Горячие электроны
Как известно из повседневного опыта, тепло перетекает от нагретых тел к холодным, и эта теплопередача тем эффективнее, чем лучше тепловой контакт между телами. Если же горячее и холодное тело — это две смешивающиеся жидкости, а тем более два перемешанных газа, то теплопередача между ними столь сильна, что их температуры (даже если они изначально были разные) моментально выравниваются.
Однако как бы ни была быстра эта теплопередача, современная экспериментальная физика умудряется ее «обогнать». Если у вас есть смесь двух газов, то можно так резко нагреть один из газов, что на короткое время возникнет сильный перепад температур, и лишь потом они выровняются. Именно такая ситуация имеет место, когда тело поглощает сверхкороткий (длительностью меньше пикосекунды) и сверхмощный лазерный импульс (пиковая мощность может достигать петаватт). Кванты света, фотоны, поглощаются электронами, энергия которых за счет этого возрастает. Если фотонов было много и пришли они очень компактной «группой», то в месте поглощения светового импульса возникает горячий электронный газ.
Ядра атомов напрямую фотоны практически не поглощают, и потому в самый первый момент времени они остаются «холодными»: они еще не «знают» о том, что электронный газ уже нагрелся. В результате в течение короткого промежутка времени в твердом теле могут сосуществовать «холодная» ионная кристаллическая решетка и горячий (с температурой десятки тысяч градусов!) электронный газ. Затем горячие электроны, быстро двигаясь и сталкиваясь с ионами, начинают передавать им свою энергию. Кристаллическая решетка тоже нагревается (и плавится) — но только спустя некоторое время. В предлагаемой задаче мы и попытаемся оценить это время.
Для того чтобы максимально упростить задачу, построим простейшую механическую модель явления. Рассмотрим газ, состоящий из легких частиц массы m (электроны) и тяжелых частиц массы M (ионы). И тех, и других — поровну, они хаотично перемешаны, а среднее расстояние между частицами равно d (размерами самих частиц пренебрегаем). В начальный момент времени легкие частицы имеют скорость v1, а тяжелые — скорость v2. Мы хотим изучить ситуацию, когда газ легких частиц горячее, а значит, их кинетическая энергия больше кинетической энергии тяжелых частиц. Последнее упрощение состоит в том, что газ будет считаться одномерным — частицы двигаются лишь вдоль одной прямой и, сталкиваясь, упруго отскакивают друг от друга (рис. 1).
Задача
Опишите, как в дальнейшем будет перетекать тепло от горячего электронного газа к холодному ионному, и найдите время, спустя которое их температуры примерно сравняются. Затем подставьте типичные числа (d равно межатомному расстоянию, скорость электронов примерно 1/1000 скорости света) и получите численную оценку этого времени.
Подсказка
Передача тепла на микроскопическом уровне означает, что после столкновений средняя кинетическая энергия тяжелых частиц растет, а легких частиц — уменьшается. Поэтому надо вначале сосчитать, как меняется кинетическая энергия легкой и тяжелой частиц при столкновении с заданными скоростями v1 и v2.
На рис. 1 видно, что есть два варианта столкновения: когда легкая и тяжелая частица летят навстречу друг другу и когда легкая частица догоняет тяжелую. В хаотичном газе и те, и другие столкновения будут происходить примерно с одинаковой частотой (точнее, в этих двух случаях слегка отличается скорость сближения, но этим различием можно пренебречь). Поэтому описанное вычисление надо проделать для обоих случаев и найти среднее. После этого должно стать понятным, как средние кинетические энергии изменяются со временем.
Решение
Рассмотрим сначала случай, когда легкая частица догоняет тяжелую (см. рис. 2). Столкновение абсолютно упруго, и для того, чтобы найти скорости частиц после столкновения, достаточно аккуратно записать законы сохранения энергии и импульса и решить систему уравнений. Но еще проще перейти в систему центра масс. Эта система отсчета движется вперед со скоростью
В этой системе отсчета скорости частиц уже будут направлены друг к другу, причем
Удобство системы центра масс состоит в том, что в ней после столкновения скорости v и u просто меняют направление на противоположное, но не изменяются по модулю. Это позволяет легко найти скорости частиц после столкновения в исходной системе отсчета:
Изменение кинетической энергии тяжелой частицы составляет
Можно проверить, что первая частица теряет ровно такую же энергию, так что полная энергия системы частиц сохраняется.
Теперь надо повторить вычисления для случая, когда тяжелая частица летит со скоростью v2 не прочь от легкой частицы, а навстречу ей. Этот расчет приводит к такому же ответу, в котором просто изменен знак перед v2:
Остается взять полусумму этих двух изменений энергии и получить среднее изменение энергии второй частицы:
Полученный ответ имеет очень простую термодинамическую интерпретацию. Покуда кинетическая энергия легких частиц больше кинетической энергии тяжелых частиц, энергия будет в среднем передаваться от легких к тяжелым. Передача энергии прекратится, когда средние кинетические энергии частиц сравняются. Поскольку температура такого простейшего газа определяется средней кинетической энергией частиц, мы получаем естественный закон: тепло будет перетекать от горячего электронного газа к холодному ионному, пока их температуры не сравняются. Те, кто знаком с дифференциальными уравнениям, легко увидят, что температура обоих компонентов газов будет с течением времени стремиться к одинаковому значению по экспоненциальному закону.
У полученного ответа есть еще одно важное свойство: если массы частиц сильно различаются, передача энергии идет очень неэффективно. За один удар тяжелая частица в среднем приобретает лишь мизерную долю, 4m/M, от разности энергии. Это означает, что для того, чтобы ионный газ существенно нагрелся, требуется примерно M/4m столкновений. Отсюда получаем оценку времени нагрева ионной решетки горячим электронным газом:
Осталось подставить числа. Среднее время между столкновениями составляет
Послесловие
Эксперименты, при которых вещество поглощает очень короткий и сверхмощный световой импульс, — это самая настоящая современная физика. В таких экспериментах исследователей интересует, что происходит с веществом в таких экзотических условиях (как оно плавится, через какие фазы проходит, что происходит с его магнитными свойствами и т. д.), а также в какой степени этим поведением вещества можно управлять.
Конечно, наш анализ был исключительно упрощенный, и мы закрыли глаза на большое число сложностей, которые возникают при описании электронов и их взаимодействия с ионами в реальном веществе. Но даже эта простая оценка дала нам число, не слишком сильно отличающееся от результата более точного расчета (порядка 1 пс).
Напоследок стоит рассказать про одну интересную особенность того состояния вещества, которое возникает при поглощении мощного короткого светового импульса. Эксперименты, проведенные в начале 2000-х годов, показали, что плавление кристаллической решетки может протекать исключительно быстро, за доли пикосекунды. Это совсем не вяжется с описанным выше тепловым механизмом плавления кристалла: ведь для того, чтобы нагреться за счет столкновения с электронами, требуется как минимум пикосекунда! Значит, должен существовать какой-то иной, нетепловой механизм плавления кристалла.
Разгадка вот в чём. Когда вещество поглощает сверхмощный световой импульс, в этот процесс вовлекается очень много электронов. Даже те электроны, которые раньше спокойно сидели и обеспечивали химическую связь между ионами вещества, тоже поглотили фотоны и стали частью горячего электронного газа. Получается, что у вещества разрушилась химическая связь. Ионы, которые раньше удерживались этими силами в узлах кристаллической решетки, вдруг почувствовали себя относительно свободными — и тут же полетели прочь со своих «насиженных мест». Макроскопически это и означает, что кристалл начал плавиться несмотря на то, что ионы еще не успели нагреться.
Таким образом, при поглощении короткого и мощного светового импульса вещество может перейти в состояние с новой, экзотической химией, нереализуемой в обычных условиях.
-
Первый способ. Мы должны рассматривать неквантовый электронный газ (классический), чтобы не усложнять задачу. Для металлов температура вырождения составляет порядка 10^4 K (горячий электронный газ). И предположим, что этот газ движется за счет диффузии. Согласно формуле Друде (объясняет закон Видемана-Франца) удельная электропроводность σ = n*e^2*t/m (n - число электронов, t - время).
Кроме того, σ = n*e^2*t/m = n*e*μ, где μ - подвижность и μ= et/m.
Из формулы Эйнштейна следует, что D/μ = kT/e (частицы подчиняются распределению Максвелла и температуры в смеси могут быть разными). Получаем, что D = (kT/m)*t (1).
Предположим, что квадрат смещения частицы равен квадрату межатомного расстояния (d = 10^-9 m). Тогда d^2 = D*t (без учета всяких коэффициентов!) (2).
Объединяем (1) и (2) и находим время:
t = d*(m/kT)^0.5. Замечаем, что t = d/v, где скорость электронов v = (kT/m)^0.5 = 0,388*10^6 м/c (т.к. Т = 10^4 К)
Время составляет 2,5 фс.
Второй способ с применением закона Кулона.
Изменение импульса в единицу времени равно кулоновской силе притяжения электрона к иону. Предположим, что частицы несут одинаковый заряд е (что является грубым допущением).
Δp/Δt =k*e^2/d^2
Будем рассматривать без учета диэлектрической проницаемости среды, дебаевского радиуса экранирования, пусть длина свободного пробега (не всегда применимо для заряженных частиц, потому что они взаимодействуют на расстоянии) составляет d = 10^-9 m. Кроме того, электроны должны испускать фотоны и т.д.
В изменение импульса огромный вклад вносит начальная скорость электрона 0,4*10^6 m/с.
t = (mv/ke^2)*d^2 = 1.6 фс.
И третий способ. Можно предположить, что при плавлении кристаллической решетки частицы выпрыгивают из равновесного состояния. Вероятность этого процесса W = ν*e^(-U/kT), где ν порядка 10^12 - 10^13 1/c и Эта вероятность пропорциональна коэффициенту диффузии.
Разумеется, все эти оценки очень грубы и не учитывают другие физические процессы, а также можно применить и высший математический анализ для решения этой задачи. Но гораздо интереснее решать физические проблемы детским способом.-
Кандидат физико-математических наук Сергей АШИТКОВ.
Когда на вещество действуют так называемые умеренные (10^(11) −10^(13) Вт/см2) потоки излучения, происходят интересные явления — неравновесный нагрев и релаксация электронов и ионов, сверхбыстрые фазовые превращения, генерация ударных волн. Исследования этих явлений позволяют подойти к решению фундаментальных физических вопросов, связанных с электронно-фононным взаимодействием, кинетикой фазовых переходов и другими процессами в твердых телах, проявляющимися в фемто- и пикосекундном диапазонах.
Еще в 1979 году мы первыми наблюдали новый эффект: при нагреве пикосекундными импульсами металла электроны проводимости разогреваются до 10 000 градусов, а решетка остается холодной — менее 1000 градусов. При этом горячие электроны излучают свет, то есть имеет место высокотемпературное свечение холодного металла. Наши работы вызвали вал исследований неравновесного нагрева электронов и решетки металла во всем мире. Мы первыми начали и первыми же бросили — началась перестройка. А в мире работы продолжались, родилось целое направление: было интересно, как же происходит электронно-фононный теплообмен.
В последние годы мы исследовали фазовые превращения при неравновесном нагреве электронной, спиновой и фононной подсистем поверхности металлов, ферромагнетиков, полупроводников и графита лазерными импульсами фемто- и пикосекундной длительности. Впервые получены данные о динамике возбуждения и релаксации электронно-дырочной плазмы с высокой плотностью свободных носителей, плавления и абляции поверхностного слоя широкозонных полупроводников при воздействии инфракрасных ультракоротких лазерных импульсов, которые слабо поглощаются кремнием и арсенидом галлия.
Актуальность этих исследований обусловлена развитием современной лазерной индустрии прецизионной обработки материалов, наномодификации поверхности, нанесения покрытий с использованием фемтосекундных импульсов.
В индустрии производства тонкопленочных многослойных солнечных элементов нового поколения лазерные технологии обработки фактически не имеют конкурентов. Они позволяют обрабатывать поверхностные нанослои материала без повреждения других слоев. Применение фемтосекундных технологий позволяет уменьшить характерные масштабы дефектных зон до нескольких десятков нанометров. При воздействии фемтосекундного импульса с интенсивностью ниже порога абляции в поверхностном слое возникают наноструктуры. При этом он начинает сильно поглощать свет — образуется «черный» кремний, который почти полностью поглощает свет и может значительно повысить эффективность солнечных батарей. Эти технологии наиболее востребованы для изготовления космической аппаратуры, не требующей больших объемов производства.
http://www.rusnanoforum.ru/Post.aspx/Show/27719 -
А что за величину вы в результате получили? Первые два способоа вам дали характерное время между столкновениями электронов, а для плавления решетки надо домножить еще на фактор порядка M/m (в этом и суть задачи). Третий способ к этой задаче вообще не относится. Ну и отмечу, что это всё не «детский способ», а как минимум уровень технического вуза. А тут предлагаемые задачи должны использовать знания и навыки не выше школьных.
-
Модель с упругими шарами взята из молекулярно-кинетической теории газов (рассматривают столкновение молекул с движущимся поршнем и рассматривают случай, когда отсутствует теплообмен). Интересно было бы применить кинетическое уравнение Больцмана к этой задаче.
Третий способ относится, оказывается, к задаче. См последний мой комментарий.
-
-
-
-
К сожалению, на этом сайте не предусмотрены удобные средства в виде вставок в сообщение картинок или кодов LaTeX для красивого отображения формул. Но попытаюсь в общих чертах:
За один акт столкновения среднее приращение энергии тяжелой частицы:
DE = (8m/M)*(e-E)
где e - энергия легкой частицы до соударения, E - энергия тяжелой частицы до соударения (e>E).
Далее я пытаюсь придать этой записи вид дифференциального уравнения.
Избавимся от e:
введем W=e+E=Const - полная энергия.
В конце теплообмена должно быть: e=E=W/2
Один акт столкновения длится: T=d/v_1
За время dt произойдет dN штук столкновений: dN=dt/T=(v_1/d)dt
За время dt изменение энергии тяжелой частицы dE=DE*dN
Итого, используя ранее введенные обозначения:
dE/dt = (8m/Md)Sqrt[2m(W-E)]*(W-2E),
где я просто избавился от v_1 = Sqrt[2m(W-E)].
Это уравнение для неизвестной функции E(t). Оно просто решается, если положить v_1=Const
dE/dt = (8m*v_1/Md)*(W-2E)
Его решение: E = W/2 - (W/2-E_0)*Exp[-t/tau]
Где E_0 - начальная энергия тяжелых частиц
tau=(число порядка 1)*Md/mv_1 - время релаксации.-
Спасибо за ответ. Очень интересно.
Температура меняется по экспоненциальному закону: Т(t) = To*exp(-kt), т.к. dT = -kTdt.
У меня была такая мысль, что можно уравнение диффузии попытаться применить к этой задаче.
Пусть р(x,t)- вероятность нахождения двух частиц на расстоянии х друг от друга в момент времени t. Тогда уравнение диффузии запишем в виде:
частная производная р(x,t) по времени dp/dt = D*оператор Лапласа для р.
Решение должно выглядеть как p(t)пропорциональна exp(-kt), где k связана с коэффициентом диффузии D,а t- время, определяющее частоту соударений. И эта вероятность, наверное, должна быть равна вероятности W выпрыгивания иона из своего оседлого состояния (W = ν*exp(-U/kT), где ν^12 1/c).-
Время можно оценить с помощью дифференциального уравнения:
Частная производная р(x,t) по времени dp/dt = D*оператор Лапласа для р.
Решение должно выглядеть как p(t)пропорциональна exp(-кt), где к связана с коэффициентом диффузии D,а t- время, определяющее частоту соударений.
к = D*a^2/(R-r)^2, R = 10^-9 m, r=10^-10 m, a-корень уравнения a*ctg((1-z)a) = 1, z = r/(R-r) = 0.1.
Рассчитаю к. Коэффициент диффузии для электронов D = 1/3*(v*r) = 1/3*10^6*10^-9 = 0.33*10^-3 (m^2/c), a = 0.1 (удовлетворяет условию a*ctg((1-z)a) = 1). Отсюда
к = 0.33*10^-3 * (0,1)^2/(0.9)^2*10^-18 = 0.4*10^12 1/c.
Электроны движутся в поле с потенциальной энергией U(r) = ke^2/r. Поэтому U(r)/kT = 1.86 (T=10^4 K, r = 10^-9 m).
p(t)пропорциональна exp(-кt) и exp (-U(r)/kT), т.е
кt=U(r)/kT, где к (не путать с постоянной Больцмана) = 0.4*10^12 1/c.
Отсюда находим время t = 1.86/0.4*10^12 = 4.6 пс.
-
-
-
