Теория групп — наука о совершенстве

Евгений Вдовин

Введение

Настоящий текст появился по нескольким причинам. Во-первых, подавляющее большинство не представляет, чем занимается современная математика. Теория групп — это, конечно, далеко не вся современная математика, а лишь малая ее часть, но она находится на одном из самых высоких уровней абстракции, что делает ее неплохим примером раздела современной математики.

Во-вторых, такой естественный и простой (для объяснения) объект, как группы, практически незнаком большинству ученых. Действительно, что может быть естественнее и привычнее для человека, чем понятие симметрии. Мы с самого рождения вольно или невольно ищем в окружающих предметах симметрию, и чем симметричнее предмет, тем совершеннее он нам кажется. Древние греки считали шар идеальной фигурой, именно из-за того, что у шара очень много симметрий. Взгляните на любую известную картину, и вы увидите там явную ось (а иногда и не одну) симметрии. Любое музыкальное произведение развивается по циклу, постоянно возвращаясь к исходной теме, т. е. и там тоже есть симметрия. Даже такой, всем известный символ, как крест, почитаемый во многих религиях, кажется нам красивым из-за большого количества симметрий: его можно и крутить, и отражать относительно любой из его частей. Но превратите крест в свастику, и у вас сразу возникнет неуютное ощущение, ведь большую часть симметрий креста вы уничтожили. Таким образом, именно симметрия определяет, насколько совершенным кажется нам тот или иной объект, и теория групп, как наука, изучающая симметрии, может без преувеличения называться наукой о совершенстве.

И в-третьих, я вдохновлен примером таких замечательных ученых и популяризаторов науки, как Сергей Попов и Игорь Иванов, научно-популярные статьи которых я с интересом читаю.

Поскольку текст изначально задумывался доступным для читателя, знающего математику в объеме школьной программы, некоторые специальные части текста (на самом деле, подавляющая его часть), содержащие более трудный для понимания материал, чем обычно дается в школьном курсе алгебры, будут начинаться знаком и заканчиваться знаком (это не означает, что для понимания такого текста требуется что-то большее, чем школьная математика, трудности будут возникать логического характера). Дело в том, что теория групп находится на одном из самых высоких уровней абстракции в современной математике и потому группы иногда состоят из элементов, которые весьма сложно представить неискушенному читателю.


15
Показать комментарии (15)
Свернуть комментарии (15)

  • konevin  | 29.04.2006 | 12:53 Ответить
    Porazitelno ved 4to.V bibliotekax mogno naiti ku4u knig s otli4noi popularizaziei matematiki kak ot prvoisto4nika tak ot deistvitelno obrazovannux popularizatorov.Naprimer KOLMAN."Predmet i metod sovremennoi matematiki"1936.Tam blestashe izlogenu osnovu teorii grupp i ne tolko.God izdania govorit sam za seba.Posle etogo goda takix i im podobnum knig v Rossii ne budet NIKOGDA.Razve 4to Vdovin raziasnit.Dage familia imeet kakuu to misti4eskuu svaz s 1936.Neslu4aino,kogda ia uezgal iz Sovka v 1990,razreshalos vuvozit knigi posle 1937 tolko.Nu a sei4as v biblioteku ne poidut.Kto xo4et vurvatsa iz Sovka-u4ites iz pervoisto4nikov.Est sam KLEIN."Elementarnaia matematika s to4ki zrenia vusshei"1933;Sushestvoval GILBERT....V inete odni Vdovinu kuvurkautsa
    Ответить
    • veprus > konevin | 02.06.2006 | 10:02 Ответить
      Вы не могли бы привести более конструктивную критику? С 30-х годов в теории групп было получено очень много важных результатов, которые существенно изменили подходы к изучению групп. Наука развивается, то, что раньше излагалось одним языком - сейчас уже слишком устарело и теперь изложение совершенно другое, более короткое и, вместе с тем, более общее.
      Ответить
    • sms71790 > konevin | 02.08.2012 | 16:40 Ответить
      Может будет интересно посмотреть
      http://ru.wikipedia.org/wiki/Кольман,_Эрнест_Яромирович
      и рецензию на книгу
      Гельфонд А. О., Шнирельман Л. Г. «Э. Кольман, “Предмет и метод современной математики”»
      http://www.mathnet.ru/links/9da0ca1b143f5a543e6e402d3977d498/rm7137.pdf
      Ответить
  • Nelly  | 08.05.2006 | 22:07 Ответить
    Всегда ли классы эквивалентности составляют группу? Как вообще описывается группа через классы эквивалентности?
    Ответить
    • PavelS > Nelly | 14.05.2006 | 22:26 Ответить
      Nelly, чтобы говорить о том, образует то или иное множество группу, надо сразу оговорить ту групповую операцию, относительно которой множество - группа. Например, целые числа - не группа относительно "-", и группа относительно "+".
      Как я понял, "множество классов эквивалентности группы" - это множество. А операция-то какая?
      Ответить
    • veprus > Nelly | 02.06.2006 | 09:58 Ответить
      На классах эквивалентности нужно как-то определять операцию. Если это смежные классы, то естественное требование связи с операцией на группе фактически диктует определение, приведённое в статье.
      Ответить
  • basvic  | 23.10.2006 | 16:09 Ответить
    Интересно, почему в аксиомах определяющих понятие группы упустили аксиому замкнутости (Операция может быть применена к любым двум элементам множества, результат так же должен быть элементом этого же множества)
    Ответить
    • karate > basvic | 18.12.2006 | 04:29 Ответить
      В аксиомах определяющих понятие группы не упустили аксиому замкнутости. То, что на множестве G задана бинарная операция, в точности, означает, что на множестве G задано отображение из G*G в G.
      Ответить
      • PavelS > karate | 03.07.2008 | 04:27 Ответить
        --------
        Ответить
  • bengilbert  | 29.06.2008 | 16:45 Ответить
    Большое спасибо за данную статью. Прочитал с большим удовольствием.
    Таких статей, популяризирующих науку, должно быть как можно больше. Ведь процесс изучения углубленных разделов математики должен чередоваться с простой и интерсной аналогией, так сказать, взглянуть на веши, которые изучаешь по отдельности, с высоты птичьего полёта.
    P.S. При объяснении понятий ядра гомоморфизма и изоморфизма для большей наглядности желательно уяснить: в 1)"Ker(ф) = {g E G | gф = e}" и в 2)"Если Ker(ф) = {e}..." единица не одна и та же, т. к. в 1)e-единица группы H, а в 2)e-единица группы G
    Ответить
  • dimon  | 19.09.2008 | 09:37 Ответить
    Довольно занимательная статья; мне очень понравилось и поэтому жду с нетерпением продолжения данной темы.
    Ответить
  • Akaguma  | 05.05.2010 | 13:22 Ответить
    Кто-нибудь может объяснить почему x^3 не сюръективно.
    Ответить
    • AG > Akaguma | 09.05.2010 | 20:55 Ответить
      Рассматривается отображение из рациональных чисел в рациональные. Например для 10 нельзя найти прообраза в рациональных числах.
      Ответить
  • stanislav81  | 07.11.2011 | 22:35 Ответить
    Вопрос, почему отображение x → x3 не сюръективно ?
    y=-8 => x=-2, y=8 => x=2
    Ответить
  • dkurashkin  | 26.11.2012 | 19:27 Ответить
    6 лет прошло, а продолжения так и нет. :( Если все-таки будет, хотелось бы пожелать немного примеров практического применения теории групп, задач на усвоение материала и (на десерт) немного углубиться в ту область теории, которая применяется в современной физике элементарных частиц.
    Ответить
Написать комментарий
Элементы

© 2005-2017 «Элементы»