Через тернии к звездам (Per aspera ad astra)

Альберт Стасенко
«Квант» №6, 2018

А куда деваться? Конечно, к новым звездам! Ведь до ближайшей звезды, можно сказать, рукой подать (по галактическим масштабам): всего лишь каких-то четыре с небольшим световых года. Поэтому она так и называется — Проксима (от лат. proxima — ‘ближайшая’) и относится к звездой системе Альфа Центавра. Кстати, как говорят астрономы, около этой звезды вращается очень подходящая планета массой в 1,3 массы Земли.

Но прежде всего нужно преодолеть притяжение нашего Солнца, иначе говоря, выбраться из его потенциальной ямы (см. рисунок). И тут на помощь может прийти само Солнце — точнее, идущие от него потоки квантов света и частиц (солнечный ветер).

Схема перелета с околосолнечной орбиты, из точки А, на орбиту вокруг другой звезды, в точку В (черный квадрат — планета-спутник звезды, сюда еще надо «приземлиться», но это не цель данной статьи). В нижней части рисунка — вид на траекторию полета «сверху»; в верхней части рисунка слева — вид «сбоку» на траекторию аппарата, выбирающегося из потенциальной ямы; зеленая кривая — траектория полета к звезде; красная кривая — зависимость радиальной компоненты скорости v, соответствующая предельному случаю убегания (когда v_∞ → 0). Обозначения: R — радиус Солнца, R_α — радиус желанной звезды, r — расстояния от их центров, r₀ — радиус начальной круговой орбиты аппарата, 1/r — сечение потенциальной ямы

О том, что свет оказывает на тела давление, заявлял еще И. Кеплер (1604 г.), объясняя отклонение хвостов комет в сторону от Солнца. Дж. Максвелл теоретически доказал (1873 г.) наличие этого давления на основе своих уравнений электромагнитного поля. П. Н. Лебедев экспериментально подтвердил (1899 г.) реальность светового давлении на тела, после чего лорд Кельвин (он же У. Томсон) признался, что он всю жизнь воевал с Дж. Максвеллом из-за его светового давления, но Лебедев заставил его признать свою неправоту. Наконец, Ф. А. Цандер уже с инженерно-практической точки зрения рассматривал (1924 г.) возможность использования солнечного паруса для полета на Марс. А совсем недавно и физики-теоретики, и предприниматели-миллиардеры разработали конкретные проекты межзвездных кораблей с солнечным парусом. Самый скромный из них должен доставить к системе Альфа Центавра наногруз при помощи паруса площадью всего 16 м². А наиболее грандиозный должен иметь площадь 10⁵ м² (полтора десятка футбольных полей!), причем в течение 100 (ста!) лет достичь максимальной скорости (0,05–0,1 скорости света), затем 50 лет обеспечивать торможение по мере приближения к желанной звезде. И столько же времени потребуется на возвращение... Но когда это будет? Прагматики из NASA предполагают осуществление такого проекта через полвека, в 2069 году. Но нам уже сейчас ничто не мешает проделать некоторые оценки параметров будущего полета с солнечным парусом.

Почему именно с парусом? Да потому, что это самый «бесплатный» вид тяги, не требующий сложного оборудования. Конечно, при помощи солнечного излучения невозможно взлететь с Земли, так что необходим предварительный вывод летательного аппарата на орбиту при помощи более мощных средств.

Итак, пусть летательный аппарат, движущийся вокруг Солнца по круговой орбите радиусом r₀, развернул парус площадью S, ориентированный перпендикулярно лучам света. Согласно одному из законов небесной механики, а именно второму закону Кеплера, моменты импульса тела в поле тяготения, или площади, заметаемые радиусом-вектором тела в равные промежутки времени, остаются постоянными (см. два заштрихованных сектора на рисунке). Это значит, что в любой точке траектории нашего паруса

\(ur=u_0r_0 \),

где u — окружная (линейная) компонента скорости. Напомним, что вектор скорости имеет окружную u и радиальную v компоненты. С момента раскрытия паруса кинетическая энергия будет увеличиваться за счет работы силы давления излучения Солнца. Найдем эту работу.

Каждый квант частотой ν, как известно, имеет импульс \(\frac{hv}{c}\) (где — h постоянная Планка, с — скорость света). Следовательно, если поток энергии на один квадратный метр равен \(q(r)([q(r)]=Дж/(м^2·с))\), то поток импульса (давление) равен \(\frac{q(r)}{c}\). А если все кванты отражаются зеркально от площади S, то действующая на нее сила равна

\(\frac{2q(r)S}{c}.\)

Далее, если на первоначальной круговой орбите вокруг Солнца (орбита Земли) радиусом r₀ плотность потока его излучения равна q₀, то на расстоянии r имеем

\(q(r)=q_0(\frac{r_0}{r})^2.\)

Заметим, что эта зависимость от радиуса точно такая же, как и для силы тяготения, действующей на единичную массу:

\( \frac{F}{m}= −\frac{GM}{r^2} =−\frac{GM}{r^2_0}(\frac{r_0}{r})^2, \)

где M — масса звезды, G — постоянная тяготения. А работа силы тяготения при переходе из точки r₀ в точку r равна разности потенциалов, т.е. значений потенциальной энергии в расчете на единицу массы перемещаемого тела:

\( GM = (\frac{1}{r_0} − \frac{1}{r})= \frac{GM}{r_0} (1 − \frac{r_0}{r}).\)

Значит, работа силы давления излучения будет равна

\( \frac{2q_0r_0S}{cm}(1 − \frac{r_0}{r}). \)

Теперь мы можем записать важную мысль: изменение суммы потенциальной и кинетической энергий единицы массы аппарата равно работе сил давления света на парус при перемещении от r₀ до r:

Используя соотношение между окружными скоростями, запишем азимутальную часть кинетической энергии в виде

\( \frac{u^2}{2} = \frac{u^2_0}{2}(\frac{r_0}{r})^2, \)

а начальную орбитальную скорость на круговой орбите вокруг Солнца найдем из второго закона Ньютона

\( \frac{u^2_0}{r_0} = \frac{GM}{r^2_0}. \)

В результате для радиальной компоненты скорости получим

Здесь введена мощность излучения звезды \( Q = 4πr^2_0q_0 \). Видно, что достаточно далеко от звезды (при \( \frac{r}{r_0} → ∞ \)) получим значение скорости, которое удалось бы достичь при помощи паруса:

\( v^2_∞ = v^2_0 − \frac{GM}{r_0} + \frac{Q}{πcr_0}\frac{S}{m}. \)

При этом предполагается, что плоскость начальной круговой орбиты содержит прямую, проходящую через центры Солнца и желанной звезды.

Пусть начальная радиальная скорость аппарата равна нулю (v₀ = 0) — он вращается по круговой орбите и никто не подталкивает его в радиальном направлении, кроме развернувшегося паруса. Тогда из последнего равенства можно получить интересный результат — предельное значение поверхностной плотности массы паруса \( \frac{m}{S} \), при котором излучение поможет едва выбраться из потенциальной ямы звезды, так что аппарат остановится на бесконечности (v_∞ = 0):

\( (\frac{m}{S})_\text{max} = \frac{Q}{M} \frac{1}{πcG}. \)

Видно, что сюда вошли две фундаментальные константы — скорость света c и гравитационная постоянная G, а также единственная характеристика звезды, описывающая поток квантов, — ее удельная мощность излучения \( \frac{Q}{M} ([\frac{Q}{M}] = Вт/кг) \). И, конечно, вездесущее число π: ведь и звезды, и орбита — «круглые». А если учесть, что для звезд типа Солнца Q ~ M⁴, последнее выражение можно еще упростить:

\( (\frac{m}{S})_\text{max}\sim M^3. \)

Тут пора сделать численные оценки. Согласно табличным данным, масса Солнца M = 2 · 10³⁰ кг, расстояние от Солнца до Земли r₀ = 150 млн км, плотность потока излучения на орбите Земли q₀ = 1400 Вт/м², гравитационная постоянная G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н · м² / кг², скорость света с = 3 · 10⁸ м/с. В результате получим

\( (\frac{m}{S})_\text{max} ≈ 10^{−3}\:кг/м^2. \)

Более тяжелый парус не «выберется» из сферы влияния Солнца. А ведь этот парус должен нести не только себя, но еще и некий полезный груз. Поэтому предлагается подталкивать корабль мощным электромагнитным излучением (например, лазером) с Земли. А по мере удаления от Солнца — использовать специально расположенные заранее зеркала, подсвечивающие пролетающий мимо межзвездный аппарат отраженным солнечным светом. А еще...

И тут, как и во всех великих проектах, возникают дополнительные соображения. Помимо рассмотренного выше электромагнитного излучения, существует корпускулярное излучение Солнца — поток протонов со скоростью около 450 км/с, оказывающих давление \( p_0 \sim 2·10^{−7}·(\frac{r_0}{r})^2 \). Причем в период активного Солнца интенсивность корпускулярного излучения может возрасти на два-три порядка. Конечно, эти частицы тоже будут давать вклад в тягу паруса. Но как они будут взаимодействовать с его тонкой пленкой? Не превратят ли они ее в сито, паутину и, в конечном счете, в космическую пыль...

Далее, проблема еще в том, что обсуждаемая здесь цель полета не находится в плоскости эклиптики, и это потребует дополнительных маневров. А по поводу рассматриваемой теории великий Галилей непременно постарался бы внести принципиальное «уточнение»: если свет, распространяющийся со скоростью с, падает на парус, уже обладающий радиальной скоростью v, то их относительная скорость должна быть меньше с. Однако современная физика утверждает, что скорость света в любой системе координат равна с. Что же изменится в сравнении со случаем паруса на круговой орбите? Может изменится частота фотона, а значит, и его энергия и импульс — фотон «покраснеет» с удалением от гравитирующего его источника?

А поэты... что им ближайшая Проксима:

Но до Андромеды полтора миллиона световых лет! Здесь и субсветовые скорости аппарата маловаты: свет Андромеды, дошедший сейчас до нас, покинул ее, когда на Земле еще не было человечества. Но тут забрезжила надежда: астрофизики открыли в Пространстве «кротовые норы», через которые...

А чтобы во всем этом разобраться, нужно поступить на Физтех или в МГУ и окончить их физические факультеты.