Совершенные числа

Собственный делитель натурального числа — это любой делитель, кроме самого этого числа. Если число равно сумме своих собственных делителей, то оно называется совершенным. Так, 6 = 3 + 2 + 1 — это наименьшее из всех совершенных чисел (1 не в счет), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 — это еще одно такое число.

Совершенные числа были известны еще в древности и интересовали ученых во все времена. В «Началах» Евклида доказано, что если простое число имеет вид 2n – 1 (такие числа называют простыми числами Мерсенна), то число 2n–1(2n – 1) — совершенное. А в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.

Задача

Попробуйте доказать эти факты и найти еще пару-тройку совершенных чисел.



Подсказка 1

а) Чтобы доказать утверждение из «Начал» (что если простое число имеет вид 2n – 1, то число 2n–1(2n – 1) — совершенное), удобно рассмотреть сигма-функцию, которая равна сумме всех положительных делителей натурального числа n. Например, σ(3) = 1 + 3 = 4, а σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7. Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна, то есть σ(ab) = σ(a)σ(b); равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). Это свойство можно попытаться доказать или принять на веру.

При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2n–1(2n – 1) сводится к проверке того, что σ(N) = 2N. Для этого пригодится мультипликативность этой функции.

б) Другой путь решения не использует никаких дополнительных конструкций вроде сигма-функции. Он опирается только на определение совершенного числа: нужно выписать все делители числа 2n–1(2n – 1) и найти их сумму. Должно получиться это же число.


Подсказка 2

Доказывать, что любое четное совершенное число — это степень двойки, умноженная на простое число Мерсенна, также удобно с помощью сигма-функции. Пусть N — какое-нибудь четное совершенное число. Тогда σ(N) = 2N. Представим N в виде N = 2k·m, где m — нечетное число. Поэтому σ(N) = σ(2k·m) = σ(2k)σ(m) = (1 + 2 + ... + 2k)σ(m) = (2k+1 – 1)σ(m).

Получается, что 2·2k·m = (2k+1 – 1)σ(m). Значит, 2k+1 – 1 делит произведение 2k+1·m, а поскольку 2k+1 – 1 и 2k+1 взаимно просты, то m должно делиться на 2k+1 – 1. То есть m можно записать в виде m = (2k+1 – 1)·M. Подставив это выражение в предыдущее равенство и сократив на 2k+1 – 1, получим 2k+1·M = σ(m). Теперь до окончания доказательства остается всего один, хотя и не самый очевидный, шаг.


Решение

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

1. Теорема Евклида.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ(pq) = σ(p)σ(q), где p и q — различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ(p) = 1 + p, σ(q) = 1 + q, а σ(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).

Теперь завершим доказательство первого факта: если простое число имеет вид 2n – 1, то число N = 2n–1(2n – 1) — совершенное. Для этого достаточно проверить, что σ(N) = 2N (так как сигма-функция — это сумма всех делителей числа, то есть сумма собственных делителей плюс само число). Проверяем: σ(N) = σ(2n–1(2n – 1)) = σ(2n–1)σ(2n – 1) = (1 + 2 + ... + 2n–1)·((2n – 1) + 1) = (2n – 1)·2n = 2N. Здесь было использовано, что раз 2n – 1 — простое число, то σ(2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.

б) Доведем до конца и второе решение. Найдем все собственные делители числа 2n–1(2n – 1). Это 1; степени двойки 2, 22, ..., 2n–1; простое число p = 2n – 1; а также делители вида 2m·p, где 1 ≤ m ≤ n – 2. Суммирование всех делителей тем самым разбивается на подсчет сумм двух геометрических прогрессий. Первая начинается с 1, а вторая — с числа p; у обеих знаменатель равен 2. По формуле суммы элементов геометрической прогрессии сумма всех элементов первой прогрессии равна 1 + 2 + ... + 2n–1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n – 1 (и это равно p). Вторая прогрессия дает p·(2n–1 – 1)/(2 – 1) = p·(2n–1 – 1). Итого, получается p + p·(2n–1 – 1) = 2n–1·p — то, что надо.

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, здесь.

2. Теорема Эйлера.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2n – 1 — простое число Мерсенна, то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km — составное, то 2km – 1  = (2k)m – 1 делится на 2k – 1 (поскольку выражение xm – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2n – 1. Обратное утверждение — «если n — простое, то 2n – 1 также простое» — не верно: 211 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель — доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2k+1·M = σ(m) следует, что m делится на M. Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2k+1 – 1)·M = 2k+1·M = σ(m). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m. Значит, M = 1, а m — простое число, которое имеет вид 2k+1 – 1. Тогда N = 2k·m = 2k(2k+1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n, что 2n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число — 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 27 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).


Послесловие

Первые два совершенных числа — 6 и 28 — были известны с незапамятных времен. Евклид (и мы вслед за ним), применив доказанную нами формулу из «Начал», нашел третье и четвертое совершенные числа — 496 и 8128. То есть сначала было известно всего два, а потом четыре числа с красивым свойством «быть равными сумме своих делителей». Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы, оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», — говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 — самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Пятое совершенное число — 33 550 336 — было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Им соответствуют n = 17 и n = 19 в формуле Евклида. Обратите внимание, что счет идет уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!

Как мы знаем, Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число должно иметь вид 2n–1(2n – 1), причем 2n – 1 должно быть простым. Восьмое число — 2 305 843 008 139 952 128 — нашел тоже Эйлер в 1772 году. Здесь n = 31. После его достижений можно было осторожно сказать, что про четные совершенные числа науке стало что-то понятно. Да, они быстро растут, и их трудно вычислять, но хотя бы ясно, как это делать: надо брать числа Мерсенна 2n – 1 и искать среди них простые. Про нечетные совершенные числа неизвестно почти ничего. На сегодняшний день не найдено ни одного такого числа, при том что проверены все числа до 10300 (видимо, нижняя граница отодвинута даже дальше, просто соответствующие результаты еще не опубликованы). Для сравнения: число атомов в видимой части Вселенной оценивается величиной порядка 1080. При этом не доказано, что нечетных совершенных чисел не существует, просто это может быть очень большое число. Даже настолько большое, что наши вычислительные мощности никогда до него не доберутся. Существует ли такое число или нет — одна из открытых на сегодня проблем математики. Компьютерным поиском нечетных совершенных чисел занимаются участники проекта OddPerfect.org.

Вернемся к четным совершенным числам. Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным. В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века — и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету. В основном поиском новых мерсенновских простых (а с ними — и новых совершенных чисел) занимаются участники проекта GIMPS (mersenne.org).

В 2008 году участниками проекта было найдено первое простое число, в котором больше 10 000 000 = 107 цифр. За это они получили приз $100 000. Денежные призы 150 000 и 250 000 долларов также обещаны за простые числа, состоящие из больше чем 108 и 109 цифр соответственно. Предполагается, что из этих денег получат вознаграждение и те, кто нашел меньшие, но еще не открытые простые числа Мерсенна. Правда, на современных компьютерах проверка чисел такой длины на простоту займет годы, и это, наверное, дело будущего. Самое большое простое число на сегодня равно 243112609 – 1. Оно состоит из 12 978 189 цифр. Отметим, что благодаря тесту Люка—Лемера (см. его доказательство: A proof of the Lucas–Lehmer Test) сильно упрощается проверка на простоту чисел Мерсенна: не нужно пытаться найти хотя бы один делитель очередного кандидата (это очень трудоемкая работа, которая для таких больших чисел практически невыполнима сейчас).

У совершенных чисел есть забавные арифметические свойства:

  • Каждое четное совершенное число является также треугольным числом, то есть представимо в виде 1 + 2 + ... + k = k(k + 1)/2 для некоторого k.
  • Каждое четное совершенное число, кроме 6, является суммой кубов последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 28 = 13 + 33, а 496 = 13 + 33 + 53 + 73.
  • В двоичной системе счисления совершенное число 2n–1(2n – 1) записывается очень просто: сначала идут n единиц, а потом — n – 1 нулей (это следует из формулы Евклида). Например, 610 = 1102, 2810 = 111002, 3355033610 = 11111111111110000000000002.
  • Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа (само число здесь тоже участвует), равна 2. Например, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.


0
Написать комментарий


    Другие задачи


    Элементы

    © 2005-2017 «Элементы»