Из колоды вынули наугад семь карт, показали их всем, перетасовали и раздали Грише и Леше по три карты, а оставшуюся карту отдали Коле. Гриша и Леша могут сообщать вслух любую информацию о своих картах. Как им сообщить друг другу свои карты так, чтобы Коля ни про одну карту, которой он не видит, не смог определить, у кого она находится?

На плоскости дана прямая l и две точки, A и B, лежащие по одну сторону от этой прямой. Постройте на плоскости с помощью циркуля и односторонней линейки точку M, равноудаленную от прямой l и точек A и B. За одну операцию можно провести либо прямую, либо окружность (дугу окружности). За какое минимальное количество операций вам удастся построить точку М?

Султан выложил по кругу 6 внешне одинаковых шкатулок и сообщил двум своим мудрецам, что в четырех из них будут положены алмазы, а две останутся пустыми. Два мудреца должны будут по очереди забирать по одной шкатулке, при этом первый мудрец будет знать, где именно лежат алмазы, а второй — нет. Как им заранее договориться о своих действиях, чтобы забрать все алмазы и не взять ни одной пустой шкатулки? Как действовать мудрецам, если шкатулок 30 и в 20 из них лежат алмазы? А если шкатулок 10 и в 5 из них алмазы?

Во всемирном математическом конгрессе должно поучаствовать бесконечное число математиков. Их планируется разместить в отеле с бесконечным числом номеров. Но вот незадача — все ключи перепутались и управляющему приходится вытягивать их наугад. Найдите вероятность того, что хотя бы один из математиков в итоге окажется в той самой комнате, в которой он должен был жить изначально.

Головоломка «Змейку с кольцами» представляет собой проволочную конструкцию в форме квадрата, шесть колец, зацепленных за основу, и удлиненный проволочный челнок. Ваша задача — снять с этой хитро переплетенной проволочной конструкции челнок, а затем зацепить его обратно. Как это сделать?

Султан решил проверить придворных мудрецов и придумал для них испытание. Мудрецам завяжут глаза и выстроят их в ряд лицом к затылку. Затем на каждого наденут шляпу одного из двух цветов. Каждый из мудрецов может сказать только одно слово — назвать цвет. Кто верно угадает свой цвет — останется при дворе, кто ошибется — будет сослан. Как им действовать, чтобы число оставших при дворе было максимальным вне зависимости от того, как распределятся шляпы?

Возьмем правильный тетраэдр и попробуем его оклеить N равными равносторонними треугольниками подходящего размера (без зазоров и наложений). Если такая оклейка возможна, то число N будем называть «тетраэдровым». Сколько чисел среди 1764, 1807, 1849, 1893, 1936, 1981, 2025 «тетраэдровые»?

Новогодняя елка состоит из 1 + 2 + ... + n единичных правильных шестиугольников, выложенных в форме равностороннего треугольника. Новогодняя игрушка — это фигура, являющаяся объединением трех шестиугольников с общей вершиной. Украсить елку — замостить ее игрушками без пробелов и наложений. Можно ли украсить елку при n = 2025?

У Пети есть набор из 81 оловянного солдатика. Он выстроил их всех в форме квадрата 9×9 — такую расстановку называют каре. Какое наименьшее число солдатиков нужно передвинуть, чтобы все солдатики снова образовали каре, но большего размера?

В бумажном квадрате 7×7 вырезан меньший квадрат так, как показано на рисунке. Разрежьте эту фигуру на несколько частей и переложите их так, чтобы получился квадрат 7×7 с квадратной дыркой в центре, причем стороны дырки должны быть параллельны сторонам исходного квадрата.

На плоскости нарисована окружность, центр которой не отмечен. Имеется двусторонняя линейка, ширина \(h\) которой меньше радиуса \(R\) окружности. Как построить центр окружности?

Натуральный ряд «утроили», записав каждое число трижды. Затем этот ряд разбили на множества M₁, M₂, M₃, ..., так, что во множестве M_n находится n чисел, идущих подряд (пробелов между множествами нет). Найдите сумму чисел в множествах: а) M₂₄; б) М₁₀₂₄; в) М₂₀₂₄.

Куб 4×4×4 разбит на единичные кубики, все вершины которых отмечены точками. Сколько существует равносторонних треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Два неперекрывающихся квадрата со сторонами a и b имеют общую вершину O. У каждого из них по две вершины лежат на окружности, а через A и B обозначены оставшиеся две вершины. Найдите величину угла AOB, если он: а) острый; б) тупой. Чему равна площадь круга?

Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной параболой y = 2024−x² и осью Ox?

Разделите квадрат на 20 групп меньших квадратов так, чтобы выполнялись два условия: 1) внутри каждой группы все квадраты были одинаковыми, а квадраты из разных групп были разными; 2) если пронумеровать группы от 1 до 20, то в группе с номером n было бы ровно n квадратов.

Бесконечный вправо и вниз лист бумаги разбит на клетки. На листе нарисована ломаная-змейка, вдоль которой перекатывают игральный кубик. В каждую клетку на пути кубика вписывается число, находящееся на его верхней грани в тот момент, когда кубик оказывается на данной клетке. Найдите сотый член получающейся последовательности.

Куб составлен из единичных кубиков, которые раскрашены в два цвета так, что в результате образуются трехмерные крестовины с общим центром. а) Сколько синих кубиков в таком кубе 9×9×9? б) Сколько синих кубиков в таком кубе 25×25×25?