Парадокс звуковой волны
Из повседневной жизни известно, что звук хорошо (то есть без заметного искажения) передается по воздуху. Если бы мы могли создать плоскую звуковую волну в однородной газовой среде и исключить все посторонние факторы, искажающие распространение звука (предметы, ветер, турбулентность атмосферы и т. д.), было бы естественно ожидать, что звуковая волна так и будет распространяться вперед без искажения профиля. В конце концов, при описании волновых явлений именно звук часто приводится в качестве простейшего «стандарта» волны.
Однако эти основанные на повседневном опыте ожидания наталкиваются на следующий парадокс. В плоской звуковой волне имеются чередующиеся области сгущения и разрежения газа, которые зависят как от времени, так и от координаты, вдоль которой распространяется волны (рис. 1, слева). Из-за колебаний плотности в каждой точке пространства существуют небольшие течения газа вперед-назад. Будем считать, что звук при таком свободном распространении не искажается, то есть профиль звукового колебания не меняется со временем.
Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся со скоростью звука (рис. 1, справа). В этой системе существует встречный поток газа с небольшими модуляциями, но звуковая волна в этой системе отсчета неподвижна. Значит, давление P, плотность ρ и скорость течения газа v в этой системе отсчета зависят только от координаты, но не от времени (такое течение называется стационарным). Заметим, кроме того, что движение газа одномерно и не зависит от поперечных координат, а значит, вязкость воздуха тут не играет никакой роли (никакие слои газа не трутся друг о друга).
К такому течению применимы два основных закона гидродинамики: стационарное уравнение неразрывности
и уравнение Бернулли
.
Но тогда, выразив скорость из первого уравнения и подставив во второе, можно получить уравнение состояния газа, в котором распространяется звук, то есть связь между давлением и плотностью:
,
где величины P0 и a — некоторые константы. Однако неизвестно ни одного вещества с таким уравнением состояния, и уж точно оно не отвечает реальным газам! Более того, можно показать, что вещество с таким уравнением состояния было бы термодинамически неустойчиво.
Задача
Таким образом, теория утверждает, что самая простая звуковая волна, которую только можно себе представить, невозможна в реальных средах, что, казалось бы, находится в противоречии с опытом. Разрешите возникший парадокс.
Подсказка
Во всякой задаче-парадоксе требуется внимательно проанализировать исходные предположения, правильность промежуточных рассуждений и верность интерпретации результата. Если в цепочке рассуждений есть ошибка, ее требуется исправить. Если ошибки нет, а вывод действительно входит в противоречие с реальностью, значит одна из исходных предпосылок была неверной. Тогда требуется понять, какая именно, а также описать, как на самом деле протекает явление при исправлении этого предположения.
Решение
Промежуточные рассуждения в этом парадоксе верны: уравнения неразрывности и Бернулли действительно применимы к такому типу течений, и из них действительно однозначно следует уравнение состояния газа (уточним: уравнение состояния газа, испытывающего именно такое течение). Силу тяжести в уравнении Бернулли учитывать не требуется, так как течение газа горизонтально. Переходить в другую систему отсчета мы тоже имеем право. Поэтому единственным «слабым звеном» оказывается предположение о неизменности формы звуковой волны со временем. Полученный результат задачи можно сформулировать так: звуковая волна с неизменным профилем математически невозможна в реальных средах.
Как же в реальности будет выглядеть движение газа в системе отсчета? Идеальный газ в условиях адиабатического (то есть достаточно быстрого по сравнению с явлениями теплопередачи) сжатия и разрежения имеет степенное уравнение состояния: P ~ ργ, где γ > 1 — показатель адиабаты. Это уравнение состояния несовместимо со стационарными уравнениями неразрывности и Бернулли, приведенными выше. Значит, стационарное течение газа тут невозможно: в сопутствующей системе профиль звуковой волны не может быть постоянным, он будет изменяться с течением времени. Таким образом, при распространении в реальном газе звук неизбежно искажается. Правда, искажаться звук будет тем медленнее, чем меньше громкость звука, поэтому проще всего заметить этот эффект для звука, близкого к теоретическому пределу громкости.
Рис. 2. Схема превращения звуковой волны в набор ударных волн. Исходный профиль волны в сопутствующей системе отсчета (вверху), укрученный профиль волны спустя некоторое время (в центре), профиль волны с возникшими скачками плотности на поздних этапах развития (внизу).
Несколько более сложные расчеты позволяют выяснить, как именно будет искажаться профиль волны. Оказывается, более плотные слои газа будут нагонять менее плотные, поэтому передний профиль волны будет становиться всё более крутым, и волна будет стремиться опрокинуться (рис. 2). Рано или поздно, каждый такой фронт превратится в ударную волну — тонкую прослойку воздуха, при переходе через которую давление и плотность меняются скачком. Итого, звуковая волна превратится в периодический набор (слабых) ударных волн.
Послесловие
Разобранный в этой задаче парадокс называется парадоксом Эрншоу. При этом обычно ссылаются на статью Самуэля Эрншоу 1860 года «К математической теории звука» (S. Earnshaw, Phil. Trans., 150 (1860) 133–148), хотя выводы об опрокидывании звуковых волн, распространяющихся в реальных средах, звучали и раньше, например в статье Стокса 1848 года. Интересно, что ученым тогда потребовалось несколько десятилетий на то, чтобы создать математически корректную теорию ударных волн (ее построение было завершено Гюгонио в 1887 году). Одно из препятствий было даже не физического, а психологического свойства: поначалу никто из математиков и физиков, изучавших звуковые волны, не верил, что решения с разрывами (то есть ударные волны) вообще имеют хоть какое-то отношение к природе. Недавний исторический обзор M. D. Salas, The curious events leading to the theory of shock waves // Shock waves, 16 (2007) 477–487, рассказывает о том, как ученые той эпохи, спотыкаясь, постепенно пришли к современной теории ударных волн.
Стоит отметить, что гидродинамика вообще полна кажущихся «парадоксов», то есть корректных результатов, которые выглядят противоестественными с точки зрения повседневной интуиции. С подробного обсуждения таких гидродинамических парадоксов начинается классический учебник Г. Биркгофа «Гидродинамика». Первые главы этого учебника, как раз посвященные парадоксам, выложены онлайн на сайте hydrodynamics.narod.ru.
-
А мне показалось, что использовать уравнение Бернулли для вывода уравнения состояния неправильно. Давайте рассмотрим более простую ситуацию: никаких волн нет, дует ветер с постоянной скоростью (или наша система отсчета движется в спокойном газе), которая не зависит от времени и координаты. Запишем уравнения непрерывности и Бернулли.
(1) \rho v = Const
(2) \rho v^2/2 + P = Const
Подставляя v из (1) в (2) получаем опять странный результат. Так что дело не в волне.
1) Пишем правильно уравнение Бернулли для СЖИМАЕМОЙ среды с учетом изменения внутренней энергии (температуры) газа
v^2/2+P/\rho+c_vT/\mu=const => v^2/2+c_pT/mu=const
Обращаю внимание на то, что уравнение Бернулли справедливо ТОЛЬКО в сопутствующей СО (где течение стационарно)
2) Выражаем v и T через \rho из уравнений неразрывности и уравнения адиабаты (все константы выписываем явно \rho_0, v_0, T_0 и т.п.).
3) Подставляем в полученное уравнение \rho=\rho_0+\Delta\rho и раскладываем в ряд по \Delta\rho (в линейном приближении).
4) В результате, все константы сократятся и на \Delta\rho получаем
\Delta\rho(\gamma T_0 R/\mu-v_0^2)=0
откуда находим, что звуковая волна распространяется со скоростью звука
v_0^2=\gamma T_0 R/\mu R=\gamma P_0/\rho_0=с^2
Рис. 1. Плоская звуковая волна неизменного профиля, наблюдаемая из неподвижной (слева) и сопутствующей (справа) систем отсчета. В неподвижной системе отсчета в газе имеются локальные течения вперед-назад, однако в среднем газ покоится, а профиль плотности бежит вперед со скоростью звука. В сопутствующей системе, наоборот, профиль звуковой волны неподвижен, зато имеется встречный стационарный поток газа, скорость которого зависит от координаты (но не от времени!)