Заклинить нельзя выдвинуть

Ответ на первый вопрос: нет, нельзя, и это не зависит ни от того, какие фигуры входят в набор, ни от того, какой ширины брать полосу. Получается, что «заклинить нельзя, выдвинуть». Но одного ответа мало — нужно его обосновать.

А вот на второй вопрос ответ положительный — «заклинить, нельзя выдвинуть». Причем подходящий пример можно построить, даже используя набор, в котором все фигуры одинаковы. Например — тетраэдры или кубы.

Докажем, что вне зависимости от набора деталей (если только он удовлетворяет условию), их расположения в полосе и параметров этой полосы, если детали заполнили всю полосу, то всегда можно будет хотя бы одну из деталей выдвинуть из нее. Будем считать, что полоса ориентирована горизонтально.

Рассмотрим детали, прилегающие по стороне к верхней границе полосы (такие детали есть, потому что вся полоса должна быть заполнена), которую обозначим l. У каждой такой детали D измерим угол α_D при правой вершине стороны, по которой деталь примыкает к прямой l, и выберем деталь, у которой этот угол наибольший. Этот выбор можно осуществить, так как всего разновидностей деталей в наборе конечное число, а каждая деталь — выпуклый многоугольник, то есть мы заведомо имеем дело с конечным множеством углов. Обозначим выбранную деталь за А, а соседнюю деталь справа от А — за В (рис. 1).

Рис. 1.

Из-за выбора детали А получается, что α_A ≥ α_B, а это означает, что деталь В можно выдвинуть из полосы параллельно общей стороне эти двух деталей.

Один из возможных примеров подходящей структуры для положительного ответа на второй вопрос приведен на рис. 2. Слой состоит из одинаковых тетраэдров. Нетрудно убедиться, что ни одну фигуру выдвинуть не получится. Например, если рассмотреть самый нижний правый тетраэдр с белой гранью, то выдвинуть его вниз мешают два соседних тетраэдра «сверху» и «снизу» от него. А выдвинуть этот тетраэдр вверх мешает сосед «слева» и не нарисованный сосед «справа».

Рис. 2.

Подобные самозаклинивающиеся структуры в слое между двумя плоскостями можно строить не только из тетраэдров, но и из других правильных многогранников.

Обсудим коротко устройство структуры из тетраэдров, чтобы понимать, как по аналогии можно получать другие такие структуры.

Заметим, что если провести плоскость α, параллельную границам слоя, через центры тетраэдров, то каждый из них высечет на плоскости α квадрат (она проходит через середины четырех ребер каждого тетраэдра и нетрудно убедиться, что каждая такая четверка точек является вершинами квадрата). Эти квадраты замощают всю плоскость α.

Теперь покажем, как, отталкиваясь от такого замощения (то есть от разбиения плоскости на подходящие фигуры), можно построить самозаклинивающуюся структуру. Рассмотрим один квадрат из замощения и представим себе, что его «рамка», образованная его сторонами, может ездить вверх и вниз перпендикулярно плоскости квадрата. Тогда на своем пути она заметет длинную «трубу», квадратную в сечении. Начнем поворачивать одну пару противоположных граней этой трубы вокруг сторон квадрата (как будто там шарнир) друг к другу над плоскостью квадрата, а вторую пару — под ней (как на рисунке). Тогда плоскости этих граней в пересечении образуют тетраэдр. Если продолжить поворачивать грани, то со временем этот тетраэдр приобретет нужную форму.

Рис. 3. Деформация трубы

Итак, мы (в общих чертах, конечно) описали способ, как по разбиению плоскости можно получить самозаклинивающуюся структуру. Этот способ работает и для некоторых других разбиений.

Например, структура из кубов в слое получается на основе разбиения плоскости на правильные шестиугольники:

Рис. 4. Самозаклинивающийся слой из кубов

А вот реализация такого самозаклиненного слоя из кубов:

Рис. 5. Самозаклиненный слой из кубиков. Фото с сайта turgor.ru

Можно заметить, что у октаэдра и додекаэдра тоже есть сечения в форме правильного шестиугольника:

Рис. 6. Шестиугольные сечения октаэдра и додекаэдра

Поэтому самозаклинивающиеся структуры в слое можно сделать и из этих многогранников:

Рис. 7. Самозаклиненные слои из октаэдров и додекаэдров

Что будет, если сделать наборы конечными и забыть про полосы и слои, то есть просто пытаться расположить фигуры так, чтобы ни одну нельзя было выдвинуть ни в каком направлении? В размерности 2 — на плоскости — верно следующее утверждение: если расположить конечный набор выпуклых фигур на плоскости, то одну из них можно будет выдвинуть так, чтобы не задеть остальные. Доказать это не очень просто, но тут не потребуется никаких нетривиальных знаний.

В трехмерном пространстве все не так однозначно. Например, если выпуклые тела — шары, то всегда можно один из них выдвинуть, не задев остальные. Но при этом самозаклинивающиеся структуры из конечных наборов существуют: из конечного набора выпуклых тел можно собрать выпуклое тело так, чтобы ни одна из деталей не выдвигалась. Предлагаем читателям подумать, как можно модифицировать описанные выше идеи, чтобы получилась подходящая конструкция.

В заключение отметим, что самозаклинивающиеся структуры нашли свое применение в материаловедении. Оказалось, что можно создавать ячеистые композитные материалы, которые из-за своего строения оказываются устойчивыми к некоторым типам ударных нагрузок, так как через границы ячеек не распространяются трещины (см. фото). Более подробно все эти вопросы описаны в статье А. Белова «Самозаклинивающиеся структуры» в «Кванте» №1 за 2009 год, на основе которой подготовлена эта статья.

Рис. 8. Устойчивость к образованию трещин в обычном однородном материале и композитной пластине из самозаклинивающихся ячеек. Фотографии из статьи A. Dyskin et al., 2003. Fracture Resistant Structures Based on Topological Interlocking with Non-planar Contacts