Что перевесит?

Подсказка в этих задачах — это уже почти ответ. Поэтому дадим только три осторожных намека:
(1) при усреднении по времени весы чувствуют весь объект на чашке целиком, а не отдельные его части,
(2) помни об Архимеде!
(3) помни о Ньютоне!

1. В первой задаче обратим внимание на положение центра масс всей системы прыгающих шариков. Раз шарики отскакивают абсолютно упруго, то они всегда подпрыгивают на одну высоту. Прыжки вверх-вниз всех шариков происходят не синхронно, а хаотично, поэтому их общий центр масс практически не прыгает, а держится на некоторой высоте. Сама эта высота не важна (впрочем, упомянем, что она составляет 2/3 от максимальной высоты); главное, что центр масс неподвижен. Поэтому если рассмотреть всю совокупность шариков как общую единую систему, лежащую внутри контейнера, то эта система лежит там неподвижно — несмотря на то, что внутри нее происходит некоторое движение. На эту систему действует сила тяжести и сила реакции со стороны дна контейнера; раз центр масс покоится, значит эти силы равны по модулю. Получается, что контейнер с прыгающими шариками в среднем весит столько же, столько контейнер с неподвижными шариками. Весы будут в равновесии.

2. Во второй задаче снова используем тот же подход. Хоть висящая в воздухе стрекоза не касается непосредственно стенок, она держится за счет отталкивания воздуха вниз своими крыльями. Центр масс стрекозы неподвижен, поэтому эта сила отталкивания компенсирует действующую на нее силу тяжести.

Но раз воздух поддерживает стрекозу с некоторой силой, то значит и стрекоза давит на весь воздух в целом с той же силой, но только направленной вниз. Это третий закон Ньютона — сила действия равна силе противодействия, но только они направлены в противоположные стороны. Просто обычно этот закон применяют к твердым телам, но он годится и для «опоры о воздух». А раз центр масс воздуха в закрытом контейнере тоже неподвижен, то эта сила передается дальше на дно контейнера. Такие образом, наличие зависшей в воздухе стрекозы приводит к дополнительной силе давления на весы, равной весу самой стрекозы. Поэтому и здесь весы будут показывать равновесие.

Еще раз подчеркнем: для задачи взвешивания «внутренняя жизнь» составной системы не важна, как бы богата она ни была. Главное — это какие силы на нее действуют в целом и как движется центр масс этой системы. Если центр масс неподвижен, а снаружи никто на систему не давит, то сила давления на чашку весов будет равна силе тяжести. Условия задачи гарантируют, что центр масс системы «контейнер + воздух + стрекоза» неподвижен, поэтому для взвешивания важна только масса этой системы. А уж как там стрекоза держится в воздухе — дело десятое.

3. Переходим к третьей задаче, которая, собственно, и обсуждалась в интернете. На левой чашке весов контейнер с водой и привязанным шариком. Эти подробности отражают лишь внутреннее устройство этой системы, задачи взвешивания они не касаются. Эта система неподвижна, никаких внешних сил, помимо гравитации и сил реакции опоры, на нее не действует, поэтому она давит на весы просто со своей силой тяжести. Так что легкий шарик здесь присутствует только для отвлечения.

В правой части есть особенность — дополнительные (по сравнению с левой чашкой) внешние силы. Это, прежде всего, дополнительная сила тяжести, действующая на тяжелый шарик, а также некая сила подвеса. Эти две дополнительные силы тянут всю систему «контейнер + вода + тяжелый шарик» в разные стороны: сила тяжести вниз, сила подвеса вверх. Но компенсируют ли они друг друга?

Рис. 2. Силы, обеспечивающие равновесие тяжелого шарика в задаче 3. Силы, показанные красным, являются внешними для всей системы «контейнер + вода + тяжелый шарик»; именно они важны для расчета показаний весов

Это можно выяснить из условий равновесия, записанных отдельно для шарика (ведь он тоже покоится!), см. рис. 2. Вниз его тянет сила тяжести mg, вверх — сила Архимеда F_A, а также сила подвеса на нити F_подвес, которая отсюда получается равной mg − F_A. Внешний подвес хоть и тянет вверх контейнер с водой и шариком, но не полностью компенсирует силу тяжести шарика. Поэтому совокупный эффект от двух дополнительных внешних сил, действующих на правую чашку, есть сила, давящая вниз и равная mg − F_подвес = F_A.

Итак, не только вода выталкивает шарик с силой Архимеда, но — по третьему закону Ньютона — и шарик опирается на воду, а значит, он давит на весы вниз с той же силой. В этой задаче правая чашка весов перевесит.

Еще раз подчеркнем: тяжелый шарик не висит на нити просто так, в отрыве от контейнера с водой. За счет силы Архимеда он механически сцеплен с контейнером — ровно так же, как стрекоза была механически сцеплена с закрытым контейнером. Поэтому их можно рассматривать как единую систему, в которой силы передаются от одной части к другой, а значит, часть силы тяжести шарика передается и на весы.

4. Четвертая задача представляет собой лишь вариацию третьей. Здесь выталкивающая сила Архимеда такая же, но сила тяжести намного меньше (шарик легче воды), поэтому сила реакции со стороны опоры тоже тянет шарик вниз. Получается, обе внешние силы действуют на систему «контейнер + вода + шарик» вниз и их сумма равна той же силе Архимеда. Они сообща давят на весы, поэтому и здесь правая чашка весов перевесит.

Из этих задач можно вынести несколько простых, но полезных уроков на будущее.

Во-первых, детальный разбор системы на отдельно движущиеся кусочки не всегда полезен. Например, в самой первой задаче можно легко сосчитать скорость каждого шарика перед ударом о дно, изменение его импульса в процессе удара и время между последовательными ударами. Тогда, поделив изменение импульса на время полета, можно найти среднюю силу от одного шарика и убедиться, что она равна mg. Но уже в чуть более продвинутой задаче это вычисление быстро усложняется. Например, вы можете считать, что удар шариков не абсолютно упругий и что скорость отскока составляет 0,999 от скорости перед ударом. Как тогда изменятся показания весов? Вычисления в лоб станут намного более громоздкими и неудобными. Зато метод слежения за центром масс, описанный тут, по-прежнему будет простым и быстро даст ответ.

Еще сложнее дело обстоит во второй задаче. В принципе, можно попытаться явно описать, хотя бы в рамках какого-то предположения, движение потоков воздуха под крыльями и вблизи стенок (причем всех стенок, а не только пола). Но этот безумно сложный расчет тут просто и не нужен: если все процессы воздушных течений в среднем стационарны, то суммарная сила давления на дно легко находится из законов механики.

Во-вторых, не надо забывать, что механические законы применимы не только к твердым телам, но и к жидкости и газу. Они, конечно, подвижны, они не держат форму под искривляющим давлением. Но, по крайней мере, они обеспечивают механический контакт между погруженным телом и стенками сосуда. И, когда надо, через этот механический контакт может передаваться механическое усилие.

Кроме того, к жидкостям и газам можно тоже применять законы Ньютона — как бы непривычно это ни казалось на первый взгляд. Вода выталкивает тело с силой Архимеда. И это значит, по третьему закону Ньютона, что и тело давит на воду с той же силой. Ну а если тело активно барахтается в толще воды и пытается тем самым предотвратить дальнейшее погружение, то оно давит на воду уже всей своей силой тяжести.

В-третьих, снова напомним важное правило механики: если мы интересуемся системой в целом, то неважно, какие там действуют внутренние силы (вспомним про барона Мюнхаузена, который тянул себя за волосы из болота). Главное, это как движется общий центр масс и какие внешние силы действуют на систему. Однако, как показывают задачи 3 и 4, иногда для расчета внешних сил может потребоваться заглянуть и внутрь системы.

Ну и наконец, надо добавить, что задача 3 — это чуть усложненная версия знаменитого метода Архимеда по определению средней плотности тела, метода, от которого, по легенде, и пошло восклицание «Эврика!». Представьте себе, что в роли подвеса в задаче 3 выступаем мы сами. Мы удерживаем шарик на ниточке, прикрепленной к ручным весам, причем эти ручные весы показывают силу F_подвес. Тогда, произведя измерения в воздухе и в воде, мы вычтем одно из другого и получим выталкивающую силу Архимеда. Отсюда мы находим объем тела, а затем и его среднюю плотность.