С Новым годом!

Главное в задаче — правильно осознать смысл слов «чаще всего». Вас ведь не слишком удивляет, что в 2011 году можно было использовать календарик от 2005-го? Вот и подумайте... В невисокосном (обычном) году 365 дней — это 52 недели и еще 1 день. В високосном на 1 день больше.

На первый взгляд кажется, что в табличке «день недели — годы, которые с него начинаются» прослеживается цикл из 28 лет. Например, если табличку начать с 2001 года (который начинался с понедельника), то 2029-й год будет точно таким же — первым после високосного, начинающимся с понедельника...

Всегда ли так будет? Не торопитесь с ответом. Кстати, а почему русская православная церковь отмечает рождество в январе, а католики — в декабре?

Повторим то, о чем говорилось во второй подсказке: в табличке «день недели — годы, которые с него начинаются» прослеживается цикл из 28 лет.

Стандартный цикл (на примере 2001–2028 гг.):

Таким образом, за 28 лет год начинается с каждого дня недели ровно по 4 раза. Казалось бы, так будет всегда, и значит, ответ на задачу — «все дни являются началом года одинаково часто»? Не торопитесь.

Дело в том, что наш календарь не так прост, как многим кажется: он не юлианский, а григорианский, и полный цикл високосных лет в нём состоит не из 4 лет, а из 400 (см. «Послесловие» об истории календаря и его реформ). В частности, 2100, 2200 и 2300 годы не будут високосными. Разберемся, как это влияет на решение задачи.

Цикл 2001–2028 повторится еще дважды: 2029–2056 и 2057–2084. А дальше нужно смотреть, что происходит на границе столетий, между которыми 7 невисокосных лет подряд.

Длинный цикл 2085–2124:

Здесь «цикл» удлиняется и составляет уже 2124 – 2084 = 40 лет, при этом так как 40 не делится на 7, то не все дни недели могут начинать год одинаково часто (см. правый столбец) — например, в приведенной табличке понедельник и среда встречаются на 1 раз меньше, чем остальные.

Затем снова идут стандартные циклы 2125–2152, 2153–2180, «длинный» цикл 2181–2220, стандартные циклы 2221–2248, 2249–2276, «длинный» цикл 2277–2316 и, наконец, три стандартных 2317–2344, 2345–2372, 2373–2400. То есть 2401-й год не просто начинает новое 400-летие григорианского календаря, но и начинается с того же дня недели (понедельника), что и 2001-й. А это означает, что для решения задачи нам достаточно сосчитать количество начал года по каждому дню недели ровно в одном 400-летнем цикле!

Поскольку мы уже знаем, что в стандартном цикле всех дней недели поровну, то разбираемся только с двумя «длинными» циклами.

Длинный цикл 2181–2220:

Длинный цикл 2277–2316:

Всего в трех «длинных» циклах год начинается с понедельника и субботы по 16 раз, со среды и четверга — по 17, а со вторника, пятницы и воскресенья — по 18 раз. В десяти стандартных циклах каждый день недели служит началом года по 40 раз. Всего же получается по 56 понедельников и суббот, по 57 четвергов и сред, по 58 вторников, пятниц и воскресений

Таким образом, правильный ответ на задачу — вторниками, пятницами, и воскресеньями. Кстати, 2012 год как раз начнется с воскресенья. С наступающим вас Новым годом! Счастья, радости и многих успешно решенных задач!!

Как ни странно, почти никто не знает истории современного календаря и не задумывается над тем, как он устроен. Это не голословное утверждение: многие из читателей наверняка помнят «вторую ошибку 2000 года» — не ту, из-за которой приходилось переписывать горы старого программного обеспечения, а ту, когда во всех газетах и по всем телеканалам трубили, что 1999 год завершает двадцатый век, а 2000-й — открывает новое тысячелетие.

Кстати, самым остроумным (и точным!) ответом на это распространенное заблуждение был такой: «Второй ящик водки начинается с 21-й бутылки, а не с 20-й».

Что-то я отвлекся от темы. Впрочем, отвлекусь еще раз — расскажу о том, как создавался наш календарь. (Когда-то я уже очень подробно писал об этом в журнале «Компьютерра» в далеком 1998 году.)

Мы ведем отсчет лет «нашей эры» от рождества Христова, однако во времена Христа, естественно, летосчисление было другим. Тогда годы отсчитывались «от основания Рима», а позже римляне и подчиненные им провинции перешли на «эру Диоклетиана». Первым, кто предложил перейти к отсчету от рождества Христова (от р. Х.), был александрийский астроном и монах Дионисий Малый. Было это в VI веке н. э. При этом основной заслугой Дионисия была разработка удобных алгоритмов для расчета пасхалий (а с ними — и всего годичного круга церковных праздников).

С хронологией Дионисия согласились далеко не все и далеко не сразу, но так или иначе к середине XV века римская церковь безоговорочно приняла счет лет от р. Х., и церковные праздники оказались очень прочно связанными с солнечным и лунным календарями. И вот тут вскрылись проблемы... Главная из них заключалась в том, что день весеннего равноденствия — 21 марта — был сочтен неподвижной границей для празднования Пасхи на все времена. При этом сам календарь, предложенный еще во времена Юлия Цезаря (каждый четвертый год — високосный, то есть средняя продолжительность года принята равной 365,25 дней) был немного длиннее реального солнечного, поэтому момент весеннего равноденствия в нём просто не мог быть неподвижным! Благодаря этому в историю календаря вошел римский папа Григорий XIII.

Длина тропического года — времени обращения Земли вокруг Солнца — примерно 365,2422 суток. Следовательно, юлианский календарь каждый год накапливает ошибку примерно в 0,0078 суток, а ошибка в целые сутки набегает за 128 лет. За века, прошедшие с введения юлианского календаря до 1582 года, точка весеннего равноденствия «убежала» с 21 марта на 11 марта. Поэтому папа Григорий XIII в феврале 1582 года издал специальную буллу о календарной реформе. Эта булла предписывала изъять из календаря 1582 года все дни от 5 октября до 14 октября включительно (так что следующим днем после четверга 4 октября стала пятница 15 октября), а впредь исправить календарную систему так, чтобы из каждых 400 лет было не 100 високосных, а всего 97. Этот календарь получил название григорианского и сохранился по сей день.

В соответствии с волей папы Григория годы 1700-й, 1800-й и 1900-й были невисокосными и состояли из 365 дней. 2000-й год, как мы помним, был високосным, а за ним снова последуют три невисокосных — 2100-й, 2200-й и 2300-й. Такой календарь тоже небезупречен: ведь 97/400 тоже не равны дробной части тропического солнечного года. Но, в отличие от прежнего календаря, ошибка в сутки теперь накапливается не за 128, а за 3250 лет. Иными словами, на наш век точности этого календаря вполне хватит.

В России же всё происходило с изрядным опозданием. Христианское летосчисление и январское новолетие было введено только в конце 1699 года указом Петра I, по которому («лучшего ради согласия с народами европейскими в контрактах и трактатах») год, начинавшийся после 31 декабря 7208 года от сотворения мира, стал считаться 1700 годом от Рождества Христова. Тем не менее юлианский календарь в России сохранялся вплоть до Октябрьской революции. Григорианский календарь был введен в России в 1918 году декретом Совнаркома, согласно которому в 1918 году после 31 января следовало 14 февраля. Именно поэтому разница между юлианским счетом дней («старым стилем») и григорианским («новым стилем») у нас составляет не 10 дней, как было во времена папы Григория, а целых 13.

Впрочем, даже если бы григорианский календарь был образцом точности в момент своего создания, он не смог бы им оставаться навсегда, потому что сама продолжительность года немного меняется. Принято считать, что вращение Земли вокруг своей оси постепенно замедляется, а продолжительность суток — увеличивается. Соответственно уменьшается число суток, укладывающихся в одном году. Этот эффект задается приближенной формулой Ньюкома:

1 год = 365,24219879 – 0,0000000614 × (№ года — 1900).

В частности, григорианский календарь был бы совсем точным примерно 5000 лет назад, а с каждым годом его погрешность чуть-чуть растет... Но это уже тема для задачи по астрономии...