Правило Тициуса—Боде

Расстояния от планет Солнечной системы до Солнца возрастают согласно простому арифметическому правилу.

Есть что-то такое в нумерологии, что буквально завораживает людей. Будучи ученым, занимающимся общественно-просветительской деятельностью, я регулярно получаю письма от людей, нашедших очередную «разгадку» какой-либо тайны Вселенной посредством анализа последовательности десятичных знаков в записи числа π или массы одной из элементарных частиц. Логика у них простая: если найдена какая-то закономерность в числовой последовательности, благодаря которой удается объяснить какое-либо природное явление, значит за этим кроется что-то фундаментальное. Надуманным «законам» подобного рода в этой книге уделяется мало внимания, однако для правила Тициуса—Боде, хотя оно и относится к вышеупомянутой категории, следует сделать исключение (ничего предосудительного в том, как оно изначально было выведено и проверено, нет; просто со временем выяснилось, что оно не всегда работает, — и мы это увидим).

В 1766 году немецкий астроном и математик Иоганн Тициус заявил, что выявил простую закономерность в нарастании радиусов околосолнечных орбит планет. Он начал с последовательности 0, 3, 6, 12, ..., в которой каждый следующий член образуется путем удвоения предыдущего (начиная с 3; то есть 3 × 2n, где n = 0, 1, 2, 3, ...), затем добавил к каждому члену последовательности 4 и поделил полученные суммы на 10. В итоге получились весьма точные предсказания (см. таблицу) расстояний известных на то время планет Солнечной системы от Солнца в астрономических единицах (1 а. е. равна среднему расстоянию от Земли до Солнца).

Совпадение прогноза с результатом действительно впечатляет, особенно если учесть, что открытый лишь в 1781 году Уран также вписался в предложенную Тициусом схему: по Тициусу — 19,6 а. е., фактически — 19,2 а. е. Открытие Урана подогрело интерес к «закону», прежде всего к таинственному провалу на удалении 2,8 а. е. от Солнца. Там, между орбитами Марса и Юпитера, должна быть планета — считали все. Неужели она столь мала, что ее невозможно обнаружить в телескопы?

В 1800 году даже была создана группа из 24 астрономов, ведших круглосуточные ежедневные наблюдения на нескольких самых мощных в ту эпоху телескопах, они даже дали своему проекту громкое название «Небесная стража», но, увы... Первую малую планету, обращающуюся по орбите между Марсом и Юпитером, открыли не они, а итальянский астроном Джузеппе Пиацци (Guiseppe Piazzi, 1746–1826), и произошло это не когда-нибудь, а в новогоднюю ночь 1 января 1801 года, и открытие это ознаменовало наступление ХIX столетия. Новогодний подарок оказался удален от Солнца на расстояние 2,77 а. е. Однако диаметр этого космического объекта (933 км) явно не позволял счесть ее искомой крупной планетой. Однако в течение всего нескольких лет после открытия Пиацци было обнаружено еще несколько малых планет, которые назвали астероидами, и сегодня их насчитывается много тысяч. Подавляющее большинство из них обращается по орбитам, близким к предсказываемым правилом Тициуса—Боде, и, по последним гипотезам, они представляют собой «строительный материал», который так и не сформировался в планету (см. Гипотеза газопылевого облака).

Немецкий астроном Иоганн Боде, будучи под большим впечатлением от выводов Тициуса, включил их в свой учебник по астрономии, изданный в 1772 году. Именно благодаря его роли как популяризатора его имя возникло в названии правила. Иногда его даже несправедливо называют просто правилом Боде.

И как реагировать человеку, столкнувшемуся с такой «магией» последовательности чисел? Я всегда рекомендую задающимся подобными вопросами придерживаться умного совета, который дал мне в свое время умудренный опытом преподаватель теории вероятностей и статистики. Он часто приводил пример поля для гольфа. «Предположим, — рассуждал он, — что мы задались целью рассчитать вероятность того, что шар для гольфа приземлится на точно заданную травинку. Такая вероятность будет практически нулевой. Но, после того, как мы ударили клюшкой по шару, шару ведь надо куда-то упасть. И рассуждать о том, почему шар упал именно на эту травинку, бессмысленно, поскольку, если бы он упал не на нее, он упал бы на одну из соседних».

Применительно к правилу Тициуса—Боде: шесть цифр, входящих в эту формулу и описывающих удаление планет от Солнца, можно уподобить шести шарам для гольфа. Представим себе вместо травинок всевозможные арифметические комбинации чисел, которые призваны дать результаты для расчета радиусов орбит. Из бесчисленного множества формул (а их можно насочинять даже больше, чем имеется травинок на поляне для гольфа) обязательно найдутся и такие, что по ним будут получены результаты, близкие к предсказываемым правилом Тициуса—Боде. И то, что правильные предсказания дала именно их формула, а не чья-либо еще — не более чем игра случая, и к настоящей науке это «открытие» отношения не имеет.

В реальной жизни всё оказалось даже проще, и к статистическим доводам для опровержения правила Тициуса—Боде прибегать не пришлось. Как это часто бывает, ложная теория была опровергнута новыми фактами, а именно открытием Нептуна и Плутона. Нептун обращается по очень неправильной, с точки зрения Тициуса—Боде, орбите (прогноз для его радиуса 38,8 а. е., в действительности — 30,1 а. е.). Что касается Плутона, то его орбита вообще лежит в плоскости, заметно отличающейся от орбит других планет, и характеризуется значительным эксцентриситетом, так что, само упражнение с применением правила становится бессмысленным.

Так что же, выходит, правило Тициуса—Боде относится к разряду псевдонаучных? Не думаю. И Тициус, и Боде искренне пытались отыскать математическую закономерность в строении Солнечной системы — и ученые продолжали и продолжают заниматься поисками подобного рода. Проблема в том, что ни тот, ни другой не пошли дальше игры чисел и не попытались отыскать физическую причину того, почему орбиты ближних планет подчиняются подмеченной ими закономерности. А без физического обоснования «законы» и «правила» подобного рода остаются чистой нумерологией — и, как показывают имеющиеся сегодня данные, весьма некорректной нумерологией.

Иоганн Элерт БОДЕ
Иоганн Элерт БОДЕ
Johann Elert Bode, 1748–1826

Немецкий астроном и математик, родился в Гамбурге. Астроном-самоучка, первый трактат по астрономии опубликовал в возрасте 17 лет. С 1772 года и до самой своей смерти — главный редактор «Астрономического ежегодника» (Astronomisches Jahrbuch) Берлинской академии наук, превративший его в прибыльное и престижное издание. В 1781 году предложил для открытой Вильямом Гершелем (William Herschel) новой планеты название Уран. С 1786 года — директор Астрономической обсерватории Берлинской академии. Составитель звездных атласов, которые переиздаются до наших дней. Самый известный из них — «Уранография» (Uranographia, 1801), который до сих пор считается лучшим и самым красочным звездным атласом в истории человечества. Автор геометрических границ между созвездиями, которые были пересмотрены лишь в 1931 году.


Иоганн Даниель ТИЦИУС
Иоганн Даниель ТИЦИУС
Johann Daniel Titius, 1729–96

Немецкий астроном, математик, физик и биолог. Родился в г. Конитц (Konitz), ныне Хойнице (Chojnice) в Польше. В 1752 году окончил Лейпцигский университет и остался при нем. Через четыре года перешел в Университет Виттенберга, в котором и проработал до конца жизни, занимая кафедры профессора математики и физики. К формулировке «правила» Тициуса подтолкнул осуществленный им перевод на немецкий книги французского натуралиста и естествоиспытателя Шарля Бонне (Charles Bonnet). Бонне утверждал, что в устройстве Солнечной системы присутствует гармония, свидетельствующая о ее божественном происхождении. В 1784 году Боде признал приоритет Тициуса в открытии правила, носящего их имя.


10
Показать комментарии (10)
Свернуть комментарии (10)

  • Крупин  | 16.09.2006 | 09:10 Ответить
    С позиции гипотез небулярного типа к закону Боде-Тициуса можно предъявить целый ряд претензий. Прежде всего, закон антиматериалистичен, ведь в формуле Тициуса никак не задействованы массы планет. Между тем большая планета должна, по идее, иметь большую область питания и должна отделятся от планет большим межпланетным интервалом.

    Другое возражение связано с делением планет на гиганты и землеподобные. Резкое различие этих типов планет объясняется различными особенностями процесса их формирования, накладывающими отпечаток на все их свойства. По логике, эти особенности должны были сказаться и на взаимном расположении планет. Очень сомнительно, чтобы эти различия вписывались в единую форму.

    Следующая претензия - неуниверсальность закона, неприменимость его к аналогам планетной системы - спутниковым системам планет-гигантов.

    И, наконец, так ли уж применим закон к самому планетному ряду? Ясно, что планеты от Венеры до Сатурна не в счёт, поскольку они были известны при составлении закона. Остаются Уран и Нептун.

    Единственным веским аргументом в поддержку Закона является двухпроцентная близость радиуса орбиты Урана к значению, предсказанному формулой Тициуса. По мнению сторонников Закона такое совпадение почти равносильно доказательству его правильности. Но так ли это на самом деле? Точность ведь понятие относительное, а иногда катастрофична ошибка в миллионную долю.

    Как сказал какой-то древний мудрец: 'всё познаётся в сравнении'. Поступим и мы подобным образом - попробуем поставить себя на место Тициуса и сделать собственное следующее 'предсказание'.
    Рассмотрим числовой ряд: 0,723 ; 1 ; 1,534 ; 5,203 ; 9,539 ; (орбитальные радиусы планет от Венеры до Сатурна (Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) в астрономических единицах).
    Возьмём для этих (известных Боде и Тициусу) планет отношения последующего члена к предыдущему:
    1/0,723=1,383 1,524/1=1,524 5,203/1,524=3,414 9,539/5,203=1,833
    Примем среднее арифметическое этих значений - 2,04 за отношение 'Урана' (ещё не открытого) к Сатурну. Тогда для радиуса орбиты новой планеты получим R=19,45 , что ближе к истинному значению = 19,18 , чем получил Тициус (19,50).
    Конечно, проведя другие манипуляции с рядом мы могли бы ошибиться раза в полтора однако приведённый пример показывает что 2% точность не столь уж феноменальна и вполне может быть следствием чистой случайности.

    Другим аргументом сторонников Закона является предсказание Цереры. Но Церера не планета, а лишь один из множества астероидов Главного пояса (хотя и крупнейший). Поэтому значимость такого совпадения сомнительна. Следующая планета - Нептун в закон не вписывается, а Плутон нельзя принимать во внимание вследствие его 'мелкоты' и большой эллиптичности орбиты (Тициус даже Меркурий не учитывал).

    Да, Закон сыграл огромную роль в деле открытия Нептуна и других небесных тел. Но роль эта - косвенная. Открытиям помогала вера в правильность Закона. Сам же Закон, вроде бы, надуман и явно не имеет физического смысла.

    Представим себе, что развитие астрономии пошло бы другим путём и все планеты были бы открыты случайно. И вот, в редакцию астрономического журнала поступила рукопись, подписанная некими авторами Боде и Тициусом, что ими найдена закономерность расположения планет. Вряд ли кто-то воспринял её всерьёз.

    И всё-таки в Законе Боде-Тициуса заложены два очень верных суждения. Первое - планеты (как и их спутники) имеют тенденцию располагаться в примерно геометрической прогрессии. Второе - орбиты планет (опять же, как и спутников) часто располагаются относительно независимо от масс. Здесь речь идёт об орбитальных резонансах - соизмеримостях периодов обращения. Например, за два оборота Сатурна Юпитер совершает примерно 5 оборотов, а Плутон обращается ровно дважды за три периода Нептуна. Если бы конфигурация протопланетного диска была немножко другой, массы Юпитера и Сатурна были бы несколько иными, но их относительное расположение практически не изменилось. Т.е. в противоположность непрерывному изменению масс, относительное расположение небесных тел меняется в некотором смысле 'дискретно' - скачками.

    Хотя орбитальным резонансам до сих пор не найдено теоретического объяснения, их многочисленность как среди планет, так и их спутников не оставляют сомнений в неслучайности этой закономерности. Обычно резонансам отводится 'второстепенная' роль в деле расположения орбит. Предполагается, что первоначально планеты/спутники формировались на каких-то других орбитах, а в резонанс вошли позже - за время жизни Солнечной системы - 4,6 млрд. лет. По мнению же автора планеты/спутники изначально формировались именно на резонансных орбитах. Иными словами, вместо Закона Боде-Тициуса расположением планет (а также их регулярных спутников) управляет 'Закон Резонансов'. Но у резонансных соотношений есть большой минус, препятствующий вытеснению ими Закона Боде-Тициуса. В отличие от всеохватного З Б-Т далеко не все планеты/спутники 'обвязаны' ими.

    Автором найден новый тип соотношений связывающих друг с другом орбиты небесных тел. Проиллюстрируем эти соотношения, названные автором промежуточным орбитальным резонансом на следующем примере: Возьмём Венеру и Юпитер, орбитальные радиусы которых равны 0,723 и 5,203 астрономическим единицам, соответственно.

    . Проделаем с этими числами несколько элементарных арифметических действий.

    (5,203+0,723) = 2,963 - это средний радиус частицы, обращающейся по эллипсу между орбитами Венеры и Юпитера (большая полуось этой 'промежуточной' орбиты).
    2,963/5,203 = 0,5695 - отношение промежуточного среднего радиуса к радиусу орбиты Юпитера.
    Возводя это отношение в куб, получаем 0,1847, извлекая из которого квадратный корень, получаем число 0,4298.
    Каков смысл всех манипуляций? Мы получили отношение периода обращения промежуточной частицы (Венера-Юпитер) к периоду Юпитера (соглно 3-му закону Кеплера квадраты периодов соотносятся как кубы средних орбитальных радиусов).
    Что это за цифирь 0,4298 ? Умножив её на 7 получим 3,01. Значит, если бы между орбитами Юпитера и Венеры обращался астероид, он находился бы с Юпитером в резонансе 3/7.
    Что это - случайное совпадение? Таких 'совпадений' как среди планет, так и спутников чересчур многовато. Например, за три периода Сатурна, промежуточная частица Сатурн-Нептун обернётся примерно трижды. Если запустить к Венере космический зонд, то через 4 (земных) года он практически встретится с ней, сделав 5 оборотов.
    В моих работах, размещённых на сайте http://astronomij.narod.ru/ (более последовательно в трактате 'О законе', дано хорошее теоретическое объяснение как 'обычным' орбитальным резонансам, так и обнаруженным мной 'промежуточным'. Показано, что как планетная система, так и спутниковые системы Юпитера, Сатурна, Урана сформировались благодаря их сочетанию.
    Ответить
    • alexelo > Крупин | 18.05.2008 | 14:09 Ответить
      Солнечной системе был свой эволюционный процесс .и то как она сейчас выглядит- есть результат этой эволюции.. Но можно предположить 'идеальный' процес эволюции. Если параметры всех планет,а именно , расстояние до Солнца, скорость на орбите и период обращения вокруг Солнца выразить через параметры планеты Земля , Аз = 1 Tз = 1 Vз = 1 То возникнет общая формула взаимозависимых параметров каждой планеты . Аn = Tn Vn ! Где Аn -расстояние до Солнца . Тn -период обращения. Vn -скорость на орбите. n - порядковый номер планеты от Солнца. Но в то же время каждый параметр по отдельности можно выразить через общую формулу. А n = 1.111111111(4n - 12) Tn = 1.111111111(6n-18 ) Vn = 1.111111111(6 - 2n) ТО что в скобках -это степень. Но самое интересное из всего этого вытекает то, что в Солнечной системе по планету Плутон должно быть 12 планет , а не 9. Первая - пояс астероидов. Вторая - между поясом астероидов и планетой Юпитер. Третья - между Сатурном и Ураном !
      Ответить
  • Andrey  | 11.02.2009 | 18:14 Ответить
    Я не астроном, я занимаюсь прикладной математикой, доктор технических наук...

    Автор утверждает: "Применительно к правилу Тициуса-Боде: шесть цифр, входящих в эту формулу и описывающих удаление планет от Солнца, можно уподобить шести шарам для гольфа... Из бесчисленного множества формул (а их можно насочинять даже больше, чем имеется травинок на поляне для гольфа) обязательно найдутся и такие, что по ним будут получены результаты, близкие к предсказываемым правилом Тициуса-Боде. И то, что правильные предсказания дала именно их формула, а не чья-либо еще - не более чем игра случая, и к настоящей науке это 'открытие' отношения не имеет".

    Да, действительно теория интерполяции позволяет найти функцию проходящую через 6 точек... но функция будет сложной... а здесь простая функция, совсем простая...
    Попробуйте взять произвольные 6 чисел и найти простую закономерность... устанете искавши, я вас уверяю...

    так что таких случайностей не бывает :)))
    Ответить
    • alexelos > Andrey | 14.09.2009 | 00:13 Ответить
      Конечно,вы правы!И подобные утверждения можно отнести к математике - в ней столько случайностей ,что они стали закономерны и ими аппелируют, делают утверждения ,опровержения.Но суть не в том.Всё это было cделано не подбором.А из закономерности другого предположения как допущения,вполне возможного...без математике не обошлось...хотя я не математик.Я не расчитывал,что это будет инструментом расчётов,но как информация к размышлению..,вполне возможная.
      Ответить
  • Korin Molchek  | 10.03.2010 | 15:32 Ответить
    Ничего не понимаю. Я думал, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, да ещё эти орбиты меняются из-за влияния на них всего.
    Ответить
    • insolor > Korin Molchek | 08.02.2012 | 23:30 Ответить
      Все верно. Здесь орбиты планет приближенно считаются круговыми, соответственно за радиус круговой орбиты принимается средний радиус реальной.
      Ответить
  • Andrey-87  | 14.07.2012 | 00:57 Ответить
    Правило Тициуса-Бодэ есть не что иное, как изощренная запись третьего закона Кеплера. Убедиться в этом довольно легко обладая даже начальными знаниями математического анализа.
    1) Возьмем третий закон Кеплера, уточненный И. Ньютоном, записанный относительно Меркурия:
    (T^2/T^2_M)*((M_S+m)/(M_S+m_M))=a^3/a^3_M,
    здесь T_M, m_M, a_M – период обращения, масса и большая полуось орбиты Меркурия соответственно, T, m, a – период обращения, масса, большая полуось орбиты любой другой планеты нашей системы соответственно, M_S – масса Солнца.
    2) Из уравнения связи синодического и сидерического периода любой планеты, записанного относительно Меркурия, следует:
    T = S*T_M/(S-T_M),
    где S – синодический период планеты, относительно Меркурия.
    3) После элементарных преобразований третьего закона Кеплера имеем:
    a = ((T/T_M)*(M_S+m)/(M_S+m_M))^(2/3)*a_M
    4) Преобразуем последнее выражение с использованием уравнения связи синодического и сидерического периода:
    a = (1-(T_M/S))^(-2/3)*((M_S+m)/(M_S+m_M))^(1/3)*a_M
    5) Воспользовавшись широко известным разложением в ряд Маклорена функции вида:
    (1-x)^(-2/3)=1+∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*x^n/n!)
    получим, что:
    a = (1+∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*(T_M/S)^n/n!))* ((M_S+m)/(M_S+m_M))^(1/3)*a_M
    - это и есть правило Тициуса-Боде с точки зрения классической механики Ньютона.
    Чтобы в этом убедиться посмотрим на выражение известного правила:
    a = 0.1*(3*2^m+4)*a.u.,
    здесь a.u. – большая полуось орбиты Земли. Немного пофантазировав можно заметить, что при выносе 4 за скобку, мы получим произведение на 0.4 а.е., а это по догматам правила есть большая полуось орбиты Меркурия. Таким образом, получаем весьма нетривиальный вывод:
    ∑^∞_(n=1)(∏^∞_(n=1)(2+(n-1)*3)/3^n*(T_M/S)^n/n!) = ¾*2^m
    Сумма ведет себя подобно степеням двойки! Неординарно, но факт. Даже можно объяснить, почему m для Меркурия равно бесконечности, поскольку синодического периода планеты относительно самой себя не существует!
    Да, начиная с Нептуна правило не выполняется по одной простой причине аппроксимация суммы степенями двойки перестает работать. Степень m в правиле связана с отношением T_M/S, т.е. не с чем иным, как с орбитальным резонансом Меркурия с другими планетами Солнечной системы.
    А теперь давайте еще раз трезвыми глазами физика-теоретика посмотрим на правило Тициуса-Боде:
    r = (1+0.7767040*2^n)*0.38709893 a.u.
    Цифры в правиле по очереди:
    «1» - взялась во время разложения 3-го закона Кеплера в ряд Маклорена,
    «0.38709893 a.u.» - большая полуось орбиты Меркурия (сайт NASA),
    «2^n» - сумма из ряда Маклорена (да, это действительно так, до Нептуна все планеты с Меркурием в орбитальном резонансе кратном 2, но если честно Нептун от них не далеко ушел),
    «0.7767040» - усредненный коэффициент «отличия» суммы из ряда Маклорена от «2^n». Именно благодаря его универсальности правило Тициуса-Боде и работает для целых 7 планет Солнечной системы. В идеале он, конечно, разнится для каждой из планет, но ведь суть правила в его универсальности, не так ли? (в XVIII веке его положили равным ¾ =0.75 и они были недалеки от правды!)
    http://artefact.sosbb.ru/t303-topic
    Ответить
  • vladimirphizik  | 23.06.2014 | 10:10 Ответить
    При создании электромагнитной теории гравитации была получена формула ( http://gravitus.ucoz.ru/news/ehmtg_i_pravilo_ticiusa_bode/2014-05-11-16 ):

    R = R0{(√5 +1)/2}n

    где: n =0,1,2,3… - целочисленный показатель степени.

    R0 - начальный параметр.

    (формула, по определенным причинам http://gravitus.ucoz.ru/index/0-2 , дана в приближенном виде). Представим

    (√5 +1)/2 = 1,61803398875....≈ 1.618 - так называемое "золотое сечение"

    и перепишем формулу в виде

    R=R0(1.618)n

    Из этой формулы получается правило Тициуса-Боде.
    Ответить
    • baskleeva > vladimirphizik | 15.09.2014 | 07:37 Ответить
      Большое спасибо! Пишем с учеником работу, этот материал включим в неё! Если Вы - педагог, или просто есть желание, интересен Ваш коммментарий. С уважением, Ольга
      Ответить
      • vladimirphizik > baskleeva | 15.09.2014 | 11:54 Ответить
        Формула с золотым сечением получена для описания квантования силовых линий точечного соленоида (электрического!). По ней рассчитываются многие астрономические параметры, в том числе границы радиационных поясов, радиусы планет, их орбиты, расстояние до колец и т.д., что явно подтверждает электромагнитную природу гравитации. Золотое сечение можно написать при помощи чисел Фибоначчи. Правило Тициуса-Боде получается из формулы с золотым сечением с учетом обеих компонент ЭМ поля. Пока показать не могу, так как теорию гравитации не публикую: из нее следуют теологические выводы, а мое условие для публикации - обсуждение в первую очередь именно этих выводов.
        Ответить
Написать комментарий

1766
Правило Тициуса—Боде
Радиусы планет (в астрономических единицах), предсказанные правилом Тициуса—Боде (средняя колонка). Для сравнения даны их реальные радиусы (правая колонка)
Радиусы планет (в астрономических единицах), предсказанные правилом Тициуса—Боде (средняя колонка). Для сравнения даны их реальные радиусы (правая колонка)
Элементы

© 2005-2017 «Элементы»