Игра в кости

Варианты не одинаковы. Выгоднее всего первый из них (а не третий, как могло бы показаться). Вопрос в том, как это объяснить.

Посчитаем вероятности каждого из вариантов. Оговоримся, что, хотя от пирата Джона Сильвера можно всего ожидать, мы будем считать, что игральные кости у него обычные, то есть на каждую грань они выпадают с одинаковой вероятностью 1/6. Итак, вероятность выпадения шестерки на одной кости равна 1/6, а вероятность выпадения не шестерки (любого другого числа) равна 5/6.

В первом случае достаточно, чтобы выпала хотя бы одна шестерка при бросании шести костей. То есть Джима не устроит только выпадение «нуля» шестерок. Это событие происходит с вероятностью \( \left(\frac56\right)^6 \), так как на каждой кости должна быть не шестерка. Значит, в первом случае Джим выигрывает с вероятностью \( 1-\left(\frac56\right)^6 = 0{,}6651\ldots \)

Во втором случае Джиму не подходят выпадения нуля и ровно одной шестерки. Эти события происходят с вероятностями \( \left(\frac56\right)^{12} \) и \( C_{12}^1\cdot\frac16\cdot\left(\frac56\right)^{11} \) соответственно.

Поясним, почему ровно одна шестерка при бросании 12 костей выпадает именно с такой вероятностью. Мысленно пронумеруем все кости номерами от 1 до 12. Результат каждого броска будем записывать в виде строчки из 12 чисел: на месте с номером n будет записано число, которое выпало на кости с таким же номером. Всего таких строчек существует 6¹², потому что на каждом из 12 мест может оказаться любое из чисел от 1 до 6. А сколько строчек соответствует выпадению ровно одной шестерки? Посчитаем. Выбрать место, на котором окажется эта шестерка, можно \( C_{12}^1 \) способами (см. Сочетание), а на остальных 11 местах должны выпасть не шестерки, то есть существует 5¹¹ вариантов заполнения остальных мест в строчке. Значит, строчек с ровно одной шестеркой существует \( C_{12}^1\cdot5^{11} \). Чтобы теперь получить вероятность, нужно разделить это число на количество всех строчек. Легко видеть, что получится нужный результат.

Итак, во втором случае Джим выигрывает с вероятностью

В третьем случае все аналогично: Джиму не подходит выпадение нуля, одной и двух шестерок, которые происходят с вероятностями \( \left(\frac56\right)^{18} \), \( C_{18}^1\cdot\frac16\cdot\left(\frac56\right)^{17} \) и \( C_{18}^2\cdot\left(\frac16\right)^2\cdot\left(\frac56\right)^{16} \) соответственно. Поэтому в этом случае вероятность выигрыша равна

Как видим, первый вариант самый выгодный.

Отметим, что такой способ подсчета — сначала вычислить вероятность неподходящих событий, а потом вычесть их из 1, — выбран только из-за того, что подсчет «напрямую» немного дольше: например, во втором случае пришлось бы складывать вероятности выпадения двух шестерок, трех шестерок, четырех, пяти и так далее до 12 шестерок. Каждое из этих слагаемых вычисляется аналогично вероятности выпадения одной шестерки на 12 костях, но слагаемых сильно больше.

У этой задачи давняя история. Вопрос, который был поставлен в условии, больше 300 лет назад задал Сэмюэл Пипс (Samuel Pepys, 1633–1703) в письме Исааку Ньютону. Ньютона особо представлять не нужно, а вот про Пипса пару слов сказать стоит. Пипс происходил из простой семьи, но благодаря протекции дальнего родственника и собственным деловым качествам смог сделать успешную карьеру чиновника в Адмиралтействе. Он внес определенный вклад в развитие и организацию Королевского флота, но больше всего он знаменит своими дневниками, в которых очень подробно описывал важнейшие события (в частности, Великую лондонскую чуму и Великий лондонский пожар) и повседневную жизнь Лондона во второй половине XVII века. Позже эти дневники были изданы, стали бестселлером и ценным источником информации для историков. В 1665 году Пипс стал членом Королевского научного общества, а с 1684 по 1686 год был его президентом. Как раз в эти годы готовились к публикации знаменитые «Математические начала натуральной философии» Ньютона.

Исаак Ньютон (слева) и Сэмюэл Пипс (справа). Изображение с сайта datagenetics.com

Но наша задача не связана с высокой наукой. Когда в 1693 году Пипс написал Ньютону письмо с обсуждаемым вопросом, он уже отошел от дел после разных политических передряг. Его этот вопрос, скорее всего, волновал чисто с практической точки зрения — он хотел подзаработать на азартных играх. Сам Пипс считал, что выгоднее всего третий вариант из условия, но Ньютон правильно разобрался в задаче и указал, что выгоднее первый случай.

По поводу этой задачи Ньютон написал Пипсу три письма (и, похоже, ими ограничиваются труды Ньютона по теории вероятностей). В первом и третьем письмах он приводил логические доводы в пользу того, что выгоднее первый вариант, а во втором (после настойчивой просьбы Пипса) он привел подробный подсчет вероятностей, который, в общем, совпадает с нашим решением. Любопытно, что логические доводы Ньютона были неверными, хотя выводы он получил правильные. Ньютон предложил во втором и третьем случае разделить кости на группы по 6 штук. Тогда, по словам Ньютона, благоприятный исход в этих случаях наступит, если в каждой из групп выпадет по одной шестерке. Проблема в том, что тут неправильно происходит учет разных исходов (например, положительный исход может наступить, если в первой группе выпадет три шестерки, а в двух других — ни одной). Подробный разбор писем Ньютона с решением этой задачи можно прочитать в статье Stephen M. Stigler, 2006. Isaac Newton as a Probabilist.