Оптическая сила летящей линзы

Для разрешения парадокса и выяснения того, чему же на самом деле равно фокусное расстояние, надо понять, что происходит со светом, когда он проходит через линзу.

Обычно при изучении линз рисуют тонкие лучи света и используют законы преломления. Если параллельный пучок лучей начинает сходиться в одну точку, то это и есть фокус. Но есть и другой способ — взять плоский фронт начальной световой волны и сосчитать фазовый сдвиг, который набегает после прохождения линзы. Этот фазовый сдвиг оказывается квадратично зависящим от расстояния до оси линзы. Из-за этого фронт световой волны (то есть поверхность одинаковой фазы) превращается из плоского в кусочек сферического фронта, а сферический фронт как раз и означает, что волна сходится в центр (см. анимированную картинку).

Таким образом, для решения задачи надо выяснить, как изменяется плоский фронт волны после того, как сквозь него пролетела линза.

Покажем, как вычисляется набег фаз, а значит, и фокусное расстояние, для неподвижной линзы.

Бегущую вдоль оси z волну можно описать функцией cos(kz – ωt), где ω — это частота волны (характеризует периодичность во времени в фиксированной точке), а k — волновое число (характеризует пространственную периодичность вдоль оси z в фиксированный момент времени). Величины ω и k связаны друг с другом: ω/k = v, скорость волны. Выражение, которое целиком стоит внутри косинуса, называется фазой волны, φ, и она зависит от координаты и времени.

Рис. 2. При прохождении сквозь стекло световая волна получает дополнительный набег фазы, который тем больше, чем больше толщина стекла. Из-за этого изначально плоский световой фронт (то есть поверхность постоянной фазы) искривляется и становится похожим на участок сферического фронта. Рисунок автора задачи

Пусть световая волна на своем пути встречает неподвижную пластинку толщиной d из прозрачного материала с показателем преломления n. Внутри стекла частота колебаний световой волны ω остается той же, но скорость света падает в n раз, и значит, k возрастает в n раз. Поэтому внутри стекла фаза меняется с координатой быстрее, чем в вакууме. Если на передней кромке стекла фаза была равна нулю, то на задней кромке в тот же самый момент времени фаза равна nk₀d, где k₀ = ω/c. В вакууме эта фаза составила бы k₀d. Таким образом, стекло привносит дополнительный набег фазы, равный Δφ = (n – 1)k₀d.

В случае линзы толщина стекла не постоянна, а зависит от координаты x, то есть от того, насколько мы удаляемся от оси линзы (см. рис. 2). Для двояковыпуклой линзы с одинаковыми радиусами кривизны R толщина стекла зависит от x таким образом:

Точнее говоря, это выражение написано для идеальной параболической линзы, а сферические линзы чуть-чуть от этого закона отличаются. Однако этим отличием (которое, кстати, приводит к сферическим аберрациям в оптике) мы пренебрегаем, поскольку линза тонкая и маленькая.

Получается, что дополнительный набег фазы будет меняться с координатой x: чем больше x, тем меньше толщина стекла и тем меньше набег фазы. Значит, для того чтобы нарисовать поверхность постоянной фазы, нам надо еще пройти вперед на некоторое расстояние Δz:

Этот фронт приблизительно совпадает с кусочком сферического фронта с радиусом кривизны

Величина f₀ и является фокусным расстоянием такой линзы, именно туда будет фокусироваться фронт световой волны.

Теперь остается сделать подобное вычисление для движущейся линзы.

Начнем с ответа. Второе рассуждение из условия задачи применимо без каких-либо оговорок, так что правильный ответ — фокусное расстояние уменьшается в γ раз, то есть фокус летит за линзой на расстоянии f = f₀/γ. В первом рассуждении был «подводный камень»: интуитивные ощущения касательно связи оптической силы линзы с ее кривизной работают лишь для неподвижных линз. Летящая же линза дополнительно увлекает за собой свет, когда он движется в стекле. Свет, с точки зрения наблюдателя, может даже двигаться в противоположную сторону, если скорость линзы достаточно близка к c. Поэтому движущаяся линза даже с уплощенным профилем сильнее искажает волновой фронт световой волны. Можно сказать, что у движущейся линзы изменился коэффициент преломления, поэтому она стала искажать световую волну сильнее.

Рассчитаем этот эффект явно, повторив предыдущее вычисление для движущейся линзы. Это можно сделать разными способами; мы используем такой: зафиксируем координату, подождем, пока пластинка толщиной d = d₀/γ пролетит сквозь эту точку (здесь d₀ — толщина пластинки в системе покоя), сосчитаем набег фазы, а затем сравним с набегом фазы в вакууме.

Пусть в системе покоя пластинки частота световой волны была ω₀, а волновое число было: k₀ = ω₀/c в вакууме и k = n₀ω₀/c в стекле. Тогда в новой системе отсчета, в которой пластинка летит навстречу световому потоку, частота световой волны в вакууме (ω₁) и в стекле (ω₂) будет

Эти выражения (то есть закон Доплера для световой волны) можно легко получить из исходной волны cos(kx – ωt), сделав преобразования Лоренца для координат и времени. Время пролета пластинки составляет τ = d/v = d₀/γv. Поэтому разность набега фазы в случае с пластинкой и без нее составит

Применив этот результат для параболической линзы, получим фазовый фронт

Величина f₁ показывает, на каком расстоянии от начальной точки сфокусируется получившаяся волна. Однако она еще не является истинным фокусным расстоянием, потому что за это время сама линза сдвинется на некоторое расстояние. Истинное фокусное расстояние будет равно

что совпадает с ответом, полученным другим способом.

Несмотря на то, что знаменитая статья Эйнштейна 1905 года про теорию относительности называлась «К электродинамике движущихся сред», задачи на эту тему не так популярны, как про «релятивистский поезд», «релятивистский трактор» или «релятивистскую подводную лодку». Тем не менее задача про релятивистскую линзу довольно богата; в ней есть и другие интересные вопросы, над которыми полезно подумать.

Релятивистская линза — вовсе не такая вымышленная ситуация, как может показаться на первый взгляд. Например, в астрофизике свет могут отклонять любые массивные тела за счет эффекта гравитационного линзирования. Если сам гравитирующий объект движется c околосветовой скоростью, то он будет играть роль релятивистской линзы (подробная теория этого эффекта была построена относительно недавно).

Далее, если вместо света взять заряженные частицы, например протоны, которые пролетают через магнитные фокусирующие системы в ускорителе, то с точки зрения протонов на них налетает ультрарелятивистская магнитная линза. Наконец, еще одна ситуация, которая отдаленно напоминает эту задачу, — это столкновение ультрарелятивистских ядер, при которых рожденные частицы вынуждены продираться сквозь быстролетящую среду.