Теорема Гёделя о неполноте

Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой,или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?

Курт ГЁДЕЛЬ
Курт ГЁДЕЛЬ
Kurt Gödel, 1906–78

Австрийский, затем американский математик. Родился в г. Брюнн (Brünn, ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался преподавателем кафедры математики (с 1930 года — профессором). В 1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. Будучи человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни. В 1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился. В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить.


42
Показать комментарии (42)
Свернуть комментарии (42)

  • Korotkoff  | 11.11.2006 | 03:50 Ответить
    Кстати подобное было в античности, только на месте Гёделя выступили киники, они тоже доказывали про А и -А, но их как то побороли Сократ и Пифагор
    Ответить
    • Worldowner > Korotkoff | 11.06.2016 | 09:54 Ответить
      возможно я ошибаюсь, но мне кажется что они использовали принцип "нет человека - нет проблемы"
      Ответить
  • grey  | 26.01.2007 | 18:37 Ответить
    Это очень видно на развитии арифметики от первобытного человека. Натуральный ряд чисел 1 2 3 и т.д. очевиден и понятен. Сложение и вычитание: 3+2 все хорошо. 3-2 тоже. А 2-3? Приходится вводить понятие отрицательного числа. Операция деления приводит к необходимости введения понятия дробного и иррационального числа, степень и корень приводят к необходимости введения понятия комплексного числа. И т.п., и т.д., и пр. Кстати, с практической точки зрения, расширение системы аксиом на момент ее расширения кажется совершенно бесполезной и надуманой. Но сколько времени прошло от введения понятия комплексного числа до рутинных электротехнических расчетов? Два или три столетия?
    Ответить
  • Прост  | 07.06.2007 | 15:59 Ответить
    "Теорема Гёделя о неполноте" не является даже правдоподобной гипотезой, не говоря уже о том, чтобы быть теоремой. Без особого труда устанавливается, что гёделево определение "парадоксальной формулы" попросту противоречиво. Почти теми же рассуждениями, которыми "доказывается" недоказуемость гёделевой формулы, можно доказать, что эта формула доказуема.
    Ответить
  • alex_zxcvbn  | 17.09.2007 | 18:49 Ответить
    Комменты рулят! Когда читал статью, ругал автора за фривольный стиль. Но когда читал комментарии, понял, что подобным "читателям" более адекватный стиль и недоступен... Сумасшедшие... Господа, вы теорему Ферма не пробовали доказывать? Вам должно понравится, особенно весной и осенью в период обострения.
    Ответить
  • fuxx  | 28.11.2007 | 11:58 Ответить
    Снова бред в конце очередной статьи. Откуда эта мистичность?
    Ответить
  • Шадрин В.В.  | 05.06.2009 | 08:46 Ответить
    математика и Математика. Основание математики. Материалы по ссылке:
    http://www.proza.ru/avtor/shadrinvictor
    Ответить
  • itk  | 18.07.2009 | 23:07 Ответить
    Grey показал всю наглядность теоремы Гёделя. Непонятно к чему так изголяться в вопросах доказательства. Дело в том, что научным сообществом на сегодняшний день теорема Гёделя считается доказанной. Приведите те положения, которые вы сочли по сути противоречивыми...
    Ответить
    • Menny > itk | 17.09.2009 | 16:29 Ответить
      Ну собственно я например ввел натуральные числа и операции "+" и "-" над ними. Grey говорит что у меня возникнет противоречие 2-3="бог знает что" я ввожу допольнительную аксиому не "существование отрицательных чисел" а правило "от меньшего большее отнимать нельзя" (так например вы не сможете достать из корзины больше яблок чем там есть = например в плане доставания яблок из корзины теория будет работать). После такого уточнения по теореме Геделя/по тому что писал Grey у меня должны возникнуть новые противоречия?? но КАКИЕ? и где? - помоему система аксиом будет непротиворечивой!
      ЗЫ. Пишу это не к тому что сомневаюсь в "научности" теоремы Геделя, а к тому что не совсем могу понять ее = обьясните на примере выше!
      Ответить
      • georgise > Menny | 18.11.2009 | 11:44 Ответить
        Menny wrote: я ввожу допольнительную аксиому не "существование отрицательных чисел" а правило "от меньшего большее отнимать нельзя"

        Ваша аксиома непротиворечива, если вы работаете в натуральных числах. Во множестве натуральных чисел, действительно, 2-3 недопустимая операция. Но вот вам очень нужно получить ответ на вопрос "2-3=?" Задача порождает решение: мы вводим понятие целых чисел продолжая ряд налево от единицы, т.е.
        ...-2 -1 0 1 2...
        и в данном множестве Ваша аксиома уже противоречива, т.к. 2-3=-1
        Ответить
  • caricatura  | 22.08.2009 | 16:08 Ответить
    Если с помощью компьютера возможно реализовать нейронные сети (а теоретически - даже очень крупные нейросети), то почему такой человеко-центризм под конец статьи.
    Ответить
    • renderator > caricatura | 06.03.2015 | 14:00 Ответить
      Нейросети - приближенный аналог человеческого мозга, они не полностью копируют даже известные науке процессы в нейронах.
      Ответить
  • avn  | 06.10.2009 | 18:35 Ответить
    А как формулировка этой статьи согласуется с формулировкой из Википедии?

    Эта статья:
    "Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:'Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A'. Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения 'предположение 247 недоказуемо', то можно доказать и справедливость утверждения 'предположение 247 доказуемо'."

    Википедия:
    "Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка существует такая замкнутая истинная формула F, что ни F, ни её отрицание \neg F не являются выводимыми в этой теории."

    Это что, одно и то же на двух разных языках? Можно ли перевести с одного языка на другой?
    Ответить
    • a_b > avn | 03.01.2010 | 21:28 Ответить
      "А как формулировка этой статьи согласуется с формулировкой из Википедии?"
      Так же, как заметка в газете соотносится со статьей в научно-популярном журнале.
      Ответить
    • pbereg > avn | 10.07.2012 | 16:12 Ответить
      В Википедии очередная ахинея:
      предположение 247 недоказуемо = предположение 2+2 в десятичной системе может равняться 5 недоказуемо
      Это МОЖНО доказать.
      Википедия утверждает, что Гёдель попросту доказал, что можно доказать и справедливость утверждения 2+2=5 в десятичной системе счисления
      Ответить
      • Worldowner > pbereg | 11.06.2016 | 09:11 Ответить
        ну вообще-то теория тёмной энергии открыто и однозначно говорит, что 2+2>4, так что 2+2=5 является одним из вероятных ответов.
        Ответить
  • yuri_merie  | 14.12.2009 | 12:32 Ответить
    Добрый день, господа. Позвольте вам, столь уважаемым математикам, задать лишь один вопрос. Если знакосочетание A означает - предположение 247 недоказуемо, то почему вы все считаете, что знакосочетание не A - означает предположение 247 НЕ(недоказуемо)?
    Почему отрицание касается только третьего слова в знакосочетании?
    Ответить
    • Worldowner > yuri_merie | 11.06.2016 | 09:15 Ответить
      Ну, я честно говоря не знаю ответа, но могу предположить, что отрицание отрицания является утверждением.
      Ответить
  • yuri_merie  | 23.12.2009 | 16:27 Ответить
    P.S. А вообще теорема Геделя имеет следующий философский смысл, что конечной системой аксиом невозможно описать существующий мир, что познание бесконечно, потому и существуют высказывания истинность или ложность котрых невозможно доказать в теории с заданным конечным числом аксиом.
    Ответить
  • tokmag@yandex.ru  | 01.08.2010 | 20:29 Ответить
    Не из того же ряда космологические антиномии Канта с четкой постановкой вопроса
    1. Положение: мир имеет начало (границу) во времени и в пространстве; ---- противоположение: ----мир во времени и пространстве бесконечен.
    2. Положение: все в мире состоит из простого (неделимого);-------- противоположение: ------------ нет ничего простого, а все сложно.
    3. Положение: в мире существуют свободные причины;------ противоположение:-------- нет никакой свободы, а все есть природа (т. е. необходимость).
    4. Положение: в ряду мировых причин есть некое необходимое существо; противоположение: в этом ряду нет ничего необходимого, а все случайно.
    Во всех четырех случаях положение и противоположение могут быть доказаны одинаково ясными и неопровержимыми доказательствами.
    Это показывает, что дискурсивное (рассудительное, научное, математическое) мышление не может разрешить вопросы безусловной полноты (трансцендентальные). Вить сказал же старик, что в таких случиах нужно поступать трансцендентально, иманентно а не трасцендентно.
    Я удивляюсь на людей талантливых и гениальных в каких то областях (в науке тоже) стоит им проявлять себя в чем то, так тут же они кидаются распространять это на всю вселенную, на целую вечность.
    Скажем, я в подмётки не гожусь Даламберу, но искренно удивляюсь как он, на всем серьезе, убеждал что как только он определит все массы, все начальные скорости, так тут же разрешит все будущее до бесконечности.
    Ответить
  • маг  | 02.09.2010 | 17:51 Ответить
    У каждого своя версия логики К.Геделя. У меня моя ЛОГИКА. Например, равенство А=А для меня является некорректным, если не указано основание. Допустим, что это основание i: А(i)= A(i), но это не означает, что А(J)=A(J). Если j - это свойство занимать определенной конструкцией положение, например, на листе бумаги, то А(J)=A(J) - это ложное равенство, так как левая конструкция отличается от правой по местоположению. Если я ввожу конвенцию безразличия конструкций из бумаги и составов, что есть в средствах письменности, то только тогда условно А=А при принятии конвенции есть истинное равенство.
    В жизни я нашел только одно средство письменности (книгу - конструкцию из бумаги и типографских составов, нанесенных на нее), автор которой, если перевели его верно, заметил:"Правильнее спрашивать:"Что должны делать ученые?", а не "Что должна делать данная отрасль науки?" (Elliot Aronson). Спасибо ему. Я уж думал, что так и не доживу до здравомыслия ученых мужей. ДАЖЕ ТЕ, кто декларируют, что они не дебилы и прекрасно знают, что теории не действуют, после деклараций шлепают обратное.
    Спасибо за внимание.
    Ответить
    • маг > маг | 03.09.2010 | 07:17 Ответить
      В предыдущем сообщении допущено: вместо J-клавиши нажата j-клавиша. Вместо J пользователь испытывает видение j.
      Ответить
    • OWL07 > маг | 15.04.2011 | 00:17 Ответить
      Пожалуйста. Но у Вас логическая проблема: "j - это свойство занимать определенной конструкцией положение, например, на листе бумаги". Вы написали, что j - это СВОЙСТВО ЗАНИМАТЬ ПОЛОЖЕНИЕ, (способность?). А в своем равенстве Вы сравниваете не свойство, а само ПОЛОЖЕНИЕ. И два разных положения обозначаете одной и той же буквой, которая у Вас вообще то означает ОДНО и ТОЖЕ СВОЙСТВО ЗАНИМАТЬ ПОЛОЖЕНИЕ! Таким образом, либо у Вас A(J)=A(J) все истинно, если J - это свойство (а оно может быть одинаковым у объектов занимающих разное положение),либо Вы ввели логически противоречивую систему обозначений, дав разным местоположениям одинаковое обозначение.
      Ответить
      • Aks1 > OWL07 | 04.06.2011 | 00:34 Ответить
        Если некоторого человека (назовем его Александр, для краткости А) в двух разных положения в пространстве (например, утром он спит дома, а днем сидит на работе), то по сути это один и тот же человек А = (сравнение по сущности) А.
        Но если мы будем сравнивать местоположение этого человека, то получим, что А !=(по местоположению) А. Проблема с этой записью в том, что первое "А" не отличается от второго, т.к. не указывает на местоположение, например, координаты.
        Но если мы примем, как указано выше, сравнение по местоположение на бумаге, то мы можем записать А != А, т.е. первое "А" и второе "А" стоят на бумаге в разных местах, хотя как символ они равны и А = А.

        Вообще это частный пример взаимодействия единства и противоположности. Если слон (С) - это животное (Ж), то С = Ж, но слон - это не только животное, поэтому С != Ж.
        Ответить
        • a_b > Aks1 | 12.09.2012 | 14:48 Ответить
          Милое дело, ввести путаницу в обозначениях, а потом делать любые выводы. Два разных отношения (по сущности и по местоположению) обозначены одинаковым знаком "=". Не столько А != А, сколько = != = .
          Математики не дураки, для них C != Ж, а
          С Є Ж
          Ответить
    • kabanprofil1@maii.ru > маг | 28.12.2012 | 17:21 Ответить
      Молодой человек а вы не могли по поюробней высказать свою точку зрения безумно интересно
      Ответить
  • sergeyabramkin  | 11.09.2011 | 02:17 Ответить
    Чем долее наука отмечает
    познания успехи сумасшедшие,
    тем более колеблясь отвечает,
    куда от нас ушли уже ушедшие.

    Думаю не изучая Геделя писАл Губерман (касательно следствия теоремы о жизни после жизни :))
    Ответить
  • pauzhas  | 09.11.2011 | 14:01 Ответить
    Ну объясните мне, чем неполна евклидова геометрия на плоскости (примем 5 постулатов за аксиомы)?
    Или она недостаточна сложна?
    Ответить
  • Vladimir_V  | 09.07.2012 | 15:28 Ответить
    Пенроуз, если быть более точным не "показал", а сделал попытку показать. Он выдвинул гипотезу о том, что мышление мозга отличается от мышления компьютера теми же фундаментальными свойствами, что определяют вероятностный характер квантовой механики. Возможно, он прав. Гипотеза весьма интересна. Однако доказать ему это не удалось.
    Ответить
    • renderator > Vladimir_V | 06.03.2015 | 15:38 Ответить
      Пенроуз признался что ошибся.
      Ответить
  • xaxoxy  | 01.02.2013 | 18:21 Ответить
    После этой статьи сайт для меня стал менее авторитетным. Полный абсурд.
    Ответить
    • geros > xaxoxy | 06.11.2013 | 15:48 Ответить
      Обидно за Вас, вторая теорема Гёделя - это пик человеческой мысли 20 века, более высокий, чем ТО Эйнштейна.
      Ответить
  • dim1r  | 22.07.2014 | 23:50 Ответить
    Если логика запутывается, то решение находится в другой плоскости. Посмотрите теорию метасистемных переходов Турчина. Может полегче станет.
    Ответить
    • GomerX > dim1r | 04.02.2015 | 16:17 Ответить
      Зачем так всё усложнять нагромождением новых теорий? По сути, т.Геделя это записанный на языке математического формализма древний "парадокс Лжеца": Критянин Эпименид утверждал, что все критяне лжецы.
      Вики говорит, что поскольку утверждение в формальной логике не доказуемо, то вообще не является логическим утверждением. С последним я не согласен - это утверждение является логическим, но внутренне противоречивым. Утверждение можно формализовать в определенной системе аксиом, где любое утверждение или TRUE или FALSE, но доказать или опровергнуть в рамках этой системы нельзя. В этом и парадокс. Т.е. для решения, необходимо расширять систему, например вводить новый вид истины TRULSE, что будет аналогом введения комплексных чисел в систему счета, как уже приводилось на примере выше.
      Ответить
      • dim1r > GomerX | 04.02.2015 | 23:58 Ответить
        Парадокс лжеца - еще один пример как математика сходит с ума от слишком больших обощений. :)) По сути это уже выход на другой уровень описания, который математика не вмещает. Невпихуемое на этом уровне, как говорится.
        Ответить
      • renderator > GomerX | 06.03.2015 | 15:47 Ответить
        Здесь нет никакого парадокса, а допущена простая ошибка в рассуждениях.
        Если критянин Эпименид - лжец, то из этого не следует, что все критяне - лжецы, а следует, что не все.
        Ответить
        • auto_didact > renderator | 21.03.2017 | 12:39 Ответить
          GomerX ошибся в авторстве и формулировке парадокса Лжеца. Не критянин Эпименид, а современник Аристотеля Евбулид для опровержения логики сказал: "Я лгу" и предложил адептам Аристотеля определить: истинно или ложно его высказывание. По сути, Евбулид показал (или даже доказал) неполноту Аристотелевой логики. Я изучал доказательство теоремы Геделя, в нем действительно применен парадокс Лжеца.

          В ХХ веке еще до 1931 года были попытки расширить Аристотелеву логику. В основном этим занимались польские математики. Логик с тремя значениями истинности можно построить несколько тысяч. Наиболее интересная и исследованная логика Лукасевича, но парадокс Лжеца и в ней является парадоксом. Он перестает быть парадоксом в логике Бочвара, основной особенностью которой является то, что третье зачение (не Истина и не Ложь) служит аннулятором для всех логических операций. Обозначив это значение через Ничто, можно утверждать, что любое логическое выражение, в котором присутствует Ничто, имеет значение Ничто.

          Например, если А есть Ничто, то неА тоже Ничто. Истина или Ничто равно Ничто (хотя в логике Лукасевича Истина или (любое зачение) равно истине, то есть Истина назначена аннулятором для дизъюнкции, как и в логике Аристотеля).

          Аналогично, в логике Бочвара Ложь и Ничто равно Ничто (в логиках Аристотеля и Лукасевича Ложь и Ничто = Ложь, то есть аннулятором для конъюнкции назначена Ложь).

          Логика Бочвара более тривиальна, чем логика Лукасевича, но именно она принята в современных СУБД (системах управления базами данных), использующих язык SQL (Structured Query Language). Логическое значение Ничто обозначается как NULL. Для перехода к Аристотелевой логике приходится применять функцию Isnull(x,a), где х-произвольное выражение, а-константа(литерал). Если х-логическое выражение, то а может принимать только значения Истина или Ложь.
          Ответить
  • Marusja  | 01.03.2015 | 15:55 Ответить
    Пример лжеца не совсем подходящий. Нужно дополнительно определить: лжец - это тот, кто может говорить неправду или тот, кто не может говорить правду?
    А в конечном итоге все вышеизложенные дискуссии только доказывают, что либо исходные посылки комментаторов противоречивы, либо неполны. Как-то так!
    Ответить
    • renderator > Marusja | 06.03.2015 | 15:50 Ответить
      Обычно под лжецом в логических задачах подразумевается, что лжец это тот, кто всегда лжёт.
      Ответить
      • Worldowner > renderator | 11.06.2016 | 09:52 Ответить
        в таком случае, возможно Крит = зона отрицательной логики, таким образом, критянин Эпименид сказал, что все критяне кристально честны, но на другом языке.

        а вообще-то, такое определение лжеца прямо противоречит обьективной реальности, так что если кто-то захотел бы доказать, что если не математика, то как минимум формальная логика не имеет к ней никакого отношения - он мог бы начать именно с этого понятия.
        Ответить
  • Лев Калмыков  | 08.06.2015 | 17:12 Ответить
    Аксиоматический метод - базовый метод в науке.
    Мы всегда исходим из каких-то предпосылок.
    Проблема - откуда брать адекватные предпосылки-аксиомы и когда нужно остановиться.
    Ответить
  • vorehov  | 29.10.2015 | 00:01 Ответить
    Аксиоматический метод хорош в математике, но вовсе не обязательно, чтобы система аксиом описывала реальные физические процессы
    Попытка доказать, что квантовые процессы решают вопрос неполноты некой системы аксиом, определяющей работу мозга выглядит достаточно натянутой.
    Минимум есть еще теория сложности, которая также вводит непредсказуемость
    в поведение физических систем, причем не в микроразмерах, а в реальных масштабах
    Ответить
Написать комментарий

1931
Теорема Гёделя о неполноте
Элементы

© 2005-2017 «Элементы»