Элементы Элементы большой науки

Поставить закладку

Напишите нам

Карта сайта

Содержание
Энциклопедия
Введение
Физика
Астрономия
Математика
Химия
Науки о жизни
Науки о Земле
Разное
Взгляд в прошлое
Биографии
Новости науки
LHC
Картинка дня
Библиотека
Видеотека
Книжный клуб
Задачи
Масштабы: времена
Детские вопросы
Плакаты
Научный календарь
Наука и право
ЖОБ
Наука в Рунете

Поиск

Подпишитесь на «Элементы»



ВКонтакте
в Твиттере
в Фейсбуке
на Youtube
в Instagram



Новости науки

 
08.12
Европейская мышь и рыжая полевка не обмениваются блохами

07.12
Мальки рыб в океане держатся родственными стайками

05.12
Хищные бактерии помогают иммунной системе справиться с инфекцией

01.12
Иммунный статус макак зависит от социального

29.11
Муравьи способны узнавать себя в зеркале

28.11
У собак есть эпизодическая память






Главная / Энциклопедия / Математика / Теорема Гёделя о неполноте версия для печати

Теорема Гёделя о неполноте



Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.




1931 Теорема Гёделя о неполноте

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой,или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?


Комментарии (41)  


‹‹ Назад | Дальше ››

Курт ГЁДЕЛЬ (Kurt Gödel)
Курт ГЁДЕЛЬ
Kurt Gödel, 1906–78

Австрийский, затем американский математик. Родился в г. Брюнн (Brünn, ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался преподавателем кафедры математики (с 1930 года — профессором). В 1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. Будучи человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни. В 1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился. В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить.

при поддержке фонда Дмитрия Зимина - Династия