Колебания пружинного маятника

Задача может поначалу удивить тем, что в ней как будто ничего и не дано, а что-то при этом требуется доказать. Но ничего страшного тут нет. Когда задача формулируется таким образом, это означает, что вы можете для себя ввести какие-то обозначения, которые вам нужны, сосчитать с ними то, что требуется, а потом прийти к выводу, который уже не зависит от этих величин. Проделайте это для данной задачи. Возьмите формулы для периодов колебания, подумайте, что за величины в них входят, и сравните два периода друг с другом, поделив один на другой.

Период колебания грузика массы m на пружинке жесткости k и длины L₀ составляет

 .

Эта формула не меняется и в том случае, если грузик подвешен в поле тяжести с ускорением свободного падения g. Конечно, положение равновесия грузика сместится вниз на высоту ΔL = mg/k — именно при таком удлинении пружинки сила упругости компенсирует силу тяжести. Но период вертикальных колебаний относительно этого нового положения равновесия с растянутой пружинкой останется тем же.

Период горизонтальных колебаний растянутого маятника выражается через ускорение свободного падения g и его полную длину L = L₀ + ΔL:

 .

Именно благодаря дополнительному растяжению в поле тяжести мы выясняем, что

Вот и всё решение.

Несмотря на свою кажущуюся простоту, маятник на пружинке — система, довольно богатая на явления. Это один из самых простых примеров симпатичного явления — резонанса Ферми. Заключается оно вот в чем. Вообще говоря, если грузик как-то оттянуть и отпустить, то он будет колебаться и по вертикали, и по горизонтали. Эти два типа колебания будут просто накладываться и не мешать друг другу. Но если периоды вертикальных и горизонтальных колебаний связаны соотношением T_x = 2T_y, то горизонтальные и вертикальные колебания, словно против своей воли, начнут постепенно превращаться друг в друга, как на анимации справа. Энергия колебаний будет как бы перекачиваться из вертикальных колебаний в горизонтальные и наоборот.

Выглядит это так: вы оттягиваете грузик вниз и отпускаете его. Он поначалу колеблется только вверх-вниз, затем сам по себе начинает раскачиваться в стороны, на какое-то мгновение колебание становится почти полностью горизонтальным, а потом снова возвращается к вертикальному. Удивительно, но строго вертикальное колебание оказывается неустойчивым.

Объяснение этого замечательного эффекта, а также магического соотношения T_x:T_y = 2:1, вот в чем. Обозначим через x и y отклонения грузика от положения равновесия (ось y направлена вверх). При таком отклонении потенциальная энергия вырастает на величину

Это — точная формула, она годится для любых отклонений, больших и маленьких. Но если x и y малы, существенно меньше L, то выражение приблизительно равно

плюс другие слагаемые, содержащие еще более высокие степени отклонений. Величины U_y и U_x — это обычные потенциальные энергии, из которых получаются вертикальные и горизонтальные колебания. А вот выделенная синим цветом величина U_xy — это особая добавка, которая порождает взаимодействие между этими колебаниями. Благодаря этому маленькому взаимодействию колебания по вертикали влияют на горизонтальные колебания и наоборот. Это становится совсем прозрачно, если провести вычисления дальше и написать уравнение колебаний по горизонтали и вертикали:

где введены обозначения

Без синей добавки у нас были бы обычные независимые колебания по вертикали и горизонтали с частотами ω_y и ω_x. Эта добавка играет роль вынуждающей силы, дополнительно раскачивающей колебания. Если частоты ω_y и ω_x произвольны, то эта маленькая сила не приводит ни к какому существенному эффекту. Но если выполняется соотношение ω_y = 2ω_x, наступает резонанс: вынуждающая сила для обоих типов колебаний содержит компоненту с той же частотой, что и само колебание. В результате эта сила медленно, но неуклонно раскачивает один тип колебаний и подавляет другой. Именно так горизонтальные и вертикальные колебания перетекают друг в друга.

Рис. 3. Тот же пружинный маятник, но в трех измерениях, демонстрирует при резонансе Ферми еще одно красивое явление: плоскость его колебания поворачивается не плавно, а скачкообразно, и в результате на горизонтальной плоскости грузик прочерчивает звездчатую траекторию. Изображение из статьи D. D. Holm, P. Lynch, 2001. Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring

Дополнительные красоты возникают, если в этом примере по-честному учесть третье измерение. Будем считать, что грузик может сжимать-разжимать пружинку по вертикали и качаться, как маятник, в двух горизонтальных направлениях. Тогда, при выполнении условия резонанса, при взгляде сверху грузик выписывает звездчатую траекторию, как, например, на рис. 3. Так получается потому, что плоскость колебания не остается неподвижной, а поворачивается — но не плавно, а как бы скачками. Пока колебание идет из стороны в сторону, эта плоскость более-менее держится, а поворот происходит за тот короткий промежуток, когда колебание почти вертикально. Предлагаем читателям самостоятельно подумать, каковы причины этого поведения и от чего зависит угол поворота плоскости. А желающие окунуться с головой в эту довольно-таки глубокую задачу могут полистать статью Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring, в которой не только приведен подробный анализ задачи, но и рассказывается о ее истории и о связи этой задачи с другими разделами физики, в частности с атомной физикой.