Замощения

В пунктах а), в), д) можно попытаться составить из одинаковых фигур «полоски», которыми потом легко замостить всю плоскость.

Пункт б): сложите из двух одинаковых четырехугольников шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такими шестиугольниками замостить плоскость уже достаточно просто.

Пункт г): используйте тот факт, что сумма углов при каждой вершине должна быть равна 360°.

В пункте д) можно попробовать действовать и по-другому: немного менять уже имеющиеся фигуры, чтобы получались новые замощения.

Примеры ответов изображены на рисунках.

а): 

Рис. 2

б): 

Рис. 3

в) Подойдет пятиугольник в форме домика:

Рис. 4

г) Такими шестиугольниками плоскость замостить не получится: в «вырезанный» угол просто не влезет полностью никакая часть такого шестиугольника. По клеточкам это хорошо видно:

Рис. 5

Можно придумать еще множество других шестиугольников, которыми нельзя замостить плоскость.

д) Вот пример двенадцатиугольника, которым можно замостить плоскость. Этот способ замощения получен как модификация обычной квадратной решетки (см. рис. 1, ii из условия):

Рис. 6

Задача замощения плоскости одинаковыми фигурками без пробелов и наложений известна с древних времен. Один из ее частных случаев — вопрос о том, какими могут быть паркеты (то есть замощения плоскости правильными многоугольниками, причем не обязательно одинаковыми) и, в частности, правильные паркеты. Правильный паркет обладает таким свойством: при помощи параллельных переносов (сдвигов без вращений), которые переводят паркет в себя, можно совместить заранее выбранный узел с любым другим узлом паркета. На рис. 1 из условия изображены как раз правильные паркеты.

Не слишком сложно доказать, что существует всего 11 различных типов правильных паркетов (см. List of uniform tilings). Доказывается это примерно так же, как мы в условии задачи доказывали, что есть всего три типа паркета из одинаковых правильных многоугольников — градусные меры углов каждого правильного многоугольника известны, нужно лишь подобрать их так, чтобы в сумме получалось 360°, а это делается просто небольшим перебором вариантов. Существует много древних мозаик, в основу которых положены эти паркеты.

Рис. 7. Оставшиеся 8 типов правильных паркетов. Изображение с сайта en.wikipedia.org

Мозаики из глины, камня и стекла (и паркеты из дерева и кафеля) — наиболее известное и понятное применение данной теории в жизни. Многие из нас могут убедиться в этом, зайдя к себе на кухню или в ванную. Будущие дизайнеры специально изучают математические паркеты, ведь они и их вариации часто используются в архитектуре и декоре.

Рис. 8. Геологические образования на мысе Столбчатом (остров Кунашир, большая гряда Курильских островов)

Замощения встречаются и в природе. Кроме всем известных пчелиных сот наиболее яркие примеры — это геологические образования на мысе Столбчатом (остров Кунашир, большая гряда Курильских островов) и «Дорога гигантов» в Северной Ирландии.

Рис. 9. «Дорога гигантов» (Северная Ирландия). Фото с сайта ru.wikipedia.org

Обобщение нашей задачи — замощение пространства — современный важный раздел кристаллографии, играющий важную роль в интегральной оптике и физике лазеров.

Как ни странно, до относительно недавних времен были известны только периодические замощения (которые полностью совмещаются с собой при некотором сдвиге и его повторениях). Однако в 1974 году английский ученый Роджер Пенроуз придумал непериодические мозаики, которые теперь называют в его честь мозаиками Пенроуза. Позднее (в 1984 году) подобные непериодические структуры были открыты в квазикристаллах.

Рис. 10. Слева: Роджер Пенроуз стоит на мозаике Пенроуза. Справа: пример мозаики Пенроуза. Изображения с сайта en.wikipedia.org

На странице Penrose Tilings можно найти много примеров мозаик Пенроуза с подробным описанием всех тонкостей их получения.

Рис. 11. М. К. Эшер, «Рептилии», 1946 (слева) и «Бабочки», 1950

Паркеты и мозаики встречаются и в изобразительном искусстве. Пожалуй, наиболее известны работы голландца М. К. Эшера (M. C. Escher).