Круги на воде

Условие задачи, сформулированное таким безапелляционным образом, означает, что вначале надо объяснить, почему расширение вообще будет ускоренным, затем доказать, что ускорение будет более-менее постоянным, а уж потом — оценить его величину. Причем самый последний шаг можно, в некотором приближении, сделать сразу — ведь если в задаче не даны параметры волн, это значит, что требуемое ускорение должно выражаться только через универсальные величины, имеющие отношение к задаче.

Мы привыкли, что волны движутся с какой-то скоростью, а не ускорением; не зря же существует скорость света, скорость звука, скорость сейсмических волн, и т. д. Однако в определенных ситуациях волны могут замедляться или ускоряться. Например, цунами движется в открытом океане с огромной скоростью, но выходя на шельф, а потом — на берег, оно резко сбрасывает скорость и вспучивается. Таким образом, вначале надо разобраться, от чего вообще зависит скорость волн в этой задаче.

Вообще говоря, волны на поверхности воды, несмотря на всю свою обыденность, — это один из самых сложных типов волн. Характер волны и силы, за счет которых выведенная из равновесия вода стремится вернуться в исходное положение, зависят прежде всего от длины волны. Если она не превышает сантиметра, то главную роль в распространении волнения играют силы поверхностного натяжения (капиллярные волны). Если же длина волны составляет десяток сантиметров и больше, на первый план выходит сила тяжести; речь тогда идет о гравитационных волнах на воде (не путать с другими гравитационными волнами — искажениями пространства-времени!). В этом случае еще следует различать гравитационные волны на мелкой воде (если длина волны намного больше глубины водоема) и на глубокой воде. Цунами в открытом океане, как ни странно это звучит, относится к волнам на мелкой воде.

Таким образом, надо понять, какой тип волн порождает камень, брошенный в озеро, найти выражение для скорости волны и понять, как отсюда вывести ускоряющееся расширение зоны волнения.

Правильная формула для скорости волн в этой задаче будет содержать длину волны. Самые первые волны, образовавшиеся от всплеска, имеют длину волны порядка размера камня (то есть несколько сантиметров). Однако этот всплеск не может отвечать только одной длине волны, поскольку такая волна была бы строго периодической, а значит, неограниченной в пространстве. Первоначальный всплеск — это на самом деле наложение сразу бесконечного количества волновых компонентов со всеми длинами волн (это утверждение — то же самое, что и спектральное разложение звуковой волны или радиосигнала). Будучи порожденными упавшим в озеро камнем, эти волны дальше начинают изменяться по своим гидродинамическим законам, какие-то волны быстрее, а какие-то — медленнее.

Пусть с момента падения камня прошло время t. Найдите, какие волны успели «включиться» в эволюцию за это время и какой они занимают размер.

Камень, брошенный в озеро, порождает гравитационные волны на глубокой воде. Если длина волны равна λ, то период колебания и (фазовая) скорость такой волны имеют вид

где g — ускорение свободного падения. Видно, что чем больше длина волны, тем быстрее волна бежит, но и тем медленнее она эволюционирует во времени.

Первоначальный всплеск — это набор всевозможных волн с любыми λ. Просто волны с λ много больше размера камня накладываются друг на друга в противофазе, причем так точно, что они полностью компенсируют друг друга вдали от камня. Однако с течением времени эти волны начинают эволюционировать и постепенно выходят из режима строгой компенсации. Для установления внешней границы зоны волнения нам надо следить за самыми быстрыми волнами, которые «включились» в эволюцию.

Если с момента падения камня прошло время t, то за это время существенно изменились волны с периодом порядка T ~ t. Зона волнения должна вмещать по крайней мере одну длину такой волны. Отсюда находим примерное выражение для радиуса зоны волнения:

Квадратичная зависимость от времени — признак равноускоренного движения. Ускорение при этом получается примерно

Это, разумеется, только оценка по порядку величины: самое большое, что мы можем сказать, это что ускорение пропорционально g и, по-видимому, меньше его в несколько раз.

В принципе, тот факт, что круги на воде расширяются не равномерно, а с ускорением, можно увидеть и невооруженным глазом. Однако наблюдая за ними, надо помнить несколько вещей.

• Это должны действительно быть гравитационные волны на глубокой воде: то есть размер камня должен составлять несколько сантиметров, а размер водоема — как минимум несколько метров. Капля, упавшая в чашку с водой, породит волны совсем иного сорта и поведения.
• Надо следить не за каким-то определенным гребнем, а за фронтом волнения в целом. С течением времени колебания на периферии зоны будут становиться всё более длинноволновыми; именно за счет них зона волнения расширяется ускоренно. Однако они будут иметь всё меньшую и меньшую амплитуду, что делает наблюдение еще более трудным.
• Для того чтобы заметить длинноволновые и низкоамплитудные колебания, нужно, чтобы исходная поверхность воды была как можно более гладкой; даже небольшое волнение на море скроет этот эффект.

Отметим в заключение еще пару моментов. Во-первых, зависимость скорости от длины волны приводит и к другим красивым волновым явлениям. Например, характерный волновой след от судна, движущегося по ровной глади воды (так называемые корабельные волны), тоже возникает из-за этой зависимости.

Во-вторых, при решении задачи мы считали, что волны с разными длинами не мешают друг другу, а просто накладываются, словно световые лучи разного цвета. На самом деле это предположение (принцип суперпозиции) имеет ограниченную область применения, поскольку волны на воде — нелинейные. Это означает, что спектральное разложение тоже постепенно изменяется с течением времени. Более того, монохроматическая волна на воде неустойчива: даже если начать с чисто периодического колебания с одной длиной волны, то в нем постепенно будет нарушаться порядок и начнут возникать волны разной высоты и длины. Для кратковременных процессов это явление несущественно. Но если речь идет, например, про долговременную эволюцию волнения на море, то без учета нелинейности не обойтись. Не исключено, что знаменитые волны-убийцы тоже возникают из-за этого эффекта (см. интересный рассказ Владимира Захарова об экстремальных волнах).