Теория групп — наука о совершенстве
Евгений Вдовин
Введение
Настоящий текст появился по нескольким причинам. Во-первых, подавляющее большинство не представляет, чем занимается современная математика. Теория групп — это, конечно, далеко не вся современная математика, а лишь малая ее часть, но она находится на одном из самых высоких уровней абстракции, что делает ее неплохим примером раздела современной математики.
Во-вторых, такой естественный и простой (для объяснения) объект, как группы, практически незнаком большинству ученых. Действительно, что может быть естественнее и привычнее для человека, чем понятие симметрии. Мы с самого рождения вольно или невольно ищем в окружающих предметах симметрию, и чем симметричнее предмет, тем совершеннее он нам кажется. Древние греки считали шар идеальной фигурой, именно из-за того, что у шара очень много симметрий. Взгляните на любую известную картину, и вы увидите там явную ось (а иногда и не одну) симметрии. Любое музыкальное произведение развивается по циклу, постоянно возвращаясь к исходной теме, т. е. и там тоже есть симметрия. Даже такой, всем известный символ, как крест, почитаемый во многих религиях, кажется нам красивым из-за большого количества симметрий: его можно и крутить, и отражать относительно любой из его частей. Но превратите крест в свастику, и у вас сразу возникнет неуютное ощущение, ведь большую часть симметрий креста вы уничтожили. Таким образом, именно симметрия определяет, насколько совершенным кажется нам тот или иной объект, и теория групп, как наука, изучающая симметрии, может без преувеличения называться наукой о совершенстве.
И в-третьих, я вдохновлен примером таких замечательных ученых и популяризаторов науки, как Сергей Попов и Игорь Иванов, научно-популярные статьи которых я с интересом читаю.
Поскольку текст изначально задумывался доступным для читателя, знающего математику в объеме школьной программы, некоторые специальные части текста (на самом деле, подавляющая его часть), содержащие более трудный для понимания материал, чем обычно дается в школьном курсе алгебры, будут начинаться знаком 
и заканчиваться знаком 
(это не означает, что для понимания такого текста требуется что-то большее, чем школьная математика, трудности будут возникать логического характера). Дело в том, что теория групп находится на одном из самых высоких уровней абстракции в современной математике и потому группы иногда состоят из элементов, которые весьма сложно представить неискушенному читателю.
-
Porazitelno ved 4to.V bibliotekax mogno naiti ku4u knig s otli4noi popularizaziei matematiki kak ot prvoisto4nika tak ot deistvitelno obrazovannux popularizatorov.Naprimer KOLMAN."Predmet i metod sovremennoi matematiki"1936.Tam blestashe izlogenu osnovu teorii grupp i ne tolko.God izdania govorit sam za seba.Posle etogo goda takix i im podobnum knig v Rossii ne budet NIKOGDA.Razve 4to Vdovin raziasnit.Dage familia imeet kakuu to misti4eskuu svaz s 1936.Neslu4aino,kogda ia uezgal iz Sovka v 1990,razreshalos vuvozit knigi posle 1937 tolko.Nu a sei4as v biblioteku ne poidut.Kto xo4et vurvatsa iz Sovka-u4ites iz pervoisto4nikov.Est sam KLEIN."Elementarnaia matematika s to4ki zrenia vusshei"1933;Sushestvoval GILBERT....V inete odni Vdovinu kuvurkautsa
-
Вы не могли бы привести более конструктивную критику? С 30-х годов в теории групп было получено очень много важных результатов, которые существенно изменили подходы к изучению групп. Наука развивается, то, что раньше излагалось одним языком - сейчас уже слишком устарело и теперь изложение совершенно другое, более короткое и, вместе с тем, более общее.
-
-
Nelly, чтобы говорить о том, образует то или иное множество группу, надо сразу оговорить ту групповую операцию, относительно которой множество - группа. Например, целые числа - не группа относительно "-", и группа относительно "+".
Как я понял, "множество классов эквивалентности группы" - это множество. А операция-то какая?
Таких статей, популяризирующих науку, должно быть как можно больше. Ведь процесс изучения углубленных разделов математики должен чередоваться с простой и интерсной аналогией, так сказать, взглянуть на веши, которые изучаешь по отдельности, с высоты птичьего полёта.
P.S. При объяснении понятий ядра гомоморфизма и изоморфизма для большей наглядности желательно уяснить: в 1)"Ker(ф) = {g E G | gф = e}" и в 2)"Если Ker(ф) = {e}..." единица не одна и та же, т. к. в 1)e-единица группы H, а в 2)e-единица группы G
Есть вопрос в части "Аксиомы групп". Там даётся определение нормальной подгруппы как:
"Подгруппа H, удовлетворяющая условию H(в степени)G (является подмножеством) H".
IMHO, здесь должен быть знак (равенство множеств), а не (является подмножеством).
Так как ранее было заявлено, что для того, чтобы определение факторгруппы было корректным, необходимо выполнение условия Hg1 · Hg2 = Hg1 · g2, которое равносильно g(в степени)–1 * H * g = H,
а
H(в степени)G := g(в степени)–1 * H * g
следовательно, должно выполнятся: H(в степени)G = H
иначе G - не обязательно подгруппа.
