Движение стержня

Кажется довольно естественным, что если скорость v мала, то стержень так и будет скользить, до самого конца опираясь на стенку. В этом случае связь между скоростями точек A и B находится без труда, и она приводит нас к следующем ответу: скорость точки A в момент удара об пол бесконечна.

Такой ответ, конечно, неудовлетворителен. Дело тут даже не в том, что «бесконечностей в природе не бывает» или «нельзя обогнать скорость света» — от этих возражений при желании можно отговориться. Проблема тут в том, что такой странный ответ возникает в ситуации, которая выглядит вполне реализуемой без каких-либо специальных ухищрений. Мы можем взять легкую палочку длиной 10 см и тянуть ее конец со скоростью 1 см/сек — но ответ нам говорит, что даже при таком скромном усилии мы сможем разогнать предмет до сколь угодно большой скорости! Очевидно (хотя бы на основании закона сохранения энергии), что тут что-то не так. Разнообразные уточнения про свойства палочки, про отсутствие трения и т. д. введены лишь для простоты расчетов и принципиальной картины не меняют.

Ответ «бесконечность» действительно неверен. И получился он не из-за арифметической ошибки в вычислениях, а из-за неоправданного предположения относительно движения стержня, которое было сделано в процессе вычислений. Для того чтобы прийти к правильному ответу, эту оплошность требуется найти и исправить.

Оплошность, про которую шла речь выше, заключается в предположении, что палочка всегда, до самого конца, будет опираться на стенку. На самом деле при некотором небольшом угле палочка начнет отъезжать от стенки, так что свободный конец будет падать свободно, не успевая долетать до стенки. Задача в результате разделяется на два отдельных этапа. Вначале надо доказать, что действительно будет момент отрыва, и найти, при каком угле наклона это произойдет, а уж затем решить отдельно задачу о движущейся и падающей палочке, но уже без стенки.

Для начала давайте получим тот неправильный ответ, который приводит к бесконечности. Если палочка фиксированной длины касается и стенки, и пола, то расстояния x и y по теореме Пифагора связаны соотношением: x² + y² = L². Пусть в какой-нибудь момент угол наклона составляет α. Тогда y/x = tg α.

Рис. 2. Для вычисления связи между скоростями v_A и v_B полезно перейти в систему отсчета точки B. (Рисунок автора задачи)

Скорости скольжения v_A и v_B = v тоже связаны друг с другом из-за нерастяжимости палочки. Для того чтобы найти эту связь, можно перейти в систему отсчета точки B (см. рис. 2). В этой системе отсчета точка B неподвижна, а палочка прокручивается, опираясь на отъезжающую стенку. Скорость точки A в этой системе отсчета обязана быть направлена так, чтобы палочка не растягивалась и не сжималась. Из несложной тригонометрии получаем соотношение: v_A = v·ctg α. Если предположить, что касание со стенкой длится вплоть до самого падения (α = 0), то по этой формуле v_A в этот момент стремится к бесконечности.

Как понять, в какой именно момент палочка перестанет касаться стенки? Для этого надо перейти от кинематики к динамике — то есть надо «почувствовать» все силы, действующие на обе точки A и B, пока стержень касается и стенки, и пола. Подробный баланс сил для обеих точек с учетом того, что они движутся строго вдоль своих стенок, предлагается написать самостоятельно. Вам надо убедиться в том, что отрыв от стенки произойдет именно в тот момент, когда сила напряжения стержня станет равна нулю — то есть когда стержень из «сдавленного» состояния перейдет в «растягиваемое». После этого останется найти тот угол, при котором это происходит, и дальше уже переходить к этапу номер два.

Будем действовать пошагово. Шаг 1 (связь между скоростями точек A и B при двойном касании) уже сделан выше.

Рис. 3. Силы, действующие на оба конца стержня, в случае, когда он касается и стенки, и пола. Красным показаны силы, вызванные сопротивлением материалов, синим — сила тяжести, зеленым — «наша» сила F_our, которая должна удерживать точку B от ускорения. (Рисунок автора задачи)

Шаг 2. Запишем все силы, действующие на точки A и B по горизонтали и по вертикали при двойном касании:

точка A:    х:  –T·cos α + F_A = 0, y:  T·sin α – mg = ma_A,

точка B:    х:  T·cos α + F_our = 0, y:  –T·sin α – mg + F_B = 0.

Здесь F_A и F_B — силы реакции опоры со стороны стенки и пола, которые строго перпендикулярны поверхности, T — сила напряжения стержня, которую мы считаем положительной, если стержень сжат, и отрицательной — если он растянут (поэтому мы и говорим «сила напряжения», а не «сила натяжения»). Напомним, что стержень абсолютно жесткий, поэтому действующие в нём силы — будь то сила сдавливания или сила растяжения — не меняют его длины, но влияют на баланс сил на его концах. Наконец, F_our — это та «наша» сила, которую мы прикладываем к нижней точке, чтобы она двигалась без ускорения, а лишь с постоянной скоростью v. Эта сила неизвестна, и более того, она переменная: в каждый момент времени она подстраивается так, чтобы скомпенсировать другую силу, действующую на точку B по горизонтали.

Заметим, что если сила напряжения может быть как положительной, так и отрицательной, то сила реакции опоры может быть только положительна. Отрицательная сила реакции опоры F_A означала бы, что стержень прилип к стенке, а мы тянем стержень на себя и пытаемся его отодрать. Такого в нашей задаче быть не может, поскольку по условию стержень просто прислонен к стене.

Глядя на эти формулы, легко понять, что происходит в момент, когда стержень перестает касаться стенки. До тех пор пока он на нее опирается, сила F_A положительна, и значит, сила напряжения T тоже положительна. Эта же сила напряжения толкает точку B вперед, значит наша внешняя сила F_our отрицательна, то есть направлена к стенке. Иными словами, для того чтобы конец стержня двигался с постоянной скоростью, мы должны не тянуть его, а подталкивать против движения, сопротивляясь скатывающей силе, передающейся по стержню.

Как только сила напряжения сменится на отрицательную, в точке касания со стенкой перестанет действовать сила реакции опоры: F_A = 0. Тогда никакая больше сила не сможет скомпенсировать горизонтальную проекцию силы T, и точка A в результате начнет двигаться в направлении от стенки. Поэтому именно T = 0 (а следовательно, и F_our = 0) и есть тот момент, когда произойдет отрыв.

Шаг 3. Теперь необходимо выяснить, при каком угле наклона это произойдет. Это можно сделать разными способами, но здесь я хочу продемонстрировать несколько необычный прием. Мы сейчас покажем, что наша задача с математической точки зрения полностью эквивалентна другой задаче, совсем непохожей на исходную. Эту задачу мы сможем решить без труда и тем самым получим ответ на интересующий нас вопрос.

Рис. 4. Задача о скольжении стержня о стенку математически эквивалентна задаче о движении материальной точки по полукруглому холму в ослабленном поле тяжести. (Рисунок автора задачи)

Давайте обратим внимание на траекторию, которую описывает центр масс стержня при соскальзывании. Если стержень касается своими концами и стенки, и пола, то центр масс движется по дуге с радиусом R = L/2, показанной на рис. 4, слева. Если стержень касается только пола, то центр масс может находиться где угодно справа от дуги. Забраться «под дугу» центр масс не может никак. Поэтому исходная задача — соскальзывание стержня вдоль стенки, а затем отрыв от нее — с точки зрения движения центра масс выглядит так: центр масс без трения скользит по полукруглому холму и в какой-то момент срывается с него (см. рис. 4, справа).

Для того чтобы эта словесная аналогия стала полным математическим эквивалентом, перепишем потенциальную и кинетическую энергию стержня в исходной задаче

через массу центра масс (m_cm = 2m), горизонтальную (v_x = v_B/2) и вертикальную (v_y = v_A/2) скорости центра масс, а также его высоту:

Обратите внимание на лишнюю двойку в кинетической энергии; она возникла потому, что кроме движения центра масс стержень еще и вращается, и в нашем простом случае кинетическая энергия вращения равна кинетической энергии движения центра масс. Это означает, что задачу нельзя просто так сводить к движению центра масс. Однако если переписать эти энергии вот так

где M = 2m_cm = 4m, а = g/2, а скорость

то все формулы становятся привычными. Таким образом, мы приходим к выводу: наша задача математически эквивалентна задаче о скольжении одной-единственной материальной точки с массой M = 4m по полукруглому холму радиуса R = L/2 в ослабленном поле тяжести с ускорением свободного падения a = g/2. Всё это происходит также под действием дополнительной горизонтальной силы (аналог F_our), которая обеспечивает постоянство горизонтальной скорости точки (v_x = v/2). Из геометрии видно, что тот угол α, при котором точка срывается с холма, как раз равен углу, при котором стержень отрывается от стенки в исходной задаче. Этот угол и требуется найти.

Эту задачу решить уже несложно. Для того чтобы тело массы M двигалось по окружности радиуса R со скоростью u, надо, чтобы центростремительная сила равнялась Mu²/R. Эта сила в нашем случае складывается из проекции силы тяжести Ma·sin α, а также силы реакции опоры и проекции силы F_our. В момент отрыва две последние силы исчезают, и это позволяет нам наконец-то записать условие на угол α:

Отсюда получаем:

Поскольку синус не бывает больше единицы, а v и L задаются в условии независимо, мы получаем два разветвления задачи: если скорость велика, отрыв произойдет сразу же, и дальше стержень будет падать свободно. Если же скорость достаточно мала (что и предполагалось в условии), то отрыв произойдет не сразу, а при угле α, задаваемом найденной формулой. Стоит также отметить, что ту же самую формулу можно было найти, рассматривая исходную задачу в системе отсчета точки B (рис. 2, справа) и записав центростремительное ускорение для точки A

Шаг 4. Осталось обсчитать свободное падение стержня с начального угла α. Проще всего это сделать, вновь перейдя в (инерциальную) систему отсчета, где точка B покоится (рис. 2, справа, но только без стенки). В этой системе отсчета сила F_our приложена к неподвижной точке, и поэтому она работы не совершает. Значит, в этой системе отсчета можно воспользоваться законом сохранения энергии:

Скорость u₁ — это (вертикальная) скорость точки A в этой системе отсчета в момент удара об пол. Возвращаясь обратно в исходную систему отсчета, получаем окончательный ответ:

Получив в самом начале бесконечность, мы удивились несоответствию этого ответа тем усилиям, которые нужно затратить для экспериментальной реализации такой ситуации. Потом мы, правда, поняли, что этот бесконечный ответ получается из-за предположения, что контакт со стенкой остается до самого конца — предположения, ошибочного для нашей задачи.

Но ведь мы можем рассмотреть и другую задачу, в которой верхний конец стержня действительно физически прикреплен к стенке так, что он может скользить вдоль нее, но не может оторваться. Такая ситуация кажется вполне реализуемой экспериментально. Так как же в этом случае понимать бесконечный ответ? Над этим вопросом я предлагаю читателям подумать самостоятельно.

В заключение я хочу отдельно поговорить про тот прием, который мы использовали в решении задачи на шаге 3. В физике часто бывает так, что совсем разные физические задачи описываются одинаково с точки зрения математики. В нашем примере это были две механические системы, визуально совершенно непохожие друг на друга: первая — это стержень, опирающийся на стенку и ровный пол, вторая — это точка, скользящая по круглому холму, да к тому же в условиях ослабленной гравитации. Однако мы установили между ними «математический мостик», и благодаря ему решение второй задачи автоматически дало решение первой.

Тут надо понимать, что этой второй механической системы в реальности не было. Нет смысла спрашивать: а где на самом деле находится эта странная точка с массой M = 4m и с чего это ускорение свободного падения уменьшилось вдвое? Это был как бы виртуальный мир, который мы построили сами и в котором исходная задача преломилась под новым углом зрения.

В нашем случае это, конечно, делать было не обязательно, поскольку исходная задача достаточно проста. Но в других разделах физики для решения намного более трудных задач такой метод иногда оказывается очень сильным. Про один из самых недавних примеров такого «математического мостика» между совершенно разными разделами физики см. в новости Идеи теории суперструн находят применение в физике конденсированного вещества.