Физика в игре “Angry Birds”
Наверняка многие играли в “Angry Birds”. Утверждается, что разработчики игры постарались воспроизвести механику полета, столкновений и равновесия твердых тел как можно ближе к реальности. Это значит, что ситуации в этой игре можно использовать в качестве источника школьных задачек по физике. Примеры таких задач можно найти в сети (вот один из них), но практически все они касаются движения птиц. Между тем, в игре есть еще одно примечательное физическое явление — необычное равновесие предметов, которое иногда даже кажется противоестественным.
На рис. 1 показан один пример такого равновесия. На висящие в воздухе глыбы снега можно не обращать внимания: разработчики игры сделали их «прибитыми к экрану», и потому их можно воспринимать как неподвижный потолок. Однако каменные блоки по замыслу игры должны подчиняться всем законам механики. Особый интерес тут представляет каменная палочка в центре: опираясь лишь одной стороной на камень и на глыбы снега, она висит под довольно крутым углом и не падает.
Рассмотрим это равновесие повнимательнее. Для того чтобы сформулировать точно решаемую школьную задачу, сделаем некоторые упрощения. Во-первых, пусть все предметы будут абсолютно жесткими. Будем считать, что снег представляет собой идеально ровный и горизонтальный «потолок», на который опирается палочка, а саму палочку будем считать однородной и бесконечно тонкой. Наконец, будем считать, что между палочкой и снегом нет прилипания, то есть контакт между ними может возникнуть только за счет некоторой прижимающей силы. Все остальные параметры показаны на рис. 2: угол наклона к горизонту равен α (и для простоты будем считать его равным 45°), длина палочки равна L, а точка опоры о камень находится на расстоянии x от верхнего конца.
Интуитивно понятно, что палочка держится и не соскальзывает за счет сил трения. Это значит, что оба коэффициента трения (палочка-камень и палочка-снег) не могут быть слишком маленькими. Поэтому возникает естественный вопрос: что можно выяснить об этих коэффициентах трения, имея такое равновесие?
Задача
Найдите, какому неравенству должны удовлетворять два коэффициента трения для того, чтобы такое равновесие было возможным. Обязаны ли оба они отличаться от нуля?
Подсказка
Стандартный метод решения таких задач — нарисовать все силы, действующие на палочку. Надо учесть силу тяжести, силы реакции опоры (они приложены к точке контакта и направлены перпендикулярно поверхности) и силы трения (они тоже приложены к точке контакта и действуют вдоль поверхности). Затем надо записать условия равновесия: векторная сумма всех сил, действующих на палочку, равна нулю (то есть по первому закону Ньютона палочка не соскальзывает), и моменты всех сил относительно точек контакта равны нулю (то есть палочка не проворачивает). Возможно, здесь поможет одна из наших прошлых задач.
Когда все силы расписаны, надо попробовать их найти и отсюда вывести ограничения на коэффициенты трения.
Решение
Нарисуем вначале все силы, действующие на палочку (см. рис. 3). Обе силы реакции опоры, T1 и T2, обязаны быть положительными. Поскольку направление сил трения заранее неизвестно, мы выбираем одно из направлений и считаем, что эти силы, F1 и F2, могут быть как положительные, так и отрицательные.
Условия равновесия по вертикали и по горизонтали выглядят следующим образом:
по вертикали: mg + T2 = T1 cos α + F1 sin α
по горизонтали: T1 sin α = F1 cos α + F2
Условие равновесия моментов сил можно написать для какой-то одной точки, например для верхнего конца палочки:
mg (L/2) cos α = T1 x,
откуда сразу находится сила T1. Таким образом, мы получаем три уравнения для четырех неизвестных: T1, T2, F1, F2. Это означает, что мы не можем однозначно найти все эти силы.
Такая ситуация может показаться странной: мы вроде бы четко сформулировали механическую задачу, а однозначного решения у нее нет. На самом деле, это стандартная ситуация в такого типа задачах; они даже так и называются — статически недоопределенными задачами. Дело в том, что если твердое тело оказывается зажатым между двумя точками опоры, то заранее неизвестно, насколько сильно оно сжато (или растянуто) в промежутке между этими точками. Если тело считается абсолютно жестким, то никакой деформации оно не испытывает, и поэтому из условия задачи найти силу сжатия не получится.
Можно ли, тем не менее, что-то сказать про коэффициенты трения в такой ситуации? Да, можно, но для этого надо рассмотреть не какой-то один набор сил, а всевозможные наборы, всевозможные решения системы уравнений. Критерий осуществимости равновесия тогда будет таким. Если для определенной пары коэффициентов трения μ1 и μ2 существует хоть одно решение, то такая пара коэффициентов возможна. Если же для заданных μ1 и μ2 не существует ни одного решения, то тогда равновесие точно невозможно. В результате мы на плоскости (μ1, μ2) получим две области: там, где равновесие возможно, и там, где оно невозможно.
Получить эти области можно разными способами. Один из подходов такой. Пусть сила F2 будет параметром задачи. Тогда для фиксированного F2 остальные силы находятся однозначно. Если ввести для краткости отношение c = L/2x, то силы T1, T2 и F1 получаются такими:
T1 = mg c cos α,
T2 = mg (c – 1) – F2 tg α,
F1 = mg c sin α – F2 / cos α.
Величина силы F2 параметризует весь набор решений.
Палочка будет покоиться, только если силы трения по модулю не превышают сил реакции опоры, помноженных на коэффициенты трения:
– μ1 T1 < F1 < μ1 T1
и
– μ2 T2 < F2 < μ2 T2.
Эти неравенства дают некоторые ограничения на величину F2 при заданных коэффициентах трения μ1 и μ2. Такие ограничения удобно изобразить на двух графиках, показанных на рис. 4 (здесь мы уже подставили угол α = 45°). Явные выражения нетрудно выписать самостоятельно.
Теперь осталось «совместить» два этих графика, то есть выяснить, для каких значений μ1 и μ2 разрешенные диапазоны силы F2 пересекаются хотя бы в одной точке. Ответ выглядит так: коэффициенты трения должны удовлетворять неравенству
μ1 + 2(c – 1)μ2 / c(1 + μ2) > 1.
Графически эта область показана на рис. 5 для случая c < 2 (слева) и c > 2 (справа).
Интересно отметить, что даже если μ2 = 0 (нет трения между палочкой и снегом), равновесие всё равно возможно при достаточно большом коэффициенте трения μ1. В этом случае палочку удерживает от соскальзывания сила трения в точке опоры о камень. В противоположном случае μ1 = 0 (нет трения между палочкой и камнем), равновесие возможно не всегда, а только при c > 2. В этом случае короткий кусок палочки оказывается зажатым между камнем и потолком, и от проскальзывания ее удерживает трение о полоток.
При желании задачу можно расширить, включив в рассмотрение и другие элементы конструкции. Например, можно записать условие для того, чтобы верхний камень покоился, а не скользил относительно нижнего. Еще можно обратить внимание на то, что на рис. 1 верхний камень застыл в слегка наклоненном положении; желающие могут подумать, возможна ли такая ситуация и что для нее требуется.
Послесловие
Процесс решения этой задачи, как и многих статически недоопределенных задач, может вызывать ощущение неудовлетворенности. Всё выглядит так, словно задача решена не до конца: мы как бы перечислили потенциально возможные решения, но не сказали, какое из них действительно верно. А ведь если поставить реальный эксперимент, по возможности максимально близкий к условиям этой задачи, то силы будут какие-то конкретные, то есть реализуется только одно какое-то решение. Как нам его найти среди многообразия возможных решений?
Ответ простой, но одновременно глубокий. Решение, которое реализуется в каждой конкретной ситуации, зависит не только от самой статической конфигурации, но и от механической предыстории, от того, как система пришла в это состояние. Конкретно говоря, напряжения в палочке зависят от того, как мы ее засунули между опорой и потолком, какие мы прикладывали силы, в какой точке было первое касание и в каких точках было проскальзывание.
Чтобы лучше почувствовать эту зависимость от предыстории, представьте себе, что палочка может слегка растягиваться и сжиматься, оставаясь при этом прямой. Мы упрем палочку в потолок, сдавим ее, а затем обопрем о камень. Если трение достаточно большое, то в результате участок между двумя точками опоры будет сжат. Если сила сжатия при этом достаточно велика, то F2 может даже стать отрицательной. Теперь чуть-чуть сдвинем потолок вправо без потери контакта. В этом случае сжатие резко ослабнет, и решение для сил получится другое. Не исключено, что палочка окажется даже не сжатой, а растянутой. Однако если все смещения исключительно малы, то эти две ситуации с двумя разными решениями для нас будут выглядеть неотличимыми. Вот так получается многообразие решений в казалось бы четко определенной механической системе.
