Хоккейная задача

Задача может показаться неприступной из-за того, что в условии практически ничего не задано: ни размеров колечка, ни начальных скоростей скольжения и вращения, ни коэффициента трения. На самом деле это намек на то, что ответ не будет зависеть от этих параметров. Поэтому при решении задачи вы сами можете взять какие-то значения для этих величин, но должны проследить, что они действительно исчезнут из ответа.

Из-за векторного сложения поступательного и вращательного движения разные части кольца движутся относительно поверхности в разные стороны. Поэтому выберите вначале какой-то маленький участок на кольце и сосчитайте, как сила трения, действующая на этот участок, влияет на вращательное и поступательное движение. Затем подумайте, как усреднить эти выражения по всему кольцу.

После этого попытайтесь проанализировать формулы в трех случаях: когда скорости вращения и движения совпадают, а также когда скорость вращения очень мала или, наоборот, очень велика по сравнению с поступательным движением.

Рис. 2. Скорости и силы на маленьком участке кольца

Рассмотрим участок кольца, который находится под углом α к направлению движения (рис. 2). Пусть в данный момент времени скорость центра масс кольца равнялась v, а скорость вращения обода u = ωR, где ω — угловая скорость вращения, а R — радиус кольца. Этот кусочек кольца участвует в поступательном и вращательном движении. Его скорость относительно поверхности показана на рисунке синей стрелкой. Она составляет угол β с направлением поступательного движения, причем

Сила трения, действующая на этот участок, равна по модулю F = μ·mg (здесь m — масса участка кольца) и направлена в противоположную от скорости сторону. У этой силы есть проекция на направление поступательного движения, –F·cosβ, и проекция на касательную к кольцу, которая притормаживает вращение, –F·sin(β – α). У этой силы есть также проекция и на направление вбок от поступательного движения, но при усреднении по всему кольцу эта проекция занулится.

Усреднение по кольцу означает, что мы должны учесть такие участки, расположенные под всеми углами α. С точки зрения всего кольца трение приводит лишь к отрицательному ускорению поступательного движения

и отрицательному ускорению вращательного движения

Угловые скобки здесь означают усреднение по всем углам α. При желании это усреднение можно выразить через интегралы, но это не обязательно.

Заметьте интересную особенность полученных формул, которая возникла после того, как sin(β – α) выразили через синусы и косинусы α и β. При замене u на v выражения для a_u и a_v превращаются друг в друга. Такая «дуальность» задачи автоматически означает, что если бы начальные скорости u и v были равны, то они и ускорения a_u и a_v были бы одинаковые, и значит, соотношение u = v выполнялось бы всегда, до самой остановки. А это, в свою очередь, означает, что вращение и скольжение тогда остановятся одновременно.

Что изменится в случае, когда начальные скорости u и v отличаются? Тогда ускорения тоже будут отличаться, и заранее не понятно, что будет замедляться сильнее. Для того чтобы выяснить, может ли при этом вращение остановиться раньше скольжения, рассмотрим ситуацию, когда скорость вращения u много меньше скорости поступательного движения v. Тогда для поступательного ускорения мы получим примерно a_v = –μg, то есть словно вращения и не было, а для вращательного ускорения a_u получим маленькую величину порядка –μg·u/v («большой» вклад, пропорциональный синусу, занулился после усреднения по всем углам). Более точное выражение в этом пределе такое:

Иными словами, если вращение очень медленное, то оно и замедляется намного медленнее, чем скольжение. Можно сказать и так: относительное замедление вращения (a_u/u) пропорционально относительному замедлению скольжения (a_v/v). Отсюда и следует, что скольжение и вращение не могут прекратиться в разные моменты времени. Интуитивно это может быть понятно из приведенного выше анализа, но строго это доказывается решением (простейшего) дифференциального уравнения.

Более того, коэффициент 1/2 в последнем уравнении играет важную роль. Из-за того, что он меньше единицы, оказывается, что если отношение u/v очень мало, то с течением времени оно будет увеличиваться. Поскольку задача математически симметрична относительно замены поступательного движения на вращательное, отсюда можно заключить, что если отношение u/v очень велико, то с течением времени оно будет уменьшаться. Мы приходим к простому выводу: какими бы ни были начальные скорости u и v, с течением времени они будут не только синхронно уменьшаться, но и всё больше приближаться друг к другу.

Тот факт, что вывод не зависит от конкретного соотношения между начальными скоростями вращения и скольжения, имеет простое математическое объяснение: уравнение для отношения u/v имеет «устойчивую неподвижную точку» u/v = 1. Это значит, что каким бы ни было начальное значение u/v, за счет взаимного влияния вращения и скольжения система сама стремится к этому значению.

Если бы мы вместо кольца взяли однородный плоский диск, то вывод о существовании устойчивой неподвижной точки остался бы в силе, но ее значение сдвинулось бы и составило примерно 1,53. А если бы вместо плоского диска мы взяли выпуклую или вогнутую форму («чашку», поставленную прямо или вверх дном), то устойчивая неподвижная точка исчезла бы, и тогда вращение и скольжения прекращались бы в разные моменты времени.

Любопытно, что эта довольно-таки простая по постановке задача была проанализирована совсем недавно. Первые подробные расчеты были опубликованы в журнале American Journal of Physics в 1985 году (статья так и называлась On the motion of an ice hockey puck, «К вопросу о движении хоккейной шайбы»). Анализ более сложных случаев был проведен в статьях 2003-го и 2006-го года, а также в последующих публикациях (про одну из них мы писали в новости Физики изучают удивительные законы скольжения вращающихся тел). Тогда же были поставлены и прямые эксперименты, которые подтвердили расчеты. Эта система оказалась неожиданно богата на явления, как с точки зрения математических законов (взаимное влияние поступательной и вращательной степеней свободы), так и возможных прикладных аспектов, например в физике сыпучих материалов.