Размер атомов

Тот простой факт, что всё вокруг состоит из мельчайших частиц вещества — молекул и атомов, — на самом деле обладает огромной научной силой. Из одного лишь этого утверждения можно вывести большое число следствий, дающих качественное объяснение многим физическим явлениям. Если бы вдруг человечество «забыло» все естественнонаучные знания, накопленные за многие века, то, уцепившись лишь за этот факт и пользуясь научным методом, оно смогло бы очень быстро восстановить азы многих разделов физики и химии.

Современная экспериментальная физика позволяет разглядеть отдельные атомы. Но можно ли оценить размер атомов, не используя эту сложную технику, а исходя лишь из простых экспериментов с веществом? Фото из статьи: Ondrej L. Krivanek, et al. Atom-by-atom structural and chemical analysis by annular dark-field electron microscopy // Nature. V. 464. P. 571–574. 25 March 2010
Современная экспериментальная физика позволяет разглядеть отдельные атомы. Но можно ли оценить размер атомов, не используя эту сложную технику, а исходя лишь из простых экспериментов с веществом? Фото из статьи: Ondrej L. Krivanek, et al. Atom-by-atom structural and chemical analysis by annular dark-field electron microscopy // Nature. V. 464. P. 571–574. 25 March 2010

Про атомарную структуру материи дети узнают еще в начальной школе. Но атомы не видны ни глазом, ни в оптический микроскоп. Более того, в обычных экспериментах с веществом, когда мы измеряем разнообразные характеристики материи (плотность, теплоемкость, удельную теплоту плавления и испарения, вязкость, силу поверхностного натяжения жидкости и так далее), мы вообще можем не задумываться о том, что она состоит из отдельных частиц. Современная физика, конечно, позволяет «разглядеть» отдельные атомы с помощью сложных приборов. Но возникает вопрос: существует ли какой-то простой способ определить типичный размер молекул, не прибегая к такой технике? Оказывается, да.

Задача

Вооружившись лишь фактом, что всё состоит из атомов, оцените размер молекулы воды на основании (некоторых из) перечисленных выше макроскопических характеристик. Численные значения этих параметров для воды можно легко найти в справочниках или в интернете.



Подсказка

Сразу стоит подчеркнуть, что решения, которые опираются на число Авогадро или на свойства отдельных молекул, — «обманные», поскольку они неявным образом уже используют размер молекул. Например, требуемую оценку легко получить из плотности и молярной массы воды и числа Авогадро. Однако число Авогадро, которое связывает микромир с макромиром и «знает» про размеры атомов, в чисто макроскопическом эксперименте не проявляется и само требует экспериментального измерения.

Размер атомов предлагается оценить (разумеется, не точно, а только по порядку величины) на основании именно макроскопических характеристик вещества.


Решение

Размер молекул можно извлечь из плотности, коэффициента поверхностного натяжения и удельной теплоты парообразования. Сделаем это двумя способами.

Способ 1. Жидкость состоит из молекул, но при этом сохраняет свой объем, а не разлетается на отдельные частицы, как газ. Это значит, во-первых, что молекулы в жидкости держатся друг относительно друга на некотором определенном расстоянии, по порядку величины равном диаметру самой молекулы (d), а во-вторых, что каждое парное взаимодействие между молекулами характеризуется некоторой энергией связи (U). Величины d и U — микроскопические, их численные значения мы заранее не знаем.

При испарении жидкость превращается в разреженный газ, в котором все связи между всеми молекулами можно считать разорванными. Удельная теплота парообразования E, измеряемая в Дж/кг, есть просто-напросто сумма всех межмолекулярных энергий связи, которые изначально были в килограмме воды. Помножив удельную теплоту парообразования на плотность ρ и на (неизвестный пока) объем, занимаемый одной молекулой (порядка d3), мы получим энергию связей в расчете на одну молекулу. Эта величина раза в 2–3 больше U — ведь каждая молекула обычно связана с несколькими (4–6) соседями: Eρd3 = 2U.

С другой стороны, явление поверхностного натяжения состоит в том, что всякая свободная поверхность жидкости характеризуется «лишней» энергией, пропорциональной площади поверхности: Eпов = σS. Эту энергию можно легко измерить на опыте и извлечь отсюда коэффициент поверхностного натяжения σ. Микроскопически, эта энергия возникает из-за того, что в самом приповерхностном слое жидкости есть молекулы с «неработающими связями», то есть со связями, которые торчат наружу, в пустоту, а не замкнуты на соседние молекулы. Таких связей мало, скажем одна на каждую молекулу, и энергия этой «неработающей связи» примерно равна U. Поскольку каждая поверхностная молекула занимает площадь примерно d2, эту же величину U можно записать как σd2.

Приравнивая величину U, полученную этими двумя способами, находим типичный размер: d = 2σ/Eρ.

Способ 2. Возьмем сферическую каплю жидкости и разделим ее на две капли. Суммарный объем не изменился, но площадь поверхности возросла, а значит, возросла и энергия поверхностного натяжения. Поэтому на такое разделение нам надо затратить энергию, равную разности поверхностных энергий вначале и в конце. Будем дробить каплю всё дальше и дальше, пока не дойдем до «капель» размером с молекулу. Строго говоря, при таких размерах про поверхностное натяжение уже говорить нельзя, но для самых грубых оценок можно тем не менее сосчитать получившуюся «суммарную площадь поверхности», домножить ее на σ и найти, какую энергию надо затратить на такое разделение. Но разделение жидкости на отдельные «капли» размером с молекулу и есть процесс парообразования. Таким образом тоже можно получить формулу наподобие приведенной выше, но только с чуть отличающимся численным коэффициентом.

Осталось подставить числа. Плотность воды 1000 кг/м3, коэффициент поверхностного натяжения 0,07 Дж/м2, удельная теплота парообразования 2,3 МДж/кг. Размер молекулы отсюда получается 0,6·10–10 м. Это примерно в 3 раза меньше реального размера молекулы, что совсем неплохо для столь грубой оценки.


Послесловие

Это, конечно, не единственный способ узнать размеры молекул на основании макроскопических данных, однако все подобные методы дают лишь очень грубую оценку по порядку величины. Намного более аккуратно измерить размеры можно при рассеянии рентгеновских лучей (а также электронов или нейтронов) с длиной волны меньше нанометра на кристаллах. Дифракционный узор показывает не только размеры кристаллической ячейки, но и рассказывает о том, как атомы в ней расположены друг относительно друга.

Интересно отметить, что еще в начале XX века далеко не все ученые придерживались атомистической картины строения вещества. Ключевыми моментами, доказавшими реальность молекул, было описание Эйнштейном броуновского движения и закона диффузии, а также обнаружение Перреном седиментационного равновесия (Нобелевская премия по физике за 1926 год). В обоих экспериментах микроскопически частицы вещества, размер которых можно было определить через наблюдение в микроскоп, вели себя в чём-то похоже на отдельные молекулы вещества, что и позволило «навести мосты» между микромиром и миром повседневных явлений.


6
Показать комментарии (6)
Свернуть комментарии (6)

  • Albert  | 03.06.2011 | 13:32 Ответить
    Можно использовать уравнение PV=NkT (Водяной пар). Причем постоянную Больцмана можно найти не через постоянную Авогадро, а через уравнение Планка (тепловое излучение). Объем равен произведению числа молекул на объем одной молекулы. По грубым оценкам получается 3*10 ^-10 м
    Ответить
    • Albert > Albert | 04.06.2011 | 14:08 Ответить
      Возьмем например 1 кг насыщенного водяного пара. Мы знаем (по справочнику) зависимость плотности и давления пара от температуры. Чем ниже температура, тем меньше отклонение от модели идеального газа. Например, при Т=273 К давление пара р=610 Па, плотность пара = 4,8*10^-3 кг/м^3. Подставляем эти значения в уравнение РV=NkT (Объем пара = 1 кг делим на плотность пара) и находим количество молекул воды в насыщенном паре N = 0.337*10^26 молекул. Отсюда найдем массу одной молекулы воды - 1 кг делим на N и получаем, что масса молекулы воды равна 3*10^(-26)кг. Теперь можем найти объем одной молекулы воды, т.к. объем жидкости ( произведение N на объем одной молекулы) равен отношению массы жидкости (произведение N на массу молекулы) к плотности воды (1000 кг/м^3). Объем молекулы равен 3*10^-26 кг/1000 кг/м^3 = 3*10^-29 м^3. Отсюда находим приблизительный диаметр молекулы воды D = 3.8*10^-10 м.
      Ответить
  • Albert  | 05.06.2011 | 14:31 Ответить
    Оценить размер молекулы воды можно еще другим способом. Рассмотрим плоскую модель.Поверхностная энергия будет равна произведению поверхностного натяжения на количество молекул на поверхности и на половину площади сферической молекулы (предполагаю, что молекулы расположены вплотную друг к другу).
    E = 2πr^2*N*σ. Далее допустим, что поверхностная энергия переходит в кинетическую энергию молекул насыщенного пара E = 1/2mNv^2, где m - масса молекулы воды, v^2 - среднее значение квадрата скорости.
    Приравняем:
    2πr^2*N*σ = 1/2mNv^2
    Умножим левую и правую части уравнения на множитель 1/3r
    4/3πr^3*N*σ = 1/3rmNv^2
    Замечаем, что 4/3πr^3*N - объем жидкости V, а mN/V - плотность жидкости ρ (1000 кг/м^3).
    Отсюда находим, что r = 3σ/(ρ*v^2).
    Теперь оценим v^2 из молекулярно-кинетической теории. Там есть уравнение v^2 = 3р/ρ, где р - давление насыщенного пара, ρ - плотность насыщенного пара (значения возьмем из справочника при Т = 273 К). Таким образом, v^2 = 3*610 Па/0,0048 кг/м^3 = 0.4*10^6 (м^2/c^2).
    Оцениваем
    r = 3*0,073/(1000 кг/м^3*0.4*10^6 м^2/c^2) = 5,5*10^(-10) м.
    Разумеется, это грубая оценка.
    Ответить
    • Albert > Albert | 06.06.2011 | 14:33 Ответить
      Если предположить в данной модели, что сумма поверхностной энергии и кинетической энергии равна теплоте парообразования L*m (L=2.3*10^6 Дж/кг, m=m(молекулы)*N (количество молекул)), тогда получается более точная оценка размера молекулы воды.

      4πr^2*N*σ + 1/2mNv^2 = L*m*N, (1)

      где v^2 - среднее значение квадрата скорости молекул насыщенного пара. Из молекулярно-кинетической теории v^2 = 3р/ρ, где р - давление насыщенного пара, ρ - плотность насыщенного пара (значения возьмем из справочника при Т = 273 К). v^2 = 3*610 Па/0,0048 кг/м^3 = 0.4*10^6 (м^2/c^2).

      Умножим уравнение (1) на (1/3)*r и получаем:

      (4/3)πr^3*N*σ + 1/6rmNv^2 = (1/3)*rLmN

      Замечаем, что (4/3)πr^3*N - объем жидкости V, а mN/V - плотность жидкости ρ (1000 кг/м^3)

      σ + 1/6rρ*v^2 = (1/3)rLρ или σ = (1/3)rρ*(L - 1/2*v^2)

      r = 3σ/(ρ*(L - 1/2*v^2))

      r = 3*0.073/(1000(2.3*10^6-1/2*0.4*10^6)) = 10^-10 м. Значит, диаметр молекулы равен 2*10^-10 м.
      Ответить
  • eklmn  | 05.06.2011 | 22:20 Ответить
    В школьном учебнике по физике был описан такой способ.
    Капнуть подсолнечное масло на воду, оно образует на поверхности воды пятно. Зная объём капли масла и площадь получившегося пятна, легко найти толщину этого пятна - это и есть размер молекул (правда масла, а не воды, но они наверное одного порядка).
    Ответить
  • tin_invy  | 07.06.2011 | 14:32 Ответить
    Считал пользуясь теми же положениями, что и автор три раза. Каждый раз использовал различные подходы к решению задачи. В итоге все время получалось d=6σ/Eρ. Что очень хорошо согласуется с диаметром молекул воды (около 1,6 ангстрем).
    Ответить
Написать комментарий
Элементы

© 2005–2025 «Элементы»