Задача о мятом рубле

Решение и ответ зависят от того, как понимать условие.

Вариант понимания 1. Каждый раз плоскую фигуру просто складывают вдоль какой-нибудь прямой, как на рис. 1. Докажите, что при таких операциях периметр не может увеличиться.

Рис. 1. Простая складка: каждый раз имеющуюся фигуру складывают вдоль прямой

Вариант понимания 2. Можно складывать как угодно, лишь бы в результате получилась плоская фигура — как на рис. 2. Кстати, поймите, почему фигуру на рис. 2 нельзя сложить последовательными прямыми складками, которыми можно пользоваться в первом варианте. При таком понимании задачи сложить лист в фигуру с большим периметром можно, хотя это и кажется невероятным (здесь у любителей оригами есть преимущество).

Рис. 2. Сложная складка

Эта подсказка относится ко второму варианту понимания условия. Я привожу тут намек, как сложить лист в фигуру с периметром больше, чем у исходного листа бумаги.

Начнем с квадратного листа бумаги. Соберем то, что оригамисты называют базовой формой «Птица» (рис. 3). Это основа для классической японской модели оригами — бумажного журавлика. Журавлика мы делать, однако, не будем — для желающих этому научиться есть достаточно информации в интернете. Действия, необходимые для сборки модели с рис. 3, описаны в отдельном файле.

Рис. 3. Базовая форма «Птица»

Обратите внимание на важные свойства получившейся «штучки»: у нее есть «спина» и четыре достаточно длинных «отростка» (из этих отростков получились бы два крыла, голова и хвост журавлика, если бы мы продолжили заниматься оригами, вместо того чтобы решать задачу). Если растопырить эти отростки во все стороны, то хочется получить модель с большим периметром. Однако тут есть проблема: отростки при попытке отогнуть их в разные стороны слишком сильно друг друга перекрывают, и в итоге периметр фигуры получается существенно меньше, чем хотелось бы.

Подумайте, как сделать так, чтобы отростки (и спинка) стали тоньше.

Сначала разберемся с той формулировкой, в которой можно складывать как угодно.

В этом файле показано, как нужно видоизменить отростки журавлика (из Подсказки 2), чтобы они не потеряли в длине, но стали более узкими. Эта процедура не очень простая и сразу может не получиться, если у вас раньше не было опыта складывания бумаги. Однако попробуйте.

Рис. 4. «Худая» фигурка, периметр которой после расплющивания будет больше периметра исходного квадрата

Пусть а — сторона исходного квадрата (рис. 4). Соберем фигуру с очень тонкими отростками, тогда после отгибания они не сильно теряют в длине за счет наложения. Каждый из отростков вносит в итоговый периметр вклад примерно a/2 каждой из своих двух сторон (см. рис. 4). Причем это число тем ближе к a/2, чем тоньше отростки. В пределе мы получим ровно a от каждого отростка. Но еще в периметр вносит вклад то, что было «спинкой» журавлика. Таким образом, периметр полученной фигуры можно сделать сколь угодно близким к некоторому числу, которое точно больше, чем 4а. То, что надо!

Хотя это и не важно для решения, можно посчитать вклад «спинки». С каждой стороны «спинка» вносит вклад R. Эту величину посчитаем, глядя на развертку модели. На рисунке показаны области бумаги, из которых получаются отростки и спинка. На спинку уходит центральный кружок; он имеет радиус . Это и есть длина одной из сторон спинки в итоговой модели.

Теперь докажем для полноты картины, что, пользуясь лишь простыми складками, нельзя увеличить периметр. То есть разберем первый вариант понимания формулировки задачи. Покажем, что простое складывание бумажного многоугольника вдоль произвольной прямой не может увеличить периметр бумажной фигуры. Некоторая техническая «мелочь» будет пропущена, чтобы проверить бдительность читателя.

Рис. 5. После простого складывания периметр не может увеличиться

Посмотрим на рисунок 5. До складывания периметр — это сумма двух величин: длины оранжевой ломаной A и длины коричневой ломаной B. После складывания мы получаем два частично накладывающихся многоугольника X и Y. Складка имеет длину C. Посмотрим на ту часть границ многоугольников X и Y, которая не лежит на складке (на рис. 5 — левая нижняя картинка). Суммарная длина этих границ равна A + B. Пусть D — длина той части границы объединения X ∪ Y, которая не проходит по складке, а E — длина той части границы пересечения X ∩ Y, которая не проходит по складке. Тогда D + E = A + B.

Покажем, что E > C. Действительно, пересечение X ∩ Y — это многоугольник, поэтому его граница — это замкнутая ломаная, или набор замкнутых ломаных. Значит, найдется путь от точки u к точке v, проходящий по синему контуру. Длина этого пути уж точно не меньше, чем расстояние от u до v по прямой, то есть C. Значит длина E всего синего контура тоже не меньше, чем C.

Осталось заметить, что периметр полученной после складывания фигуры равен C + D. Согласно предыдущему абзацу, это число не превосходит E + D. Но E + D = A + B, а это и есть периметр исходного многоугольника.

Эта задача имеет давнюю и интересную историю. Впервые ее, как считается, предложил Владимир Арнольд в 1956 году (и ее можно найти под номером 1 в книге «Задачи Арнольда», М: Фазис, 2000). Название задачи — «Задача о мятом рубле» — обусловлено тем, что рубль в то время был бумажным.

На западе задача также известна как «задача о салфетке Маргулиса» или просто как «задача о складывании салфетки» (Napkin folding problem). По-видимому, первое «решение» задачи предложил американский оригамист Роберт Лэнг (см. Robert J. Lang, а также личный сайт Лэнга), собрав в 1987 году фигурку морского ежа, которая, по сути, дает решение. Немного упрощенную идею решения он описал в 2003 году в книге «Origami design secrets» (к сожалению, пока не переведенной на русский язык). В этой книге он развивает идею разработки моделей оригами при помощи метода оптимальной упаковки кругов. Построение морского ежа можно описать при помощи диаграммы кругов подобно тому, как мы это сделали для тонкого журавлика (рис. 4).

Удивительно, но оказывается, периметр сложенной фигуры можно сделать не просто больше чем периметр исходного листа. Можно сделать его сколь угодно большим. Идея такого построения в том, чтобы повторить конструкцию «тонкого журавлика», описанную выше, много раз вдоль всего листа бумаги, по горизонтали и вертикали. Как раз так и получается морской еж Лэнга. Это позволяет получить сколь угодно много тонких отростков. Нужно только убедиться, что суммарная длина отростков может быть сделана сколь угодно большой.

В построениях Лэнга, однако, было несколько неясных с математической точки зрения моментов. Дело в том, что бумага, как ее понимают оригамисты, отличается от идеальной математической бумаги несколькими параметрами. Самое главное отличие в том, что оригамисты при сборке моделей иногда немного растягивают или сжимают бумагу, а для математической бумаги это запрещено. Математик не поверит в существование фигуры большего периметра, даже если будет держать ее в руках: а вдруг при ее сборке была допущена недопустимая операция? Впрочем, другое отличие бумаги настоящей от математической скорее играет на руку математикам: идеальная бумага не имеет толщины, а, значит, можно накладывать сколько угодно слоев бумаги друг на друга, и гнуть полученный «сэндвич», не боясь, что он порвется или растреплется. Только делать это приходится исключительно в уме. Если вы попробуете сделать очень тонкие отростки, как на рис. 4, — не удивляйтесь, если они получатся потрепанными и некрасивыми.

В 1998 году вышла статья И. Ященко «Make your dollar bigger now!!!» (doi:10.1007/BF03025296), в которой приводится четкое и понятное построение, позволяющее сделать периметр больше, чем у исходного прямоугольника, однако всё же не сколь угодно большим.

Математически строгое доказательство того, что периметр можно сделать сколь угодно большим (а заодно и строгая формулировка задачи), было предложено Алексеем Тарасовым в статье Решение задачи Арнольда о «мятом рубле». Он не знал ни про журавлика, ни про морского ежа, а придумал оригинальную конструкцию, которая получила впоследствии имя «расческа Тарасова».

Идею доказательства, использующую журавлика, я взял из понятной и чрезвычайно наглядной статьи А. Петрунина. Там же вы можете найти детали приведенных здесь рассуждений, подробный исторический обзор, а также решение другой интересной задачи «бумажной геометрии»: можно ли сложить лист бумаги таким образом, чтобы периметр увеличился и результат был выпуклым многоугольником?

Советую также зайти на сайт Математических Этюдов, где наша задача подробно разобрана. Там есть много картинок, в том числе иллюстрирующих построение расчески Тарасова.

Остались тут и нерешенные задачи. Например, до сих пор неизвестно (насколько я знаю), можно ли увеличить периметр, делая лишь «полупростые» складки, как показано на рис. 6: сгибая не вдоль всей прямой, а только вдоль одного отрезка.

Рис. 6. Полупростая складка