Звёздные величины
Валерия Сирота
«Квантик» №11, 2020
«Звезда первой величины» — так часто говорят про человека всем известного, знаменитого, яркого. Но у астрономов звёзды первой величины — не самые яркие. На небе найдётся дюжина звёзд поярче. Какой же тогда они величины? Нулевой и минус первой.
Звёздная величина — мера яркости звёзд на нашем небе. Чем звезда ярче, тем её величина меньше: самая яркая звезда, Сириус, имеет звёздную величину −1,5, а самые слабые звёзды, которые различает невооружённым глазом человек с нормальным зрением, — шестой звёздной величины. Правда, в хорошие ясные ночи зоркие люди могут разглядеть и гораздо более тусклые звёзды — восьмой величины. Для краткости вместо слов «звёздная величина» астрономы приписывают сверху индекс m, например: звезда Вега (ярчайшая звезда созвездия Лиры) 0m, Полярная звезда 2m. Планеты бывают ярче самых ярких звёзд — например, Венера или Юпитер могут быть −3m или даже −4m. Есть много слабых звёзд, которых мы не видим. В простенький телескоп видны звёзды до 10m.
Любители астрономии знают наизусть звёздные величины нескольких известных звёзд (а то и нескольких десятков) и определяют «на глаз» яркость любой другой звезды сравнением с ними. Когда на темнеющем вечернем небе появляется несколько (5–10) звёзд — это, скорее всего, звёзды нулевой и первой величины; когда звёзд становится много, вы можете найти «ковш» Большой Медведицы и похожий на букву W силуэт Кассиопеи — почти все звёзды в этих астеризмах (конфигурациях) 2m, а самые слабые 3m. Четвёртая величина — часто предел видимости в городе или при небольшой дымке. А уж если виден Млечный Путь и всё усыпано звёздами — вы наверняка (если зрение хорошее) видите звёзды до 6m.
Вот так же определяли звёздные величины древние греки, которые и придумали их больше двух тысячелетий назад. Почему придумали именно так? Для глаза распределение яркости по звёздным величинам представляется равномерным: звезда 2m выглядит настолько же ярче, чем 3m, насколько 3m ярче, чем 4m, и т. д. Замечательно, что с тех пор люди изобрели точные приборы, научились измерять количество энергии (можно сказать — прямо число фотонов за секунду1), приходящее от каждой звезды, — а древнее определение осталось в силе! Разве что добавили дробные величины, и теперь астрономы могут отличить яркость звезды 3,1m от 3,2m. Но даже с этим многие любители справляются. Получается, человеческий глаз — такой совершенный прибор?
Но всё ещё удивительнее. Когда научились измерять яркость приборами, оказалось, что соседние звёздные величины отличаются друг от друга не на одно и то же число (фотонов в секунду на квадратный сантиметр, например), а ровно в одно и то же число раз! Это число примерно равно 2,5: звезда 1m в 2,5 раза ярче, чем звезда 2m, и в 2,5 раза тусклее, чем звезда 0m.
На самом деле «волшебное число» для перехода от одной звёздной величины к другой — не 2,5, а примерно 2,512. Почему такое странное число? Потому, что тогда разница в 5 звёздных величин оказывается разницей ровно в 100 раз: 100 ≈ 2,5125. Так удобнее считать, когда разница в яркости очень большая. Но для маленьких «разниц» вы можете использовать 2,5. И даже не считать точно, а прикидывать — оценивать.
Задача 4. Звёздная величина полной Луны равна −12,7m, а у Солнца она равна −26,7m. Во сколько раз отличаются их яркости?
Задача 5. Самые слабые объекты, которые удаётся разглядеть в самый большой на Земле телескоп, имеют звёздную величину 27m. А человеческий глаз, как мы помним, видит до 6m. Во сколько раз телескопы улучшили наш предел яркости?
Почему же глаз устроен так странно, что вдвое более яркие и вдвое более слабые объекты кажутся ему «одинаково удалёнными» по яркости? Ведь, например, каждому ясно, что 2 «ближе» к 1, чем к 4. А с яркостью не так: на рисунке яркость звёзд разных величин символически изображена отрезком соответствующей длины. А рядом — отрезки, соответствующие звёздным величинам, то есть тому, как мы воспринимаем эти яркости (точнее, разницу между ними). Это как если бы следующим делением линейки после 1 см у нас вместо 2 см стоял бы 1 м, и мы про все отрезки, что больше 10 см, говорили бы: «Это примерно метр!». А ещё следующим делением — после метра — было бы уже 100 м. Странная какая-то линейка...
Яркости звёзд (слева) и какими они нам кажутся (справа)
Такая линейка, или шкала (не обязательно отсчитывать именно расстояния), на которой каждое следующее деление в определённое число раз больше предыдущего, называется логарифмической. А зрение наше устроено логарифмически вот зачем: такое восприятие позволяет перекрыть огромный диапазон яркостей. Мы можем разглядывать — без риска для глаза — чудовищно различающиеся по яркости вещи. Во сколько там раз полная Луна ярче звезды 6m? А теперь, если минимальный размер, который вы можете отмерить руками, это примерно миллиметр — сможете ли вы отмерить руками (или даже ногами, но не используя никакие приборы) во столько раз большее расстояние? И ведь полная Луна — совсем ещё не предел максимальной доступной глазу яркости...
Такое восприятие немного похоже на то, как мы смотрим на уходящие вдаль рельсы. На ближайшей шпале мы можем разглядеть каждую трещину, каждую растущую возле неё травинку. Следующие несколько шпал нам тоже хорошо видны, но уже гораздо менее подробно, и разобраться, которая там из них восьмая, а которая — девятая, уже не так легко. А вдали шпалы и вовсе сливаются: не то чтобы нам их не видно, и, скажем, человека мы разглядим и с большого расстояния, но вот на какой он шпале стоит — на двухсотой или трёхсотой — нам уже непонятно, да и неважно, всё равно далеко. Так же устроена логарифмическая шкала: разница между 1 м и 1 м 20 см в ней гораздо больше, чем между 100 м и 101 м. Маленькую разницу между слабыми источниками света глаз замечает лучше, чем даже в 10 раз большую разницу между очень яркими.
Не только зрение, но и слух у нас устроен логарифмически. Громкость звука принято измерять децибелами: 20 дБ — шёпот, 120 дБ — такой громкий звук, что прямо больно становится2. Так вот, если один звук громче другого на 10 дБ — это значит, что энергия первого звука ровно в 10 раз больше энергии второго! А сила, с которой этот звук давит на барабанную перепонку, больше в 3 с небольшим раза. И восприятие высоты звука тоже логарифмическое: выше на октаву — значит, частота звука больше в 2 раза.
Задача 6. На сколько децибел отличаются громкости звуков, энергии которых отличаются в тысячу раз? А в миллион раз?
Задача 7. Порог слышимости — самый тихий звук, который различает обычный человек, — это как раз 0 децибел. Считая, что без вреда для глаза можно смотреть на объекты в 5 раз ярче полной Луны, сравните диапазон яркостей, воспринимаемых человеческим глазом, с диапазоном громкостей, воспринимаемых ухом. Во сколько раз самый яркий подходящий нам свет ярче самого тусклого? А во сколько раз отличаются энергии самого громкого и самого тихого звуков? Какой инструмент универсальнее — глаз или ухо?
В завершение заметим: более яркая звезда на нашем небе — не обязательно более яркая «в действительности». Может, она просто ближе. Вот ведь Солнце — вообще-то очень заурядная жёлтая звёздочка, совсем не яркая, а во сколько раз оно для нас ярче других! И Сириус, и Вега — хоть и яркие на самом деле, но не так уж выделяются. Самая «на самом деле яркая» из ярких звёзд нашего неба — Денеб (хвост) из созвездия Лебедя. Если бы они все были на одинаковом расстоянии от нас, Денеб был бы в 8300 раз ярче Сириуса и почти в 200 000 раз ярче Солнца! А самая яркая из известных звёзд ещё в 50 раз ярче. Правда, с Земли её без сильного телескопа вообще не разглядеть — очень уж далеко. «Настоящая яркость» звёзд называется светимостью, или — если пользоваться логарифмической шкалой — абсолютной звёздной величиной. Абсолютная — это звёздная величина, которая была бы у звезды, если бы она была от нас на расстоянии 10 парсек (примерно 32,5 световых года). Вега, например, к нам чуть ближе этого расстояния (до неё 25 световых лет), поэтому её абсолютная звёздная величина немножко больше видимой. Солнце с расстояния в 10 парсек выглядело бы всего лишь как звезда 5m. А у многих звёзд абсолютная звёздная величина меньше видимой.
Можно ли, глядя на звезду, догадаться, яркая ли она на самом деле или просто близкая? Вообще-то нет. Но есть «подсказки». Это — цвет звезды: если она белая или голубая, значит — уж точно довольно яркая, хотя и не определить на глаз, просто яркая или чудовищно яркая. А если жёлтая — значит, на самом деле не очень-то яркая, скорее всего, похожа на наше Солнце. Вот с красными сложнее — они могут оказаться и совсем тусклыми, и ужасно яркими. Но про это — как-нибудь в другой раз. А пока — две довольно сложные задачки напоследок.
Задача 8. В телескоп мистера X видны звёзды до 10m. Мистер Y сделал телескоп вдвое большего диаметра. Качество линз и зеркал у него примерно такое же. Какую предельную звёздную величину можно надеяться увидеть в его телескоп? Какой телескоп нужно сделать, чтобы улучшить достижение мистера X на 5 звёздных величин, то есть увидеть 15m?
Задача 9. Звёзды А и В одинаковой светимости, но А в 2 раза дальше. Во сколько раз она слабее на небе? На сколько отличаются их звёздные величины? Во сколько раз дальше должна быть звезда, чтобы казаться на 10m слабее другой такой же звезды?
Художник Алексей Вайнер
Ответы
1. В 2,5 · 2,5 = 6,25 раз; в 2,5 · 2,5 · 2,5 ≈ 15,6 раз.
2. 0,5m − (−1,5m) = 2m; разница опять в 2,5 · 2,5 = 6,25 раз.
3. 0,5m во столько же раз ярче 1m, во сколько слабее 0m. Поэтому они отличаются в такое число x раз, что x · x = 2,5; x = \( \sqrt{\text{2,5}} \) ≈ 1,6 раз.
4. Разница −12,7m − (−26,7m) = 14m; 14 = 5 + 5+ 5 − 1. Значит, отличие в 100 · 100 · 100 : 2,5 = 400 000 раз.
5. Разница 27m − 6m = 21m, 21 = 4 · 5 + 1; отличие в 100 · 100 · 100 · 100 · 2,5 = 250 млн раз.
6. 1000 = 10 · 10 · 10, поэтому громкость отличается на 3 · 10 = 30 дБ. Миллион — это 6 перемноженных десяток, каждое умножение на 10 соответствует изменению громкости на 10 дБ, поэтому разница 6 · 10 = 60 дБ. Это разница между тихим шёпотом и звуком проезжающего мимо грузовика.
7. Свет: 5m − (−12,7m) = 17,7m от слабой звезды до Луны, перепад между самым ярким и самым слабым 5 · 100 · 100 · 100 · 100 : (2,5 · 2,5) ≈ 100 млн раз. Звук: 120 дБ = 12 · 10 дБ, перепад 1012 = 1 миллион миллионов раз. Выходит, у уха диапазон больше, чем у глаза. (Мы считали, что глаз адаптирован к ночному пейзажу.)
8. Площадь объектива увеличилась в 4 раза. Количество улавливаемого телескопом света возросло в 4 раза ≈ 2,5 · \( \sqrt{\text{2,5}} \), то есть на полторы звёздных величины, до 11,5m. Различие на 5m — это в 100 раз. Чтобы в 100 раз увеличить площадь, нужно взять диаметр в 10 раз больше.
9. Энергия, излучаемая звездой каждую секунду, распределяется равномерно во всех направлениях. Окружим каждую звезду воображаемой сферой с радиусом, равным расстоянию от неё до нас. Радиус сферы вокруг А окажется в 2 раза больше, чем вокруг В, а площадь сферы — в 4 раза больше. Одинаковая энергия излучения «размазывается» на большую площадь, и на каждый кусочек (например, 1 см2) сферы A попадёт в 4 раза меньше энергии, чем на такой же кусочек сферы В. Значит, звезда А для нас светит в 4 раза слабее, чем В. Это примерно 1,5m.
Разница 10m — это в 100 · 100 = 104 раз. Значит, звезда в \( \sqrt{10000} \) = 100 раз дальше.
1 Подсчитывать энергию и число фотонов — на самом деле совсем не одно и то же, так как фотоны «разных цветов» несут разную энергию. Но здесь мы эти подробности обсуждать не будем.
2 Про шкалу громкости звуков читайте в статье А. Щетникова «Что такое децибел» в «Квантике» № 3 за 2016 год.
