Ученые научились рассчитывать химические связи, используя многомерные пространства

Лишний раз убеждаешься, что новое - это хорошо забытое старое. В данном случае, уверен, забытое не всеми и не такое уж старое, но, как часто бывает с хорошими методами, в очередной раз переоткрывается. Концептуально и по математической постановке метод, о котором идет речь в процитированной статье - не что иное, как метод 1/N-разложения, хорошо известный в теор. физике. На эту тему существует очень хороший обзор: A. Chatterjee, Large-N expansions in quantum mechanics, atomic physics and some O(N) invariant systems, Physics Reports, v.186, n.6, pp.249-370 (1990).

Идея метода 1/N-разложения была внедрена в квантовую механику из других областей физики, таких как статистическая физика и квантовая теория поля, где довольно часто встречается ситуация, когда обычная теория возмущений (ТВ) оказывается неработоспособной. В качестве примера можно привести задачу описания критического поведения физических величин при фазовых переходах. Фундаментальную роль в теории фазовых переходов играет параметр порядка, являющийся мерой упорядоченности системы в данной фазе. Для каждого конкретного фазового перехода эта величина имеет свою физическую природу и определенную размерность. Так, в теории магнитных переходов роль параметра порядка играет трехкомпонентный вектор намагниченности, а в случае фазового перехода жидкость - газ параметр порядка определяется как разность между плотностями в жидкой и газовой фазах и является скаляром и т.д. При использовании ТВ в теории фазовых переходов нулевым приближением служит приближение среднего поля, соответствующее пренебрежению флуктуациями параметра порядка, влияние которых при достаточном удалении от критической точки может быть учтено методом возмущений. Однако вблизи точки фазового перехода флуктуации параметра порядка становятся очень большими, и обычный подход ТВ оказывается неприменимым. Один из возможных выходов состоит в том, чтобы попытаться построить разложение по другому - возможно, скрытому - параметру задачи. Эта идея привела к появлению в теории фазовых переходов такого мощного метода, как метод 1/N-разложения. В его основе лежит тот факт, что, хотя параметр порядка в каждом конкретном случае, как было сказано выше, имеет строго определенную размерность, задача вычисления критических индексов, определяющих, например, зависимость намагниченности от температуры или напряженности внешнего магнитного поля вблизи точки фазового перехода, может быть формально обобщена на случай произвольной размерности N параметра порядка. При этом оказывается, что в предельном случае бесконечных N задача становится точно решаемой. Для улучшения точности расчетов при заданной конечной величине N может быть построено разложение по параметру 1/N.

Аналогичный подход предлагался, часто независимо, для решения различных задач в многокомпонентных теориях поля, квантовых спиновых моделях, ядерной физике, квантовой хромодинамике и т.д. Все задачи, о которых в данном случае идет речь, допускают прямое обобщение на произвольное число N некоторых внутренних степеней свободы. Если это число N рассматривать как свободный параметр и устремить его к бесконечности, то задача существенно упрощается (например, в квантовой хромодинамике, где N - число "цветов", при N, стремящемся к бесконечности, сохраняются лишь фейнмановские диаграммы определенного типа). Хотя в различных физических теориях параметр N имеет различную природу и относится к различным объектам, существует общее свойство: в пределе больших N динамика системы приобретает некоторые классические черты, что и приводит к упрощению задачи (так, в квантовых спиновых моделях роль N играет величина спинового момента; при бесконечно большом N спин может иметь любую ориентацию, т.е. ведет себя как классический объект). Получаемое в пределе бесконечно больших N решение оказывается довольно хорошим приближением к строгому решению для конечного N. Для улучшения точности строится разложение по параметру 1/N и в конечный результат подставляется истинное значение N.

Возможность использования метода 1/N-разложения в нерелятивистской квантовой механике стала очевидной после появления работы [R.A.Ferrel and D.J.Scalapino, Phys.Rev.A, v.9, n.2, pp. 846-867 (1974)], где в основу предложенного метода вычисления энергии основного состояния N-мерного осциллятора с квартичным ангармонизмом был положен тот факт, что уравнение Шредингера для частицы в сферически симметричном потенциале может быть обобщено на пространство произвольной размерности D. При этом задача сводится к одномерной, где роль потенциала играет эффективный потенциал, равный сумме исходного потенциала и центробежной энергии; центробежная энергия, в отличие от трехмерного случая, пропорциональна не J*(J+1), а [J+(D-3)/2]*[J+(D-1)/2] (J - угловой момент). Далее величина 1/N, где N=J+D/2, считается малым параметром, и рассматривается предельный случай бесконечного N, затем ищутся поправки к найденному решению в виде разложения по параметру 1/N, и в конечный результат подставляются истинные значения углового момента J и размерности пространства D.

Нетрудно убедиться, что предел больших N соответствует переходу к классической механике, и задача при этом существенно упрощается. Действительно, с увеличением N возрастает отталкивание в начале координат, то есть волновая функция локализуется во всё более узком интервале значений радиуса. Такое сильно локализованное состояние соответствует классической картине движения частицы по орбите с радиусом, отвечающим минимуму эффективного потенциала при больших N, а энергия в пределе бесконечных N дается соответствующим классическим выражением. Классическая природа приближения больших N хорошо видна, если в уравнении Шредингера перейти к переменной, характеризующей отклонение от классической орбиты. При этом получается уравнение с малым параметром при второй производной, что эквивалентно устремлению постоянной Планка к нулю или массы частицы - к бесконечности. Очевидно, что для частицы с очень большой массой можно в нулевом приближении пренебречь флуктуациями радиуса орбиты.

В дальнейшем были предложены и другие версии метода, основное различие между которыми состояло в выборе параметра разложения. При этом параметр N не обязательно должен быть связан с размерностью пространства - в ряде случаев наличие в задаче большого параметра приводит к таким же формальным построениям. Так, в работах В.С.Попова и др. [напр., В.С.Попов, В.М.Вайнберг, В.Д.Мур, Письма в ЖЭТФ, т.41, в.10, с.439-442 (1985)] рассматривалась задача о движении частицы в экранированном кулоновском потенциале, где в качестве параметра разложения использовалась величина 1/n (n - главное квантовое число). Я хорошо знаю эту историю, так как сам использовал метод 1/N-разложения в своей работе (замечу - по молекулам!), где с его помощью расчитывал колебательно-вращательные уровни двухатомной молекулы, описываемой в рамках модели экранированного потенциала Кратцера [А.В.Буренин, М.Ю.Рябикин, Оптика и спектроскопия, т.89, в.2, с.217-222 (2000)].

Игорь, привет!
С удивлением обнаружил ссылку на тебя у знаменитого альтернативщика Кушелева с названием - "Физики близки к независимому открытию кольцегранного микромира!". Интересно - ты в курсе этого?

Максим.
http://wealth.livejournal.com