может быть проще сразу рассказывать как оно есть на самом деле?
      Ответить
      • angor6 > Injener | 30.05.2006 | 12:49 Ответить
        Думается, что это как раз тот случай, когда истина где-то посередине. Данная статья объясняет всё на уровне, достаточном для понимания среднего подростка 12-14 лет. А что касается более научного объяснения, то надо иметь в виду, что операции над математическим объектами вводятся с целью обеспечить адекватность математических моделей действительности. С этой точки зрения деление на нуль - операция корректная, но для её описания необходимо оперировать терминами теории функций пространственного комплексного переменного... По-моему, даже на матфаках университетов немногие представляют себе, что это такое. Явно не детский вопрос!
        Ответить
        • teplyi > angor6 | 25.09.2006 | 21:39 Ответить
          Кажется, по поводу упомянутой ТФПКП (Если имеется в виду теория Елисеева) все не утихают споры - считать ли ее корректной.
          Ответить
        • jyu > angor6 | 06.08.2009 | 11:52 Ответить
          Я думаю,что если возникают такие вопросы такие,как почему нельзя делить на нуль или откуда произошел человек надо отвечать детям с точки зрения науки ,даже если это очень сложно в понимании.
          Ответить
      • Orange03 > Injener | 13.07.2013 | 01:49 Ответить
        Я могу ответить на вопрос, почему детям сразу не рассказывают все как есть, но это уже немного другая тема.
        Просто говоря, дебилами проще управлять. Политикам выгодно, что бы народ их слушался, что бы народ был глуп. Вот ни кто и не заморачивается над тем, что бы создать реально хорошую и продвинутую программу. Проще же сделать так, оставить все как есть.
        Ответить
  • lior-kauf  | 07.07.2006 | 19:54 Ответить
    А вот учительница в первом классе ашдодской школы учила моего сына:
    3 : 0 = 0. И никто из родителей этого не эаметил. Когда я пыталась обратить внимание других родителей на этот факт, мне говорили: "Ну и зануда ты, просто придираешься к учительнице". Интересно, как эта учительница преподает в нашей школе уже 12 лет?
    Ответить
    • aleks > lior-kauf | 17.07.2006 | 18:16 Ответить
      А что такое "ноль" и что такое число. Это наличие и отсутствие. Как наличие делить на отсуствие. Наличие проявляется на фоне отсутствия. Или вернее даже отсуствие проявляется на фоне наличия. Тут уже нейрофизиология и просхождение разума, Как человек осознал. Так что вопрос только кажется детским, а наукой не проясненный до конца. Возбуждение нейрона -1 , отсуствие возбуждения 0. Отсуствие не количественное понятие, это отсуствие колличества. А наличие колличественное понятие. В одном наличии может быть несколько наличий.
      Ноль и число совершенно разные понятия. Ноль не число-проще говоря. Число делить на не число нельзя .
      Ответить
      • dvaman > aleks | 29.07.2006 | 17:19 Ответить
        Само выражение "не имеет смысла" уже абсурдно! Смысл имеет все! Фраза "уравнение не имеет решения" еще более нелепа. Любое уравнение имеет решение, его просто надо найти и доказать, даже если оно пустое!

        "Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение."
        НЕВЕРНО! Только сложение. Это прекрасно демонстрирует компьютер, который умеет только складывать, причем столько, сколько ему скажут (для умножения), либо со сдвигом разрядов (для вычитания).

        "0 * x = 5" и далее "То есть наша задача не имеет решения."
        Решение есть! И оно пустое. То, что нам может не нравиться подобные результаты никого не е...(волнует), оно все равно существует!

        "Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение"
        Вообще атас! Думаю комментарии излишне. Вот они - плоды того, чему учат в школе. Любая задача имеет решение!

        По поводу "0 * x = 0" вообще смех, да и только. Решение не то, что существует, а вообще предоставляет полную свободу выбора. Бери любое число, оно и будет тебе решением. Ну, нет же! У нас ответ: "Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них." Бред сивой кобылы!
        И дальше:
        "А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла." Как же не имеет никакого смысла, когда имеет, и еще какой! Например, если Мы будем постоянно бегать с пустым ведром от колодца к бочке, то бегай хоть 100, хоть 1000 раз - воды Мы не принесем. Уравнение это четко показывает, и имеет очень даже хороший смысл...

        Теперь давайте разбираться по поводу деления на ноль ("нуль" не люблю - устарело).
        Проблема в том, как уже ранее было замечено, что существует некая путаница в понятиях и их значениях. Стоит также отметить, что Мы частично признаем (не признаем) полярные стороны. Другими словами "бесконечность" числом считать не принято, а вот ноль (как было замечено "ничто") числом мы считаем. А если так, то чего же мы тогда хотим? Связать два понятия находящихся "в двух разных весовых категориях"? Ноль и бесконечность должны стоять по одну сторону баррикады, сейчас же они по разные.

        К примеру, в программировании эта проблема решена. Просто определено самое большое число max_value (min_value) аналогичное нашему "бесконечность". Все эти числа принадлежат одному множеству и, следовательно, сопоставимы. Поэтому если там Мы будем делить пять на ноль, мы получим самое большое число max_value. Все законно и справедливо.
        Ответить
        • aleks > dvaman | 31.07.2006 | 16:59 Ответить
          Я имел в виду не "делить" а "разделить". Если наличие -это конечное множество. А "ноль" это отсутствие. "Ноль" - отсутствие наличия. Допустим есть множество. Если его необходимо разделить на кучки. Не может быть 0,4 кучки. Минимум может быть две кучки и остаток. Я опустился на один уровень ниже. С психического уровня на биологический. Я предположил какая математика в биологии может быть. В биологии с сенсорных нейронов приходит сигнал, или отсутствие сигнала. С ними живое и производит математические операции. Есть конечное множество сигналов от рецепторов, допустим глаз. И живое, его нервная система классифицирует сигналы, сравнивает и раскладывает на кучки по какому то признаку. Что не поддалось классификации-то в остаток. В живом действует особая математика ,еще не описанная нигде. Между математикой количества и математикой событий межит огромный пласт неиследованой математики систем или математики живого. Обычной математикой невозможно обработать поступающие сигналы от рецепторов.
          Ответить
          • noindex > aleks | 17.08.2006 | 18:50 Ответить
            Прочитал статью - огромное спасибо!
            Сегодня обязательно детям расскажу почему нельзя делить на 0

            студент МГУ
            Ответить
          • maxx > aleks | 25.11.2007 | 12:24 Ответить
            Браво!
            Ответить
        • nickhunter > dvaman | 22.02.2007 | 12:04 Ответить
          Критика, в целом, довольно спорная (в отличии от статьи, которая спорна с точки зрения чистой математики, но, на мой взгляд, хороша для образовательных целей).

          Но больше всего смущает Ваш аргумент по поводу программирования.

          Цитата:
          "К примеру, в программировании эта проблема решена. Просто определено самое большое число max_value (min_value) аналогичное нашему "бесконечность". Все эти числа принадлежат одному множеству и, следовательно, сопоставимы. Поэтому если там Мы будем делить пять на ноль, мы получим самое большое число max_value. Все законно и справедливо."

          В реальности:
          В программировании не определено, не принадлежат, не получим. Более того, в программировании, вообще говоря, существует понятие типа (и расположено оно на пару уровней абстракции выше, чем понятия об архитектуре ЭВМ), только осознав которое можно говорить о каких-либо операциях с данными вообще!
          Ответить
        • tih > dvaman | 13.07.2007 | 13:00 Ответить
          "...Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение." НЕВЕРНО! Только сложение. Это прекрасно демонстрирует компьютер, который умеет только складывать,..."
          - неправда Ваша. Грош-цена такому компутеру.
          Компутер - он ить не только "складывает" - он еще и СДВИГАЕТ(коия операция как раз и эквивалентна операции умножения или деления - смотря куда двигать ;), а помимо того - ЛЮБОЙ компутер еще ОБЯЗАТЕЛЬНО выполняет побитовые операции - ИНВЕРСИИ, И, ИЛИ, искл.ИЛИ. И вообще - смотря про какой компутер говорить. Есть и таке - которые не только умножают - но и делят аппаратно... и даже не одно число - а матрицы...
          ;))

          "...Ноль и бесконечность должны стоять по одну сторону баррикады, сейчас же они по разные. К примеру, в программировании эта проблема решена. Просто определено самое большое число max_value (min_value) аналогичное нашему "бесконечность". ... Поэтому если там Мы будем делить пять на ноль, мы получим самое большое число max_value. ..."
          - ?!!!
          марку, марку ЭТОГО чуднОго компутера - в студию!!
          На моей памяти - а работал я с добрым десятком самых разных компутеров и процессоров - от БЭСМ-4 до PowerPC880. И - ВЕЗДЕ(!) - при обнаружении деления на "0" - процесоры выдают специальное ПРЕРЫВАНИЕ -
          по которому отрабатывается либо утилита обработки исключительной ситуации(если такая предусмотрена программистом) - либо вооще процесс вычисления ОСТАНАВЛИВАЕТСЯ(поскольку по-умолчанию вектор этого прерывания - нулевой). И только в специализированных(!) процессорах обработки сигналов(типа TMS320Cxxx) есть нечто подобное - и то не для деления на нуль - а для переполнения. То есть если к Вашему "max_value-1" прибавить 3, то получится не "-2", а просто "max_value" - и то там этот режим ОПЦИОНАЛЕН - то есть при желании его можно ВКЛЮЧИТЬ.

          - а деление на нуль - дело сурьезное - с ним шутки плохи.
          интеррупт - и весь сказ!
          Ответить
          • Sterh > tih | 21.08.2007 | 12:04 Ответить
            Респект, до этого сообщения думал что комменты пишут несгибаемые и..ы
            Ответить
          • rod1gin > tih | 13.01.2009 | 18:36 Ответить
            Ну, ещё надо добавить, что обычный интеловский процессор может обрабатывать числа с плавающей точкой в двух режимах: в одном, действительно, при делении на ноль возникает прерывание, а в другом - прерывания нет, но получается результат "не определено". Соотвественно, формат для чисел с плавающей точкой придуман такой, что в нём можно задать не только обычные числа, но и специальные константы "не определено", "плюс бесконечность", "минус бесконечность" и ещё несколько вариантов, все не помню. Очень удобная, кстати, штука, но доступна только на ассемблере.
            Ответить
        • AMapyaK > dvaman | 27.01.2009 | 17:08 Ответить
          Я понимаю, что я злостный некропостер, но не могу удержаться.

          1) © Само выражение "не имеет смысла" уже абсурдно! Смысл имеет все! ©
          Сытый конному не пеший.

          2) © Любое уравнение имеет решение, его просто надо найти и доказать, даже если оно пустое! ©
          Вы путаете понятия. "Решение" и "Множество решений" - это разные вещи. Если множество решений пусто, это значит, что решений нет. Курите теорию множеств.

          3) © НЕВЕРНО! Только сложение. Это прекрасно демонстрирует компьютер, который умеет только складывать, причем столько, сколько ему скажут (для умножения), либо со сдвигом разрядов (для вычитания). ©
          Если вы определите умножение иррациональных чисел (например, число е умножить на число пи) с помощью одного лишь сложения, я буду аплодировать стоя. Компьютер оперирует преимущественно с целыми числами - в этом все дело. К тому же не стоит привязываться к стандартной алгебре на множестве вещественных чисел. Операции можно ввести по-разному.
          Пионеры, комсомольцы,
          Изучайте группы, кольца,
          И поля, и модуля,
          И делители нуля.

          4)© Решение есть! И оно пустое. То, что нам может не нравиться подобные результаты никого не е...(волнует), оно все равно существует! ©
          Да? Предъявите его. Впрочем, написано выше. Не путайте множество и его элементы.

          © "Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение" Вообще атас! Думаю комментарии излишне. Вот они - плоды того, чему учат в школе. Любая задача имеет решение! По поводу "0 * x = 0" вообще смех, да и только. Решение не то, что существует, а вообще предоставляет полную свободу выбора. Бери любое число, оно и будет тебе решением. Ну, нет же! У нас ответ: "Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них." Бред сивой кобылы! ©
          Опять путаете. Только теперь вы путаете уравнение и операцию. Если бы изначально задача стояла в нахождении х, такого, что 0*х=0, я бы с вами согласился. Мы же говорим об операции деления на ноль.
          Можно говорить, что уравнение a*x=b только если решение существует и единственно при любых a и b. Если это условие не выполняется (а оно не выполняется при a=0), то никакой операции нет и быть не может.

          © Как же не имеет никакого смысла, когда имеет, и еще какой! Например, если Мы будем постоянно бегать с пустым ведром от колодца к бочке, то бегай хоть 100, хоть 1000 раз - воды Мы не принесем. Уравнение это четко показывает, и имеет очень даже хороший смысл... ©
          Уравнение - умеет смысл, а запись 0/0 не имеет смысла.

          © ы частично признаем (не признаем) полярные стороны. Другими словами "бесконечность" числом считать не принято, а вот ноль (как было замечено "ничто") числом мы считаем. А если так, то чего же мы тогда хотим? ©
          Дайте определение бесконечности, если хотите считать ее числом.
          Ответить
        • 0x000000 > dvaman | 07.07.2010 | 09:21 Ответить
          Простите, не мог пройти мимо вашего комментария.
          >> прекрасно демонстрирует компьютер, который умеет только складывать, причем столько, сколько ему скажут (для умножения), либо со сдвигом разрядов (для вычитания).
          Во-первых, все зависит от архитектуры компьютера. Допустим, мы говорим про IA-86 или x86 для простоты. Процессоры этой архитектуры умеют делать все четыре арифметические действия. Да, их можно свести к двум, вы правильно заметили, и есть архитектуры, где это действительно так. Вот только сложение и вычитание производится операцией сложения с помощью прямых и обратных кодов. А умножение и деление более сложной последовательностью из сложений и побитовых сдвигов. Побитовый сдвиг ничего не вычетает, грубо говоря, он делит либо умножает исходное число на основание системы счисления. Для двоичной сс после одного сдвига число либо будет увеличено на 2 либо уменьшено на 2.

          >> К примеру, в программировании эта проблема решена. Мы будем делить пять на ноль, мы получим самое большое число max_value.
          Да, проблема решена очень давно, но не так. В большинстве случаев, при делении на ноль будет либо вызвано прерывание процессором (для x86 это будет нулевое прерывание), если деление происходило с помощью него, либо аналог ошибки от среды исполнения. Min и Max_value в большинстве императивных языков -- это ограничение на тип переменной (какие значение она может принимать в памяти), деление на ноль тут вообще не причем. Для "операций" с бесконечностью, в некоторых языках есть типы Inf и -Inf. Однако опять же повторюсь, что обычное деление на ноль в программировании подразумевает генерацию некого уведомления программисту или пользователю и штатной ситуацией не является ни на железном ни на программном уровне.
          Ответить
        • san > dvaman | 08.06.2011 | 04:55 Ответить
          Замечу, что в современных компьютерах все немного сложнее.
          Деление на ноль целочисленного значения приведет к так называемому исключению, т.е. программа рухнет.
          В случае с числами с плавающей точкой, деление на ноль даст как раз +inf, т.е. то самое "очень большое число".
          А если поделить ноль на ноль, то результат будет еще интересней: получится NaN. Расшифровывается это как "Not a Number". И результат вычислений, в которых принимает участие NaN, не определен.
          Ответить
  • kemist  | 22.08.2006 | 21:06 Ответить
    А вот что получается, когда это "нельзя" не признается http://piramyd.express.ru/disput/lebedev/h-func.htm
    Ответить
  • inf  | 29.09.2006 | 19:10 Ответить
    Вообще-то есть тогда только сложение :) Потому как умножение это n раз повтореное сложение.
    3*3=9
    3 раза по 3 сложить вот и 9 будет О_о
    Ответить
    • nobody > inf | 13.11.2006 | 11:00 Ответить
      Это верно только для чисел. В математике операции "сложения" и "умножения" могут быть определены над самыми разными объектами, например, матрицами или функциями. Для них "умножение" совсем неравно "сложению" X раз.. Да и трудно понять сколько раз нужно "прибавить", скажем, одну матрицу к другой.. :)
      Ответить
  • AnT  | 21.11.2006 | 10:30 Ответить
    давайте уравнение 0*х=0 сведем от умножения к сложению???
    у древних народов ваще никаких нолей не было, хотя были предпосылки к отрицательным числам, и трактовались они по бытовому - "кто кому должен", а если никому не должен - так и нет никаких отношений - ноль искусственно придумали, и он в операциях арифметики ваще присутствовать не должен - только башку засоряет))))
    Ответить
    • Andrec > AnT | 02.03.2007 | 14:13 Ответить
      Полностью согласенн.
      Кто то вставил ноль в уравнение и все. Интересно, а если бы в математике не было ноля, как бы тогда она развивалась? Может и не было бы всяких этих неопределенностей и всяких там математических загадок? И тогда все проще было бы описать?
      Ответить
    • AMapyaK > AnT | 27.01.2009 | 17:42 Ответить
      © давайте уравнение 0*х=0 сведем от умножения к сложению??? ©
      В смысле?

      © у древних народов ваще никаких нолей не было... bla-bla-bla ©
      А также у "древних народов" не было электричества, лазеров, ракетных двигателей, ядерного оружия и канализации - и что? Это значит, что все вышеперечисленное - бесполезно?

      © и трактовались они по бытовому - "кто кому должен" ©
      Бытовое, называемое также наивным, понимание чего угодно - главная проблема людей, далеких от науки, при этом любящих о ней порассуждать.
      Скажем, математическая теория хаоса, теория интегрирования дифференциальных форм, дифференциальная геометрия, теория функций комплексного переменного, аксиоматическая теория вероятностей - все это не имеет с бытовыми неурядицами ничего общего, однако тем не менее с успехом используется на практике. Это раз. Во-вторых, если определить отрицательные числа и не определять нуля, то вместо деления на ноль возникнет другая проблема: 12-12 равно чему? Т.е. нельзя вычитать одинаковые числа и складывать противоположные. Где выигрыш?
      Ответить
  • klauzula2007  | 10.02.2007 | 18:16 Ответить
    Да..интересно)))Если чесно в свои 15 лет никогда на эту тему не парилась)))А оказывается всё не прото так)))
    Ответить
  • valkoivo  | 17.02.2007 | 07:53 Ответить
    Толковая статья. Однако, лучше вводить операции так: a-b=a+(-1)*b, и тогда все становится на свои места. Аналогично: a/b=a*b^(-1). Т.е. вводить не обратные операции, а определять "число, которое обратно данному относительно операции сложения или умножения". Тогда это будет совпадать с аксиоматическими определениями теории чисел.
    ***
    И, кстати, корень из -1 - это бессмыслица. Под корнем не может стоять отрицательного числа. Таков уж сам символ корня. А вот, a^2 = -1 записать можно. Но это уже будет не привычное нам пространство чисел R, а R^2, где все немножко по-другому.
    Ответить
    • AMapyaK > valkoivo | 27.01.2009 | 17:51 Ответить
      © И, кстати, корень из -1 - это бессмыслица. Под корнем не может стоять отрицательного числа. ©
      Может. Другое дело, что без дополнительных слов корень из любого числа - бессмыслица, ибо на комплексной плоскости для любого числа a (кроме нуля, опять же) найдется ровно n таких чисел b, что b^n=a. Не зря ведь даже в вещественном случае вводят понятие арифметического квадратного корня.

      © Но это уже будет не привычное нам пространство чисел R, а R^2, где все немножко по-другому. ©
      Не просто R^2, а R^2 с особым произведением векторов, которое и делает его полем комплексных чисел.
      Ответить
  • Fingolfin  | 20.02.2007 | 14:57 Ответить
    Есть два замечания по поводу статьи:
    1. В мат анализе никто не научит делить на ноль.
    Выражение "неопределенность вида 0:0" является жаргонным названием предела дроби, чисслитель и знаменатель которой стремятся к нулю.
    И еще решение уравнения 0*х=0 это х - любое число и оно вполне имеет смысл в алгебре например (когда реч идет о всяких там ядрах операторов, пространствах "натянутых" на решения и т.д.).
    2. Вопрос почему на ноль нельзя делить, а вычитать ноль можно - не логичен. У дотошного читателя скорее должен возникнуть вопрос, а почему можно вычитать 1, а на ноль делить нельзя (1 - нейтральный элемент относительно умножения, 0 - нейтральный элемент относительно сложения).
    Ответить
  • Natawa  | 22.03.2007 | 17:53 Ответить
    Спасибо, Александр. Вот, если бы всегда на вопросы отвечали человеческим языком, а то пишут всякие непонятные слова (определения) на своем заумном жаргоне, а ты как идиот над сносками паришься.
    Ответить
  • eqlipt  | 01.10.2007 | 13:32 Ответить
    Очень жаль, что комментарии на "Элементах" не модерируются. Господа, сайт хоть и научный, но все такие еще и популярный. Прежде чем писать свой довод, задумывайтесь, пожалуйста, насколько адекватно Ваше объяснение и понятно для людей не ученых, а просто интересующихся.
    Для удовлетворения личных амбиций, уверен, существуют тематические форумы.
    Ответить
  • DaVinci  | 01.02.2008 | 15:39 Ответить
    Читая все комментарии, задаюсь я вопросом: "Тема-то интересная, но до каких пор можно отвечать на этот вопрос?" Ответов так много, что мне их хватило на долго. А вопрос про деление на ноль в школе остается простым, ответ всегда будет один - нельзя. Спасибо тем, кто загрузил меня. Оканчивая 11 класс, было приятно узнать что-то новое, кроме "нельзя" :)
    Ответить
    • aqualix@mail.ru > DaVinci | 21.03.2008 | 12:55 Ответить
      Деление на ноль это математическая метафизика. В алгебраическом пространстве на ноль делить нельзя. В пространстве в котором операция деления на ноль, допустим закреплена как x/0=1.75 это вполне возможно. Я создаю свой мир и в моем мире деление происходит таким образом. Могу в нем задать и появление объектов посредством произнесения слова. Параллельные пространства. Во сне человек может оказаться в подобном пространстве и при определённых условиях оно будет казаться ему объективной реальностью. Сон другое пространство.

      Если взять пространство в котором на ноль можно делить с определённой вероятностью, т.е допустим в 75% операций деления на ноль мы будем получать случайное число, в 25% будет ответ "делить на ноль нельзя".

      Получим множество ответов(на ноль делить можно, на ноль делить нельзя). В статье обсуждалась арифметика, относительно неё на ноль делить нельзя, автор в действительности сказал, что это не имеет смысла в арифметике. Математика очень интересная наука, можно встретить числа бесконечно стремящиеся к нолю, бесконечность и ноль в одном флаконе).
      Ответить
  • bogdan.r  | 22.04.2008 | 19:41 Ответить
    Попробую представить свое видение данной проблемы. Математика, как и любая другая наука была изначально создана, можно сказать, как формализованный язык описания мира в котором мы живем, с целью его понимания. А потому, она может допускать некоторые условности, упрощающие это описание. Одной из таких условностей является ноль. А поскольку человек создал этот язык, эту модель мира, то не он ли обладает свободой (ограниченной) устанавливать в ней свои правила? Так есть ли смысл ставить под сомнение запрет на деление на ноль, если это, возможно, просто правило введенное создателем языка?
    Ответить
  • boo  | 12.09.2008 | 18:48 Ответить
    Приношу свои извинения, если подобный комментарий уже встреался, но слишком их много (и одно, да по тому же), возможно, что и пропустил.
    Но...
    Я разделяю такую точку зрения (к которой пришел сначала экспериментально, а только потом убедился, что так оно, в ппринципе, и есть).
    Операция деления - есть суть операция последовательных вычитаний делителя от делимого, а частное - есть суть - количество итераций, проведенных до остатка не превшающего делителя.
    Т.е.
    10:3 =
    шаг 1. 10-3=7
    шаг 2. 7-3=4
    шаг 3. 4-3=1
    т.о. имеем частное = 3 (количество шагов) и остаток =1

    а что с нулем?
    1:0=
    шаг 1. 1-0=1
    шаг 2. 1-0=1
    ...
    шаг N 1-0=1
    - отнимаем последовательно до бесконечности, вот и выходит, что решили школьникам просто голову не морочить "перевернутой восьмеркой".

    Ну, и попутно про вычитание: я своему чаду объяснил так 10-4 = 10 + (-4)
    и на этом экскурс "в дебри" закончил.
    Ответить
    • webanut > boo | 16.09.2008 | 00:59 Ответить
      самое удивительное, что вчера засыпая, думал примерно о том же :)))
      ----------
      моя теория такова:
      существует множество бесконечностей, бесконечное множество
      нельзя приравнивать бесконечность к бесконечности, можно лишь сказать, что вот эта восьмёрка, повёрнутая на пи-пополам - ТОЖЕ бесконечность (принадлежит множеству бесконечностей), а не РАВНА любой другой бесконечности
      это необходимо принять за аксиому, потому как:
      оо + 1 (бесконечность плюс один) - это тоже бесконечность, равно как и просто оо
      оо + 2 - это бесконечность
      ...
      оо + оо - это бесконечность (а не "равно бесконечности")
      исходя из такого рассуждения (интересно, а как его вообще можно оспорить?), делаю следующий вывод (повторяя предыдущего "оратора" :) ):
      1/0 = ?
      шаг 1. 1-0 = 1
      шаг 2. 1-0 = 1
      ... (операции одинаковы, ничего не меняется от первой операции ко второй, а следовательно - не изменится и до бесконечности)
      шаг оо. 1-0 = 1
      отсюда вывод, что 1/0 = оо + 1, что тоже является бесконечностью, равно как и 5/0 = оо + 5
      последнее - для тех, кто утверждает, что получается алогизм, когда при сокращении единица становится равна пятёрке...
      ----------
      "решили школьникам просто голову не морочить "перевернутой восьмеркой""
      а кто решил-то? почитать тему, так можно найти ярых противников деления на ноль - вот такие же и "решили", потому что сами так считают... тут дело вовсе не в слабости детского восприятия или фантазии - это скорее дело во взрослых :(
      ----------
      и вообще, на делении на ноль можно и не останавливаться (хоть лично я и люблю эту тему) - ведь есть ещё интересные вещи типа 0/0, оо/0 и т.п. :)))
      Ответить
  • Kostja  | 29.11.2008 | 18:13 Ответить
    В статье чтобы осветить один вопрос приведено несколько доводов в свою очередь вызывающих разные вопросы. Дети, не ленитесь, учите матчасть! ;)
    Ответить
  • Bon  | 03.12.2008 | 13:57 Ответить
    К единственному ответу на этот вопрос Вы не приблизитесь, пока не начнете рассматривать понятие "ноль" в рамках какой-то определенной теории! В зависимости от системы аксиом, на которой строится Ваша теория, Вы можете делить на ноль, вычислять 0^0 и т.д. Вопрос в том, можно ли с пользой применить такую теорию на практике?

    В школах изучаются теории, в которых на ноль делить нельзя. Ваши предложения по введению в эти теории понятий бесконечности и неопределенности просто строят теорию, в которой уже делить на ноль можно, но это другая теория, которую в школе не изучают, да это и не нужно!

    Добавьте в систему аксиом геометрии Лабочевского аксиому параллельности прямых, и получится геометрия Евклида.
    Как ответить на вопрос "Чему равна сумма углов в треугольнике"?!
    Одни ответят - 180 градусов! - и будут правы.
    Другие возразят - нет! Треугольник, который строится из 2 меридиан, пересекающихся под прямым углом, и экватора, имеет сумму углов 90*3=270 градусов! - и тожке будут правы!
    Так что правы и те и другие, к чему спор?

    Теперь, что касается вопроса - "Почему" на ноль делить нельзя?
    Сам вопрос уже с подвохом.
    Ноль просто не входит в область определения знаменателей операции деления. Почему нельзя делить на фиолетовый? По той же причине! Просто фиолетового нет на числовой прямой, а ноль есть, и это сбивает с толку.

    Для тех, кто хочет делить на ноль - введите в множество, в которое вы хотите ввести бесконечность и неопределенность еще и фиолетовость - возможно эта новая теория будет революционным скачком в науке, но к теориям, изучаемым на данный момент в школе и ВУЗах отношения иметь не будет.
    Ответить
  • den4  | 18.02.2009 | 14:31 Ответить
    А кто сказал, что на ноль делить нельзя? этому учат на уроках арифметики в начальных классах... А людям с высшим образованием, хотябы отдаленно слышавших о теории пределов, товарище Лопитале и всем таком, должно быть понятно, что деление на 0 в полне нормальная математическая операция, которая в ответе дает бесконечности различных порядков. А по поводу статьи могу сказать следующее: никакого отношение она к математике не имеет, скорее к эпистолярному жанру литературы, я, к примеру, могу путем подобных софистических рассуждений доказать, что единственная арифметическая операция - возведение в степень, а все остальные производные от нее... ))
    Думаю, перед тем как писать подобную чушь, автору нужно было хоть немного почитать историю развития математики и историю теории множеств...
    Ответить
  • kesha  | 06.04.2009 | 20:57 Ответить
    Из научного фольклора: "Необходимость делить на ноль выглядит катастрофой в глазах математика и может даже вызвать лёгкое смущение у физика-теоретика."
    Ответить
  • djanubis  | 28.09.2009 | 15:56 Ответить
    По моему, кол-во комментариев само по себе говорит о том, что...но давайте без оскорблений.
    Лично я нашёл для себя удобный выход. Числа - это числа, а ноль и бесконечность - это ПРОЦЕСС. Нет ноля и бесконечности - это пределы. То есть какое бы вы не выбрали ЧИСЛО, можно НАЙТИ число большее\\меньшее данному. Именно поэтому ноль и бесконечность -процесс. Им вообще нечего делать в математике. Это исскуственные формации. Как темная материя, возможно. Так что, вопрос, почему делить на ноль нельзя, сродни вопросу "что общего между цифрой 8 и зелёным цветом". Это просто несовместимые понятия. Всё равно что прибавить к одному метру одну секунду. Что получится? ДА НИЧЕГО! А вы тут развели дурацкие дебаты. Чуть ли не докторскую защищаете.
    Типичные математики :)))))
    Ответить
  • Nesch  | 29.11.2009 | 11:54 Ответить
    Мне когда-то объяснили примерно так (от меня надо было срочно отвязвться): дали несколько спичек и сказали "а теперь раздай их пустому месту так, чтоб было поровну", я сказала "но тогда все спички у меня будут", на что мне ответили "но ты ведь не пустое место".. и я ушла умножать на бесконечность))))
    Ответить
  • mikheyev.sergey  | 01.09.2010 | 17:21 Ответить
    Внимательно всё прочитал, и решил: делить на ноль нельзя, но если очень хочется, то можно. В таком случае, придётся расширить число математических сущностей - существует бесконечное число нулей и бесконечное число бесконечностей различных порядков, которые не равны друг другу, и которые можно перемножать и делить друг на друга. Придётся смириться с парадоксом бесконечности – часть равна целому. Например, число всех чётных чисел равно числу всех целых чисел. Будьте осторожны, применяя эту теорию на практике. Мавроди не учёл, что число вкладчиков финансовой пирамиды отлично от бесконечности, и за конечное время был привлечён к уголовной ответственности, за свою математическую ошибку.
    А дискретная топология и математика конечных множеств, скучна и банальна, также как наша реальная дискретная и конечная вселенная. Прошло примерно 30 лет как учёные рассчитали максимальный и минимальный размер в нашей вселенной, долю тёмной энергии (75%), структуру «суперструн» (вихри в сверхтекучей жидкости), начальную и конечную энтропию и температуру нашей вселенной (реликтовое излучение). Нас всех посчитали!!! Давно известно, как и когда разрушится пространство нашей вселенной и во что, оно превратится. Просто, скучно, грустно, и никому не нужно.
    Ответить
  • VladNSK  | 05.11.2010 | 00:22 Ответить
    В математике есть такое понятие, как бинарная операция. В каждом конкретном случае строго определяется множество элементов, над которыми выполняется операция, и указывается правило, как по двум элементам можно вычислить результат операции.

    Математики допускают, что для некоторых элементов результат операции может быть не определен. Но если результат есть, то он должен быть один, и обязательно должен принадлежать исходному множеству элементов. На таком определении операции построена вся арифметика, теория групп и много еще чего.

    Конечно, можно определить или привести свой пример операции, у которой более одного результата. Но это будет не операция, а что-то другое.

    Что касается фразы "на ноль делить нельзя", то она математически не корректна, потому что в этой фразе непонятно что означает слово "нельзя". Почему нельзя ?! Потому что учитель не разрешает ? Или потому, что если начать делить, то что-то нехорошее произойдет, например, компьютер сломается, если делить на компьютере ?

    Математический корректная формулировка такая: на множестве целых чисел для любого целого числа N результат операции N : 0 не определен.

    Кстати, в невозможности делении на ноль нет ничего уникального. В математике можно найти очень много других операций, которые не всюду определены. Например, если мы возьмем множество ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ целых чисел и рассмотрим на этом множестве операцию вычитания, то можно привести сколько угодно примеров, когда результат вычитания не определен: 1-2, 10-20, 100-105 - во всех этих случаях результат вычитания не определен, потому что получается отрицательное число.
    Ответить
  • VladNSK  | 05.11.2010 | 15:25 Ответить
    Если посмотреть на процесс решения уравнений, то там используются эквивалентные преобразования, то есть исходное уравнение заменяется другим, более простым, и так по цепочке, пока не получим все решения.

    Одно из эквивалентных преобразований - это умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. И вот тут есть правило, что умножать или делить можно на что угодно, но только не на ноль. На ноль делить обе части уравнений нельзя! И умножать на ноль нельзя! Здесь под "нельзя" понимается то, что если это сделать, то уравнение будет решено неверно: например, могут появиться лишние корни.

    Есть также чисто житейское соображение почему на ноль делить нельзя :-)

    Например, если на экзамене в ВУЗ вы будете решать уравнение (x*x -1)/(x-1) = 2 и не сделаете отметку, что x не равно 1, то есть забудете правило, что на ноль делить нельзя, затем поделите числитель и знаменатель на (x-1), получите x+1=2, то есть напишете x=1, то вы дадите неверное решение.

    Таким образом, на ноль делить нельзя еще и потому, что можно получить плохую оценку и не поступить :-)
    Ответить
  • Штейн  | 02.12.2010 | 04:22 Ответить
    я считаю что любое действие в математике должно иметь обратное действие, так что если нельзя делить на ноль то и умножать тоже например х*0=0 следовательно обратное действие х =0:0 где х в принципе может быть абсолютно любым числом. в этой связи предлагаю относиться к нулю как к отсутствию действия будь то сложение или умножение. Либо предлагаю определить 0 как минус бесконечность плюс бесконечность и полное отсутствие у нуля стремления к действию.
    Ответить
    • VladNSK > Штейн | 13.12.2010 | 07:39 Ответить
      Штейн написал: "я считаю что любое действие в математике должно иметь обратное действие"

      Согласен, что отсутствие обратного действия может вызвать у школьника недоумение.

      Тут всё дело в том, что школьникам дается только малая часть математики. Математика очень трудная наука, и поэтому математики постоянно стремятся как можно больше упростить свои определения и доказательства.

      Уверяю вас, что если бы от вашего предложения была хоть малейшая польза, то математики давно бы уже им воспользовались.

      На самом деле, если последовать вашему предложению, то количество "непоняток" с нулем возрастет многократно.
      Ответить
    • VladNSK > Штейн | 13.12.2010 | 07:51 Ответить
      Вы совершенно напрасно припутываете бесконечность к числам. Ноль, 10, -3.5 - это всё числа. А бесконечность числом не является.

      Понятие беконечность возникает не в теории чисел, а в математическом анализе. Причем и тут строго говоря, беконечность как математический объект не существует. Нет такого объекта как бесконечность в математике!

      Когда математики говорят, что, например, сумма ряда стремится к бесконечности, то они просто имеют ввиду, что рано или поздно сумма ряда превысит любое наперед заданное число. Говорить при этом, что сумма ряда равна бесконечности - это неточность, так иногда физики выражаются. Правильно говорить, что сумма ряда стремится к бесконечности, или что ряд расходится. Иными словами, здесь нигде нет бесконечности как какого-то вполне определенного числа или математического объекта.
      Ответить
  • sawa  | 22.12.2010 | 20:07 Ответить
    кто нибудь может объяснить почему при умножении на 0 всегда получается 0 ?
    Ответить
    • VladNSK > sawa | 23.12.2010 | 13:37 Ответить
      Для любого n верны следующие выражения:

      (n * 2) - (n * 2) = 0, потому что когда из числа отнимаешь его же, то получается ноль. Теперь приведем подобные:
      n * (2-2) = 0
      n * 0 = 0

      Конечно, это не строгое математическое доказательство, а объяснение. Но вы ведь и просили дать объяснение.
      Ответить
      • Human > VladNSK | 17.12.2011 | 22:41 Ответить
        А по-моему очень даже строго )
        Здесь требуется только показать, что (-1)*n=-n, то есть что противоположное к действительному число есть то же самое число, умноженное на "-1", то есть на число, противоположное "1". Я думаю этот факт не вызывает вопросов (как например с делением на нуль). Тогда:
        n+(-n)=0 (определение противоположного числа)
        n*1+n*(-1)=0 (определение единицы и названный выше факт)
        n*(1+(-1))=0 (дистрибутивность)
        n*0=0 (ещё раз определение противоположного числа)
        Ответить
        • Human > Human | 17.12.2011 | 23:06 Ответить
          Хотя можно и проще:
          n+(-n)=0_______ (определение противоположного числа)
          n*1+(-n)=0_____ (определение единицы)
          n*(0+1)+(-n)=0__ (определение нуля)
          n*0+n*1+(-n)=0_ (дистрибутивность)
          n*0+n+(-n)=0___ (определение единицы)
          n*0+0=0_______ (определение противоположного числа)
          n*0=0_________ (определение нуля)
          Ответить
  • D.-.i.-.m.-.a  | 10.02.2011 | 08:03 Ответить
    Статья познавательная.
    Не удержался:
    По поводу компьютеров: там используется теория циклических полей, где числа это скорей «порядковые номера» элементов – после максимального значения следует минимальное (а после минимального максимальное), при этом устанавливается признак переполнения. И если в каких-то приложениях этот признак интерпретируется как запрет деления на ноль, то это проблема/преимущество этих приложений. В компьютерах проблему «решили» …по своему...
    По поводу ноля: еще индейцы для обозначения единиц использовали не яблоки а «раковины с едой», а «раковина без еды» и есть ноль еды.
    Ответить
  • rostaman  | 14.05.2011 | 01:16 Ответить
    Попытка объединить философию и математику http://www.zengarden.in/filosofiya-deleniya-na-nol/ См. также комментарии
    Ответить
  • TutorState.com  | 01.07.2011 | 02:29 Ответить
    На школьном этапе обучения все надо как-то объяснить детям, исходя из их естественного опыта. Нельзя (!!!) вводить, например, сложение из аксиом, а надо показывать, что если было два яблока, а затем добавили еще три, то теперь, если пересчитать яблоки, их окажется пять. Так как же школьникам обьяснить деление на ноль? Может так?: Если вы делите на маленкое (положительное) число, которое много меньше единицы, то в результате получается большое число. (1:0.01=100) Если делитель ещё уменьшить, результат ещё станет больше. (1:0.00001=100000) А при делении на самое маленькое число результат получается больше всех чисел, но такого числа, которое больше всех чисел, нет, поэтому мы и говорим, что делить на ноль нельзя. - Как вы думаете, понятно и полезно ли будет детям такое объяснение?
    Ответить
    • Human > TutorState.com | 17.12.2011 | 22:44 Ответить
      Вполне себе. Даже мне понятно стало )
      Ответить
  • Простой но гениальный ЧЕЛОВЕК  | 26.09.2011 | 03:03 Ответить
    На самом деле всё проще! я солидарен с теми кто говорит что деление на ноль приведёт к бесконечности. во первых, если делить на число меньше целой единицы(например x/0.01) и приближать число всё ближе к нолю(x/0.00001) то в итоге будет получаться всё большее число, а теоретически поделив на ноль выйдет=бесконечность. Это я как бы для детей объяснил, а сейчас будет пример чуть по сложнее. Во вторых, если ноль умножить на бесконечность то с одной стороны можно сказать что останется ноль, а с другой стороны останется всё та же бесконечность!(тоже что сказать про стакан который на половину пустой или же он на половину полный(я согласен что в этом случае проще было бы сказать что останется ноль, а не бесконечность, потому что это означало бы прекращение каких либо вычислений и умственных процессов, но по сути бесконечность не чуть не уступает нолю)), а если быть более точным то ноль умноженный на бесконечность это="любое число".(допустим X это "любое число") то есть 0*∞=X или 0/0=X(как было в статье) и ∞/∞=X,в этих случаях ответом будет "любое число". а если ∞*X=∞, X/∞=0 и X*0=0 так же и X/0=∞
    Ответить
    • Простой но гениальный ЧЕЛОВЕК > Простой но гениальный ЧЕЛОВЕК | 26.09.2011 | 03:15 Ответить
      По моему, всё просто и перемудривать нет смысла.
      Ответить
  • gssgssgss  | 27.10.2011 | 04:05 Ответить
    Делить на ноль нельзя потому, что это лишено смысла... например арифметического и не только ... +0 значит ничего не добавить (дать)... -0 ничего не забрать (отнять)... *0 значит обнулить - превратиь результат в 0... /0 значит поделить число на 0 частей - действие лишено смысла - вот поэтому его делать нельзя - так детям понятно - нельзя делать то, что лишено смысла...
    Ответить
    • 1 > gssgssgss | 27.11.2011 | 09:20 Ответить
      соглашусь
      Ответить
    • daria_dsm > gssgssgss | 13.06.2013 | 15:53 Ответить
      да,верно))) просто как все)
      Ответить
    • ?ё! > gssgssgss | 16.09.2015 | 16:00 Ответить
      Смысл есть всегда и во всём, например, чтобы увести от истины или обозначить новое правило игры с истиной. А смысл математики в том, что она должна отражать реальную действительность. Каждое число обозначает количество чего-то вещественного (материального) или количество каких-то действий. Смысл 0 состоит в том, что он не имеет ни вещественного наполнения, ни наполнения действиями. Но обозначить-то (записать, запротоколировать) это как-то нужно, значит нужен и 0. Про сложение и вычитание gssgssgss правильно сказал: ни дать, ни взять, а потом съехал с пути истинного. Ведь про деление и умножение можно так же сказать: ни делить, ни умножать, т.к. нуль это отсутствие действия.
      Разделить на 0 это значит не делить ни на что (ни на какие части), т.е. оставить всё как есть. Ведь не делить ни на что и разделить ни на что это одно и то же. Отсюда следует, что с 5-ю ничего не нужно делать ни сколько раз. Тогда 5/0 = 5. А если не нужно умножать, то и 5*0 = 5, т.е. противоположные «не действия» подтверждают друг друга строго математически. Правда получается кажущееся противоречие с единицей: 5/1 = 5 и 5*1 = 5. Но если подумать, то и здесь нет никаких противоречий. 5/1 это значит из 5 счётных палочек сделать (сформировать) одну кучку, в которой было бы 5 палочек. Скажем палочки лежали на столе разрозненно, а мы их положили одной кучкой (в одном месте). Но на столе-то при этом осталось прежнее количество палочек, т.е. 5/1 = 5. Умножение, 5*1 это значит, что 5 палочек нужно посчитать (учесть) только один раз. Тогда 5*1 = 1+1+1+1+1 = 5.
      В результате 5/0 = 5*0 = 5*1 = 5/1 = 5. И в этом так же нет никаких противоречий, т.к. единичное действие с одним и тем же наполнением означает, что с этим наполнением нужно провести такое действие, при котором наполнение не изменится. Так оно и есть. При делении на 1 мы соединили палочки в одну кучку, а при умножении на 1 мы их просто заново пересчитали, т.е. действие-то есть, но результат не изменился.
      При сложении и вычитании всё несколько иначе, т.к. эти действия связаны с другим наполнением, чем то, над которым необходимо произвести действие.
      А детям можно сказать просто: нуль это значит ничего не делать, т.е. при всех математических действиях числа с нулём число не изменяется. Куда ещё проще?
      Ответить
  • Jill2zso5i  | 29.11.2011 | 23:19 Ответить
    Господа, отправьте малограмотную к тому посту, где определяется 0 - как число, как его отсутсвие или как ЧТО (так ноль-это число или нет вообще?!!!)? Вопрос блондинки: с точки зрения двоичной системы я понимаю про "наличие отсутствия" и "отсутствие наличия" (здесь сарказм), ну то есть, почему 1 и 0 -это метафизические противоположности, но как тогда быть с -1 и всемы вытекающими отовсюду последствиями????Повторяю:"я гуманитарий"!!!!
    Ответить
  • yu_nick  | 02.01.2012 | 00:04 Ответить
    я думаю что этот вопрос мы сами себе придумали)) теперь и мучаемся . 0 это что ? это пустота! и мы пытаемся узнать о пустоте.. ноль это ничто.. я считаю что есть только сложение .. а умножение это просто что бы не писать 5+5+5+5 а мы просто пишем 5*4 ... мне кажеться это самое большое заблуждение что умножать вообщще можно , можно только прибавлять . а вот за это упрощение и и получили такой парадокс х/0= ? а может его и нет)) если с моей точки зрение он ничего не играет роли..если убрать нах умножение то и пропадет деление.. и останеться отнимание и прибавление

    Ксати это и не так уж и детский вопрос..

    З,Ы я подхоил с точки образного мышления)
    Ответить
  • ferst  | 06.01.2012 | 14:32 Ответить
    А инженеры уже давно сделали прибор, при помощи которого можно делить и умножать на ноль. Каждый из нас таким прибором регулярно пользуется по нескольку раз на день :)))http://www.webstaratel.ru/2012/01/delenie-na-nol-v-fizike.html
    Ответить
  • Gringbanderdam  | 07.01.2012 | 22:54 Ответить
    Основы логики: 0→0=1 (Из нуля следует ноль. Значит это может быть равно чему угодно, т.е 1)
    Ответить
  • JunX  | 27.12.2012 | 09:40 Ответить
    "Компутер - он ить не только "складывает" - он еще и СДВИГАЕТ"

    Быть может зная больше о программирование на низших языках, вы бы знали что действительно все основные математические операции представлены через сложение, есть даже формулы выражения всех операций через сложение. Достаточно почитать учебник высшей математики 1 курса, там это всё есть.

    "То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5"

    Нет. Также читайте учебники - вычитание это сложение с отрицательным числом, т.е. 5 - 3, это 5 + (-3), опять же в школе рассказывают в начальных классах, только мы не обращаем внимания. Да и ещё вы переносили цифры, составляли уравнение, вводили какую-то переменную "x" (которой кстати нет в первоначальной записи 5 - 3) - это лишние действия.

    "То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5"
    "Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует"

    Быть может, вы имели ввиду целое число, так как я знаю - это дробь (5/0), ведь и правда (5/0) * 0 = 5.

    "Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому."

    В первую очередь вам скажут забудьте всё что учили в школе. И затем расскажут как и с 0 обходится и что корень из 2 это рациональное число и прочие изыски. Автору полезно было бы ознакомится хотя бы с началами мат. анализа, прежде чем такие статьи писать.
    Ответить
  • Артем12345  | 26.06.2013 | 14:53 Ответить
    Люди, у меня такое мнение на этот вопрос. Математика описывает жизненные ситуации, помогает людям решать реальные задачи. Все операции, определения и т д нужны для реальных задач. Даже мнимые числа имеют применение. А вот деление на нуль не пригодится ни в одной(!) жизненной ситуации. По-этому деление на ноль не имеет смысла.
    Ответить
    • NekoNeko > Артем12345 | 06.08.2013 | 15:30 Ответить
      >Математика описывает жизненные ситуации, помогает людям решать реальные задачи. Все операции, определения и т д нужны для реальных задач.
      Нет.
      >Даже мнимые числа имеют применение.
      Да.
      >А вот деление на нуль не пригодится ни в одной(!) жизненной ситуации.
      Нет.
      >По-этому деление на ноль не имеет смысла.
      Нет.
      Ответить
  • landlawyer  | 10.12.2013 | 16:55 Ответить
    Кто может объяснить, почему когда я 5 делю на 0,000000000000001 калькулятор с ошибкой выдает число 1,004504505255465 ? то, что ошибка - понятно - все число не влезло, но если потом его умножить на 0,00...01 то получится только это самое 0,00...01, даже близко к 5 нет. НО такого правила нет, что на 0,00...01 нельзя делить, значит все-равно должно после деления более-менее разумно число получаться, которое если умножить на делитель, должно результировать примерно то же самое делимое, что было в начале (5). ПРостите за такой язык, я не математик, просто интересно стало.
    Ответить
    • Ди Ради > landlawyer | 06.08.2014 | 03:47 Ответить
      Не влезает в разряд.

      Будет 5 и куча нулей.
      Но калькулятор вычисляет по-другому. Из-за архитектуры микрухи.

      Делить 5 на 0,000...001 это тоже самое, что умножить 5 на 10000...0000, т.е. будет в итоге 50000...000000000

      По основному вопросу статьи:
      Ноль не число. Поэтому делить на ноль нельзя, точно так же, как делить на стулья. Ноль это пустое множество, оно не является числом. Числом может являться элемент внутри множества, но не множество.

      Т.е. пытаться разделить 37 на 0, это тоже самое, что пытаться разделить 37 на акведук или римского императора Нерона, ну или на зубную щетку.

      Т.е. вся проблема вопроса в определениях, которыми оперируют те, кто не изучал deep матан.
      Если вы поймете, что ноль не является числом, то вы поймете почему нельзя проводить составные операции с нулем в поле чисел.

      Ну т.е. мы тогда, грубо говоря, пытаемся разделить пчел на киев, огород и бузину.
      Ответить
  • SeLin  | 16.09.2014 | 18:48 Ответить
    Ну во первых, при сложении (умножении, вычитании, делении) на ноль второе число должно быть - не ноль, потому что в таких примерах теряется всякое представление о несущей, в этом примере информации, т.е. информация должна составляться минимум из двух разных единиц (например двоичный код), из которой впоследствии можно составить более сложную информацию. Так что такие примеры как 0+0=0, 0-0=0, 0*0=0, 0/0=0 существовать не могут в принципе. Что же касается ДУРИ, которая описана в этой статье, могу сказать, что если ученые не нашли способ при котором деление на ноль не приводит к какому-то определенному результату, то они могли бы обратить внимание, хотя-бы, на массу логических (системных) противоречий содержащихся в этой статье.
    Ответить
    • Ди Ради > SeLin | 09.01.2015 | 23:07 Ответить
      Не слушайте детишки. Эти альтернативщики вам заморочат голову.

      Официальный матан позволяет операции 0+0, 0-0, 0*0, 0/0.

      Пустое множество плюс пустое множество = пустое множество.
      То же самое с минусом и умножением.

      А вот с делением выйдет неопределенность, которую дальше можно раскрыть по законам теорвера.

      А вот числа нельзя делить на ноль, не потому что нельзя, а потому что ноль не является числом.
      То же самое как 32 нельзя разделить на банановую кожуру. Потому что банановая кожура не является числом.
      Ответить
      • afffr > Ди Ради | 12.07.2015 | 17:33 Ответить
        Тогда почему умножать на ноль можно??? По Вашему такое уравнение: "32 * банановую кожуру" более осмыслена чем "32 / банановую кожуру?"
        Ответить
        • Ди Ради > afffr | 04.01.2016 | 19:29 Ответить
          Потому что 0 это пустое множество.
          Если умножить что-то на пустое множество, то мы получим это что-то в пустом множестве, т.е. нету места там для числа. Оно пустое, содержит нисколько элементов. Поэтому если умножить на пустое множество банановую кожуру то и получим пустое множество.

          Вся непонятка из-за того что в школах не объясняют что такое "арабские" (индоарабские) цифры вообще. Т.е. наши современные (Еще в средние века европейцы пользовались римскими цифрами).
          Так вот, наши цифры - комплексны. Т.е. имеют сложность от позиции.
          Например в числе 38448 - первая восьмерка означает 8000, а последняя просто 8. А выглядят они одинаково. Просто меняется положение и порядок цифр.

          Так вот 0, когда он находится за другими числами или перед - например 100, 550, 20, 0,005, 0,1 - является Цифрой.
          А когда он без чисел ни слева ни справа то он не является числом вообще. А обозначает пустое множество.

          Если пустое множество разделить на пустое множество - будет неопределенность. Т.е. 0/0 = неопределенность.
          А умножая на ноль мы помещаем число которое умножаем в пустое множество (множество без элементов) и места числу не остается. В итоге на выходе мы получаем пустое множество. Вот почему 5*0 = 0.

          А что будет если мы разделим 5/0? А ничего не будет, т.к. в данном случае мы делим число на пустое множество без элементов. Данная операция означает "сколько в 5 содержится пустых множеств?" - бесконечное количество. Вот такой ответ.

          Сам ноль был изобретен Индусами (и как цифра и как пустое множество) и конкретно благодаря ему стали возможны уравнения.
          Ответить
          • afffr > Ди Ради | 24.01.2016 | 23:22 Ответить
            Хорошо. 5+5+5+5+5+0=25 ; 5+5+5+5+5*0=20 все сходится! Просто при умножении на пустое множество число растворяется в пучине бездны, уходит в некуда, наплевав на закон сохранения энергии. А вот если прибавить пустое множество, то закон сохранения энергии сохраняется, и числа в таком пустом множестве чувствуют себя вполне нормально. 5*5*0=0 наперстники нервно курят в сторонке.
            Ответить
          • VladNSK > Ди Ради | 31.10.2016 | 04:10 Ответить
            Ди Ради написал: "Потому что 0 это пустое множество.

            Ноль - такое же число, как, например, 1 или -5.23. Чтобы это понять - достаточно поглядеть на термометр за окном: там на шкале есть положительные числа, ноль и отрицательные.

            Утверждать, что "ноль - не число, а пустое множество" - столь же глупо, как и утверждать, что не бывает нулевой температуры.
            Ответить
  • basil_vi  | 03.02.2015 | 19:27 Ответить
    Мне кажется, что в природе частица (атом или ещё что-то) либо есть, либо частицы нет – абсолютный ноль как отсутствие. Другого ноля в природе нет.
    Математика – произведение рук человеческих, модель природы для облегчения жизни человека. Ноль в математике не значит «отсутствие», как в природе. Это недоработка математиков, неточность модели. На этом дефекте модель (математику) заклинивает.
    Я уже много лет веду всевозможные расчёты для практических целей (сметы, режимная наладка, тепловые и прочностные расчёты и прочее) и сделал себе пользовательскую функцию, типа: «если делитель=0, то принять результат за 0».
    Много лет считаю, ставлю при отсутствии данных ноль, и все расчёты проскакивают на «ура».
    Для практических расчётов этот метод очень даже годится.
    Ответить
    • afffr > basil_vi | 12.07.2015 | 18:07 Ответить
      Полностью согласен, нынешняя модель математики далека от совершенство. Уже на данном этапе развития человечества, с помощью действующей десятеричной модели исчисления не возможно вычислить правильный ответ на вполне физическое явление. К примеру, давайте вычислим за какое время спортсмен обгонит черепаху, если нам известно что спортсмен бежит со скоростью 10 км/час, черепаха со скоростью 1 км/час, и спортсмен дает фору черепахе в 10 км. Ответ будет следующий: через 1,1111....до бесконечности часов., то есть никогда, но физический это произойдет. Как можно записать правильный ответ?

      х*0=0; у*0=0
      следовательно х=у, но по факту х=5 а у=7. По моему противоречий нет, иначе умножение на ноль тоже бы запретили.
      Ответить
      • Kaitena > afffr | 24.08.2015 | 14:03 Ответить
        Судя по вашим комментариям, Вы сами весьма далеки от математики
        ответ 1.11111... говорит лишь о том, что момент этот произойдет спустя 1 час 6 минут и 6 секунд с небольшим (далее идет лишь определение погрешности с точностью до какого разряда будет выполнен расчет)
        но это не говорит нам о том, что этого не произойдет никогда вовсе
        А поскольку изначально вопрос ставился о том, через сколько мы сможем зафиксировать непосредственно факт обгона, то ответ с точностью до секунды будет выглядеть как 1 час 6 минут и 7 секунд.
        И не надо тут выдумывать ничего лишнего.
        Ответить
        • afffr > Kaitena | 01.09.2015 | 12:27 Ответить
          "1 час 6 минут и 7 секунд" - ответ неверный. "спустя 1 час 6 минут и 6 секунд с небольшим" - примерно так производят расчеты при отправке ракет в космос.
          Ответить
  • PirDuha  | 14.10.2015 | 14:58 Ответить
    1. Полностью согласен с "?ё!". как можно умножая на ничто получить ничто, если умножение - это многократное сложение? 5+0+0 = 5
    2. Ошибка в том, что ученые "признаю полноценными только [+] и [*]
    Отрицая существование [-] и [:] отрицается закон сохранения энергии.

    5-3 = 2 Тройка в данном случае не исчезает, а трансформируется в то, что уже не учитывается в рамках данного выражения. В противном случае [х+2=5]иногда не ровнялось бы [3]
    PS: аксиомы - способ обмана человечества
    Ответить
  • melaikin  | 30.10.2016 | 08:22 Ответить
    У меня такое впечатление, что для математиков не проблема поделить на 0, а физики давно и успешно делят). Правда, для этого приходится придумывать разные обходные пути. А это как я поделил:
    https://youtu.be/_U1WP1s2EUI
    Ответить
    • afffr > melaikin | 04.11.2016 | 13:17 Ответить
      Вся проблема в том, что когда в качестве доказательства какой либо теории используется ошибочный аргумент (заведомо неправильный эксперимент), то и результат будет соответственный (неверный).

      В Вашем примере в частности, и во всех в целом, в качестве главного аргумента в пользу запрета деления на ноль является тот факт что: "Любое число умноженное на ноль дает ноль". Но это-же неверно!

      Эту проблему можно решить другим путем. Можно разрешить деление на ноль, а умножение запретить, тогда получим что 5/0=0 ; 4/0=0, следовательно 0*0=(любое число) и 5*0=(умножение на ноль запрещено), следовательно умножение на ноль запрещаем, так как это ведет к противоречиям.

      То-есть у нас получается, что мы запрещаем одну операцию потому что она противоречит другой операции, хотя они обе являются неправильными.

      Умножение на ноль, так-же как и деление, говорит только об одном, что никакой операции не происходит. То-есть, либо в результате обеих операциях нужно выдавать ошибку, либо результат должен быть аналогичен с результатом деления или умножением на единицу.

      И потом, более логично представить что при деление целого можно прийти к нулю, нежели при умножении...
      Ответить
Написать комментарий

Другие вопросы


Элементы

© 2005-2017 «Элементы»