Правильные многоугольники

Эта задача делится на две: 1) постройте правильные треугольник и пятиугольник; 2) с помощью уже построенных правильных треугольника и пятиугольника постройте правильный пятнадцатиугольник.

Если вы не справитесь с первой частью задачи, попробуйте решить только вторую.

Чтобы построить правильный пятиугольник ABCDE, надо научиться строить треугольник ABC (см. рис. 1).

Рис. 1. Равные отрезки в правильном пятиугольнике

Рассмотрим правильный пятиугольник ABCDE. Диагональ AC параллельна стороне DE. Аналогично BE || CD. Кроме того, равны между собой углы ABE, BAC и ACB, а значит, треугольники ABC и AFB подобны (здесь F — точка пересечения диагоналей AC и BE).
Исходя из рассмотренных соображений, выразите диагональ AC через сторону пятиугольника AB. Теперь можно строить треугольник ABC. Ну а дальнейшее построение пятиугольника ABCDE достаточно простое.

Чтобы построить правильный пятнадцатиугольник, впишите в одну окружность правильные треугольник и пятиугольник так, чтобы у них была общая вершина.

Шаг 1.

Правильный треугольник с данной стороной построить легко — по трем сторонам (см. рис. 2).

Рис. 2

Пусть теперь мы хотим построить правильный пятиугольник ABCDE, длина стороны которого равна а. Предположим сначала, что он уже построен, и проведем анализ ситуации. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть AC = x. Наша ближайшая цель заключается в том, чтобы выразить x через а (рис. 1).

Рис. 1

Пусть диагонали AC и BE пересекаются в точке F. Как мы уже знаем из Подсказки 2, углы ABE, ВАС и АСВ равны между собой и треугольники ABC и AFB подобны. Кроме того, CDEF — параллелограмм, поэтому CF = DE = а. Следовательно,

Сначала мы построим прямоугольный треугольник с катетами а и 2а (рис. 6). Его гипотенуза равна a√5. Потом приставляем к гипотенузе отрезок длины a и делим пополам. Получится как раз отрезок длины .

Рис. 6

Построив этот отрезок, легко построить и треугольник ABC по трем сторонам. Осталось достроить его до пятиугольника, что не должно составить труда.

Рис. 7

Итак, мы уже умеем строить правильные треугольник и пятиугольник. Впишем их в одну окружность, как показано на рис. 7 (чтобы у них была общая вершина). Если откладывать от вершины A на окружности дуги, равные дуге BE, то получатся вершины правильного 15-угольника. Действительно, длина дуги AB составляет 1/3 от длины окружности, длина дуги AE составляет 2/5 от длины окружности, значит, длина дуги BE = AE − AB есть 2/5 − 1/3 = (6−5)/15 = 1/15 от длины окружности.

Задачи на построение ведут свою историю с глубокой древности. Правильнее всего было бы считать, что они являются ровесниками всей геометрии как науки в целом, поскольку в них как будто содержится сам дух науки, всё ее естество. Но период их расцвета, пожалуй, пришелся на времена Древней Греции. Наиболее знаменитыми задачами на построение циркулем и линейкой по праву считаются задачи об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. И это не случайно: каждая из них оказала неоценимое влияние на развитие математики не только в античные времена, но и на протяжении последующих тысячелетий. Так сложилось, во многом, благодаря тому, что ни одна из них не имеет решения. А доказать невозможность того или иного построения — задача зачастую на порядок более сложная, чем привести пример необходимого рецепта. «Доказательства неразрешимости» требуют наличия более серьезного математического аппарата. Такого, какого не было в арсенале древних греков, и который был развит сильнейшими учеными Нового времени в XVIII–XIX веках. Отчасти именно благодаря известным с древних времен и не решенным до той поры задачам.

Задача о построении правильного многоугольника (в другой — эквивалентной — формулировке это задача о делении круга) занимает в истории математики не менее почетное место, нежели три вышеупомянутые. В ней требуется построить правильный многоугольник с данным числом сторон, или, что то же самое, разделить окружность на данное число равных частей.

Древние умели строить правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, пятнадцатиугольник, а также те фигуры, которые получаются из этих последовательным удвоением сторон. Построение остальных многоугольников долгое время оставалось за рамками человеческих возможностей, так что к концу XVIII века бытовало убеждение, что ничего кроме перечисленного построить нельзя.

Тем удивительнее оказалось открытие, сделанное в 1796 году немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. На тот момент ему было всего 19 лет, однако он уже имел богатый опыт и широту кругозора в той области науки, которую позже назовут теорией чисел. «Упорство, с которым Гаусс следовал избранному им пути, бурный юношеский натиск, с которым он каждый раз, не взирая ни на что, преодолевал самые крутые подъемы, ведущие к цели, все эти трудные испытания закаляли его силы и делали его способным, после победы над препятствиями, уже устраненными другими, неудержимо идти вперед, опережая их», — писал о юном даровании много позже другой великий немецкий математик Феликс Клейн. В самом деле, лишенный возможности ознакомиться с новейшими научными исследованиями, Гаусс проделывает колоссальную вычислительную работу, проявляя чудеса неутомимого прилежания. Еще ребенком он был увлечен чистым искусством счета. «Благодаря этим постоянным упражнениям в действиях над числами, например, над десятичными дробями с невероятным числом знаков, он не только достигает изумительной виртуозности в технике счета, которой он отличался всю свою жизнь, но его память овладевает таким колоссальным числовым материалом, он приобретает такой богатый опыт и такую широту кругозора в области чисел, каким навряд ли обладал кто-либо до или после него» (Ф. Клейн). К 1795 году страсть к числам только усилилась. Гаусс создает большие таблицы простых чисел, квадратичных вычетов и невычетов, выражает дроби вида 1/p от p = 1 до p = 1000 десятичными дробями, доводя вычисления до полного периода...

Осенью 1795 года Гаусс поступил в Геттингенский университет (однако посещал он на первых порах, в основном, лекции по филологии, которая тогда интересовала его не меньше, чем математика). Параллельно он продолжал заниматься собственными изысканиями, касающимися его теории «первообразных корней». И вот однажды, следуя изложению Клейна, «проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение правильного семнадцатиугольника... Это событие явилось поворотным пунктом в жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике.»

Поясним, в чем заключаются основы теории первообразных корней. Как мы уже отмечали, одно из математических развлечений Гаусса заключалось в следующем. Он делил 1 на различные простые числа p, последовательно выписывая десятичные знаки и ожидая, когда они начнут повторяться. Гаусса не смущало, что иногда ждать приходилось долго: например, для p = 97 повторение начиналось с 97-го знака, а для p = 337 — с 337-го. Таким образом он входил в загадочный мир чисел.

Прежде всего, отметим, что Гаусс никогда не ожидал напрасно — периодически повторяться цифры в какой-то момент всегда начинали. Вот как это можно объяснить. Знаки начинают повторяться в тот момент, когда на предыдущем шаге остаток равен единице. Значит, если k — период, то (10^k − 1) делится на p. Поскольку остатков при делении на p конечное количество (все они заключены между 1 и p − 1), то для каких-то k₁ > k₂ числа и при делении на p дадут одинаковый остаток. Тогда ( − 1) делится на p.

Можно доказать, что в качестве k всегда можно взять (p − 1). Впервые это выяснил Ферма (и поэтому соответствующее утверждение называется малой теоремой Ферма), потом переоткрыл Гаусс. Гаусса интересует наименьшее k, для которого (10^k − 1) делится на p. Иногда оно совпадает с (p − 1), иногда — нет, но всегда является делителем числа (p − 1).

Следующий шаг — заменить 10 на произвольное число a, которое не делится на p. Гаусс интересуется, когда (a^k − 1) не делится на p ни при каких k < p − 1. Про такие a говорят, что это первообразный корень для числа p. Условие того, что a — первообразный корень, эквивалентно тому, что среди остатков от деления 1, a, a², ..., a ^p−2 на p встречаются все ненулевые остатки 1, 2, ..., (p − 1). Оказывается, для каждого простого числа существует первообразный корень. Об этом догадывался еще Эйлер, хотя доказать не смог. Первое обоснование было дано Лежандром, а Гаусс впоследствии придумал несколько разных доказательств этого важного факта.

Для первых пяти простых чисел, за исключением семи, первообразным корнем является двойка (для семи — тройка). Однако, вообще говоря, маленьких первообразных корней немного. В середине двадцатого века было доказано: существует такая константа C, что для бесконечно большого количества простых чисел p выполнено неравенство g_p > C ln p (здесь g_p — наименьший среди первообразных корней для p). Более того, можно доказать, что для каждого натурального M бесконечно много простых чисел удовлетворяют условию M < g_p < p − M. Впрочем, для больших p наименьший первообразный не может быть и слишком большим. Так, если p > , то g_p < p^0,499.

Перейдем теперь к возможности построения правильного семнадцатиугольника. Очерчивая вкратце доказательство Гаусса, выделим следующие моменты. Во-первых, возникает вопрос: отрезки какой длины можно построить циркулем и линейкой? Мы уже видели, что если нам даны отрезки длины a, b и c, то можно построить отрезки длины (a + b), |a − b|, , . То есть если считать, что изначально в нашем распоряжении находится лишь отрезок единичной длины, то мы можем получить те отрезки, длины которых квадратично-иррациональны. Это означает, что длины получающихся отрезков могут быть выражены через единицу конечным числом операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Никаких других отрезков построить нельзя (грубо говоря, потому что прямая задается линейным уравнением, а окружность — квадратным).

Если мы хотим вписать в окружность единичного радиуса правильный семнадцатиугольник, то мы должны научиться строить его сторону. А длина его стороны составляет . Таким образом, необходимым условием возможности построения правильного семнадцатиугольника является квадратичная иррациональность числа . Это же условие будет достаточным, то есть если мы докажем, что число выражается через единицу конечным числом операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня, то предъявлять явное построение уже не обязательно — оно будет существовать автоматически.

Следующее соображение: вершины 17-угольника можно отождествить с комплексными корнями уравнения z¹⁷ = 1, которое равносильно уравнению (z − 1)(z¹⁶ + z¹⁵ + ... + z + 1) = 0. Группируя корни уравнения z¹⁶ + z¹⁵ + ... + z + 1 = 0 определенным образом, можно свести их к корням цепочки квадратных уравнений. Поскольку комплексные корни из единицы при перемножении ведут себя точно так же, как остатки от деления на 17 при сложении, то в основу этой группировки можно взять тот факт, что число 3 является первообразным корнем для простого числа 17. Именно это и было проделано юным Гауссом. Отметим, что угадать, каким образом нужно группировать корни, чтобы добиться нужного результата, без знания основ теории первообразных корней практически невозможно.

Аналогичным образом, Гаусс установил, что число является квадратичной иррациональностью, если простое число p имеет вид  + 1 (такие числа называются числами Ферма). Кроме того, ясно, что если можно построить правильные p-угольник и q-угольник для различных простых p и q, то можно получить и правильный pq-угольник. Это делается точно также, как мы строили пятнадцатиугольник на основе треугольника и пятиугольника. Гаусс подозревал, что других простых чисел p, довлетворяющих этому условию, нет. Но строго его гипотеза была доказана лишь в 1836 году Пьером-Лораном Ванцелем. Таким образом, в окончательном варианте решение задачи о построении правильного многоугольника таково:

Теорема Гаусса-Ванцеля: правильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число n представимо в виде n = 2^kp₁ .... p_m, где p₁, ..., p_m — различные простые числа Ферма.

Сам Гаусс, по всей видимости, считал открытие возможности построения правильного семнадцатиугольника циркулем и линейкой одним из важнейших своих достижений. Г. Вебер пишет: «Рассказывают, что Архимед завещал построить над своей могилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что он нашел отношение объемов цилиндра и вписанного в него шара — 3:2. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы в памятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Это показывает, какое значение сам Гаусс придавал своему открытию. На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник, воздвигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте, правда, едва заметном зрителю».

Памятник Гауссу в Брауншвейге с изображенной на нем 17-лучевой звездой

Нельзя не отметить важности теории первообразных корней Гаусса, сыгравшей впоследствии ключевую роль в исследованиях таких математиков как Э. Галуа, Н. Х. Абель, и других. Среди полученных с ее помощью результатов наиболее знаменита теорема о невыразимости в радикалах корней многочленов пятой и больших степеней.

В современном мире наибольший интерес представляет использование теории первообразных корней в криптографии. В его основе лежит задача дискретного логарифмирования. В простейших случаях она заключается в том, чтобы найти такое натуральное число x, что a^x имеет остаток b при делении на p. Искомая величина x называется индексом элемента b по основанию a. В случае, когда a является первообразным корнем по модулю p, индекс гарантированно существует. Однако вычислить его для больших чисел p подчас очень и очень непросто. Именно поэтому на задаче дискретного логарифмирования базируется криптография с открытым ключом.