Светящийся шар

Для того чтобы ответить на вопрос, надо представить себе лучи, испускаемые каждой точкой светящегося шара, и понять, как получившаяся плотность лучей связана с кажущейся яркостью на изображении. И тут возникает первый вопрос: какая именно часть шара светится?

В условии задачи это не оговорено; значит, надо проанализировать разные варианты того, чем именно излучается свет. Рассмотрите следующие варианты: (1) излучает только идеально ровная сферическая поверхность, (2) излучает шероховатая поверхность (то есть при близком рассмотрении поверхность представляет собой очень сильно изрезанный «ландшафт»), (3) светится приповерхностный шаровой слой некоторой толщины, а сам шар полупрозрачен для собственного света.

После всего этого найдите хорошую фотографию Солнца в видимом свете и сравните со своими выводами.

Намного проще представить себе лучи света, идущие от точечного источника, чем от протяженного. Поэтому будем моделировать область свечения светящимися точками, равномерно заполняющими эту область. Рассмотрим теперь подробно предложенные конкретные варианты.

Рис. 2. Пусть каждая светящаяся точка испускает свет изотропно. Тогда лучи света от участка светящейся поверхности будут гуще при отклонении от перпендикуляра. Из-за этого край светящейся сферы будет выглядеть ярче, чем ее центр. Рисунок автора задачи

1. Пусть свет идет от идеально ровной сферической поверхности, а сам шар совершенно непрозрачен. Светящиеся точки равномерно разбросаны по сфере, и каждая из них светит изотропно. Тогда плотность лучей от небольшого участка поверхности будет увеличиваться при отклонении от перпендикуляра пропорционально 1/cos(α) (рис. 2). Яркость изображения пропорциональна плотности световых лучей, а значит, она будет увеличиваться от центра к краю (причем в идеальном случае она будет расти до бесконечности). В результате получится изображение, похожее на рис. 1 справа, только еще контрастнее.

   Если шар полностью прозрачен для собственного излучения, то общая картина не изменится. Яркость лишь возрастет в два раза (будет виден свет от передней и задней полусфер), но ее распределение останется тем же.

2. Пусть снова шар полностью непрозрачен, свет по-прежнему излучается лишь бесконечно тонким поверхностным слоем, но сама поверхность является шероховатой (рис. 3).

   

   Рис. 3. Сильно изломанная светящаяся поверхность имеет участки, направленные под произвольными углами практически к любому направлению. Рисунок автора задачи

   Это значит, что на мезоскопическом масштабе (то есть на расстояниях много меньше радиуса шара, но много больше расстояния между излучающими точками) она представляет собой не гладкую, а сильно изрезанную поверхность, со множеством впадин и холмов. Практически для любого выбранного направления на выбранном макроскопическом участке будет много мезоскопических участков, ориентированных под самыми разными углами к направлению наблюдения. В результате яркость изображения будет практически постоянной по всему диску (рис. 1, в центре).

3. Пусть теперь свечение исходит не с самой поверхности, а из некоторого приповерхностного слоя толщины d, а сам шар сделан из полупрозрачного материала. Под словом «полупрозрачный» обычно подразумевается вполне конкретная зависимость: если в такой материал пустить узконаправленный луч света, то на каждом сантиметре пути будет теряться (то есть поглощаться или рассеиваться во все стороны) какой-то определенный процент падающего света. Зависимость яркости направленного луча от пройденной дистанции x будет экспоненциальной: I(x) = I₀e^–βx. Величина β называется показателем ослабления света, а обратная к ней величина λ = 1/β задает ту толщину, на которой исходный световой поток уменьшается в e = 2,718... раз.

   В случае светящегося слоя толщины d ключевым параметром становится отношение d/λ, которое называется оптической плотностью этого слоя. Если оптическая плотность заметно меньше единицы (то есть d << λ, слой оптически тонкий), то мы видим практически весь излученный свет без перерассеяния. Если оптическая плотность порядка единицы и выше, тогда λ примерно показывает ту глубину под поверхностью, свет от которой мы всё еще видим. Свет от более глубоких слоев уже не попадает к нам напрямую, а многократно перерассеивается внутри среды.

   

   Рис. 4. Оптически тонкий (слева) и оптически толстый (справа) светящийся полупрозрачный шаровой слой. В оптически тонком случае колонка светящегося газа в направлении наблюдения растет при приближении к краю, d₁ > d, в то время как в оптически толстом случае она остается постоянной и примерно равной λ. Рисунок автора задачи

   Таким образом надо рассмотреть два варианта светящегося слоя (рис. 4). Если светится оптически очень тонкий слой, то толщина светящегося слоя в направлении наблюдения, а значит и яркость изображения, будет расти от центра к краю диска, достигнет максимума на расстоянии от кромки, примерно равном d, а затем быстро уменьшится до нуля. Астрофизический пример такой ситуации показан на рис. 5. Если же светится оптически толстый слой, то яркость будет оставаться примерно постоянной по всему диску и лишь на самом краю, где толщина светящейся области вдоль луча зрения меньше λ, она резко спадет до нуля.

Рис. 5. Планетарная туманность Abell-39 — астрофизический пример оптически тонкого светящегося шарового слоя. Изображение с сайта nasa.gov

В интернете можно найти много фотографий светящихся предметов. Это могут быть матовые лампы либо предметы, покрытые фосфоресцирующей краской. Подавляющее большинство из них как раз отвечает либо оптически толстому светящемуся слою, либо ситуации с шероховатой поверхностью излучателя. Потому-то эти предметы кажутся равномерно яркими по всему своему профилю. Интересно отметить, что из-за равномерности свечения теряется ощущение объемности предмета, и в темноте такие предметы могут выглядеть плоскими.

Рис. 6. Потемнение к краю солнечного диска. Изображение с сайта photo-element.ru

Разберем теперь случай солнечного диска. Солнечный свет испускается оптически плотным слоем в атмосфере Солнца, фотосферой, поэтому следует ожидать равномерную яркость солнечного диска. Фотографии Солнца в видимом диапазоне показывают, что яркость солнечного диска действительно более или менее однородна, однако вблизи его края наблюдается характерное потемнение (см. Limb darkening), рис. 6. Оно связано с двумя эффектами. Во-первых, это упомянутое выше уменьшение яркости за счет утоньшения светящегося слоя непосредственно вблизи кромки. Во-вторых, сама яркость свечения солнечного вещества не постоянна, а меняется с глубиной. Свет на краю диска излучается самыми внешними слоями фотосферы (см. рис. 4, справа), которые просто-напросто холоднее и тусклее, чем более глубокие слои.

Потемнение к краю — это не только занятный фотометрический эффект, но важный источник информации о том, как меняются с глубиной физические условия в Солнце или в других звездах. В отличие от центра Солнца, глядя на его край (или, как говорят астрономы, «лимб»), мы словно видим Солнце в профиль (аналогия, конечно, не точна, но подчеркивает чувствительность к радиальному распределению температуры и плотности). Поэтому аккуратное измерение эффекта потемнения позволяет проверять и улучшать модели строения Солнца.

Рис. 7. Изображение диска звезды Бетельгейзе, полученное космическим телескопом «Хаббл». C сайта wikipedia.org

Интересно, что этот эффект выглядит по-разному в разных частях оптического спектра (солнечный диск на краю не только темнее, но и краснее), а также за пределами видимого диапазона. Более того, в радио- и рентгеновском диапазоне наблюдается противоположный эффект, при котором диск выглядит ярче на краю (см. текущие изображения Солнца в разных длинах волн).

Кроме Солнца имеется всего лишь несколько звезд, угловой размер которых достаточно велик, чтобы диск звезды можно было разрешить в современные телескопы. На рис. 7 показан диск Бетельгейзе, знаменитого красного гиганта из созвездия Ориона, на котором тоже видно потемнение и покраснение к краю.

Не так давно астрофизики осознали, что потемнение и покраснение к краю можно изучать и у других звезд, даже если их угловой размер слишком мал для наблюдения диска. Для этого можно использовать сразу два эффекта: гравитационное микролинзирование и прохождение экзопланет по диску звезды. Точная форма кривых, которые при этом вычерчивает яркость звезды, зависит среди прочего и от эффектов потемнения и покраснения к краю. Статьи на эту тему регулярно появляются в астрофизических журналах.