Фотонная сфера и «тень» черной дыры

Можно воспользоваться тем, что у выражения \(a x^3 + b x^2\) максимум (или минимум) находится при \(x=0\) и \(x=-2b/3a\). А у функции \((x - b) (x - a) (x - a) + D\) минимум/максимум достигается при \(x = a\), поэтому если кубический полином представить в таком виде, то у него легко будет найти точки минимума/максимума.

Чтобы представить, что именно видно на «фотографии» черной дыры, можно поразмышлять в обратном «направлении»: если пустить плоскопараллельный пучок (фронт) лучей от нас к черной дыре, то что с ним произойдет?

Расстояние до периапсиса параболической орбиты найти легко: достаточно просто записать уравнение \(V=0\) (это определение параболической орбиты) и решить его относительно \(r\). Получится так:

Вспомнив, что в периапсисе момент импульса \(L = v_p r_p\) (так как радиус-вектор перпендикулярен скорости частицы), где \(v_p\) — скорость в самой ближней точке орбиты, получим известное со школы выражение

Чтобы найти радиус окружности, достаточно найти минимум эффективного потенциала \(V(r)\). Для этого удобно преобразовать это выражение, переобозначив \(x = 1/r\):

Это — квадратичная функция от \(x\). Ее экстремум легко найти по школьной формуле (у выражения \(ax^2 + bx + c\) экстремум находится в точке \(x=-b/2a\); будет ли это минимум или максимум — зависит от знака коэффициента \(a\)). В нашем случае точка экстремума выражается так:

Откуда, приняв \(L = v_c r_c\), находим:

Сравнив полученные выражения для параболической и круговой орбит, легко понять, почему вторая космическая скорость (скорость, необходимая для того, чтобы космический аппарат преодолел гравитационное притяжение массивного тела и улетел от него по параболической орбите) в \(\sqrt{2}\) раз больше первой космической скорости (необходимой для вывода аппарата на круговую орбиту вокруг массивного тела).

Представив примерно, как работают эти формулы для материальных точек, давайте теперь посмотрим на движение фотонов и массивных частиц вокруг шварцшильдовской (невращающейся) черной дыры.

Выражение для эффективного потенциала фотона вокруг черной дыры можно записать следующим образом:

График этого эффективного потенциала нарисован на рис. 3, а соответствующие семейства орбит — на рис. 4. Заметьте, что форма (например, положение максимума) этой кривой никак не зависит от значения \(L\).

Рис. 3.

Как и в предыдущем случае, график помогает понять, какие семейства траекторий в принципе существуют. Например, есть открытые траектории, на которых фотон, летящий из бесконечности, лишь «преломляется» в искривленном пространстве-времени вокруг черной дыры. Но видно, что периапсис орбиты может достигать лишь определенного минимального значения (в отличие от ньютоновского случая), после которого траектории уходят под горизонт событий. Предельная траектория, которая соответствует круговой орбите фотона, называется «фотонной сферой». Также есть траектории, целиком лежащие внутри фотонной сферы, но фотон на такой траектории непременно «упадет» в черную дыру.

Рис. 4. Траектории фотонов вокруг черной дыры, соответствующие графикам \(V(r)\) с рис. 3

Тем самым, в отличие от материальных точек, «живущих» по законам ньютоновской гравитации, у фотонов в ОТО существует только одна круговая орбита на фиксированном расстоянии от горизонта событий, не зависящем от энергии или момента импульса фотона.

Найдем радиус этой фотонной сферы. Он соответствует максимуму \(V\). Сделав такую же замену \(x=1/r\) и следуя первой подсказке, получим, что максимум \(V\) находится при \(r_s = 3 r_g / 2\). То есть радиус фотонной сферы в 1,5 раза больше шварцшильдовского. О физическом значении этого результата мы поговорим в послесловии.

В случае движения массивного тела форма \(V\) уже зависит от момента импульса \(L\). Давайте нарисуем графики \(V\) для различных значений \(L\) и попробуем их проанализировать (рис. 5). Как видно, при определенных значениях форма этого эффективного потенциала очень похожа на безмассовый случай (то есть на эффективный потенциал фотона): существует максимум (круглые точки на кривых), положение которых зависит от \(L\). Но в отличие от безмассового случая помимо локального максимума у этих кривых (при определенных \(L\)) есть и локальный минимум (квадратные точки).

Рис. 5. Графики \(V(r)\) для движения массивного тела вокруг шварцшильдовской черной дыры при различных значениях момента импульса \(L\). Квадратные точки показывают локальные минимумы \(V\), круглые — максимумы.

И минимумы, и максимумы, как мы знаем, соответствуют круговым орбитам. Однако есть принципиальное отличие: орбиты, соответствующие локальным максимумам потенциала \(V\), нестабильны — малейшее возмущение орбиты выводит объект на орбиту, которая либо уходит в бесконечность, либо падает внутрь. Для ньютоновского потенциала круговая орбита соответствует минимуму, поэтому такие траектории стабильны. А вот фотонная сфера нестабильна, так как соответствует максимуму.

Очевидно, что вещество не может находиться на нестабильных орбитах слишком долго, поэтому в потенциале массивной материальной точки (рис. 5) нас интересуют именно локальные минимумы (квадратные точки). Как видно (и в этом мы убедимся чуть ниже), локальный минимум существует только для определенных \(L\), а это означает, что круговые орбиты могут существовать только дальше определенного расстояния от черной дыры (красная вертикальная пунктирная линия на рис. 5). Такое расстояние называют ближайшей стабильной круговой орбитой (innermost stable circular orbit, ISCO).

Обратимся к вычислениям и найдем положения максимума и минимума функции \(V(r)\) в этом случае. Для этого перепишем ее в следующем виде:

где \(x = r_g / r\). Коэффициент перед скобками на значение точек экстремума не влияет, поэтому достаточно проанализировать то, что внутри скобок. Легко проверить, что это выражение переписывается так:

где \(b\) и \(c\) — некоторые коэффициенты, значение которых нам не важно, а \(a = (1 \pm \sqrt{1- 6GM r_g/L^2}) / 3\). Таким образом, максимумы и минимумы функции \(V\) достигаются при \(r = 3r_g / (1 \pm \sqrt{1- 6GM r_g/L^2})\).

Отсюда очевидно, что при \(L < \sqrt{6 GM r_g} = \sqrt{3} c r_g\), круговых орбит (ни стабильных, ни нестабильных) быть не может, а последняя стабильная круговая орбита для массивных тел находится на расстоянии \(r = 3 r_g\).

Подведем итоги.

Мы получили, что для безмассовых частиц (фотонов) существует предельная круговая орбита вокруг черной дыры — так называемая фотонная сфера, — расположенная на расстоянии \(1{,}5 r_g\) от центра дыры. Все фотоны, летящие по траекториям, которые идут извне (из бесконечности), не могут пересечь эту сферу и затем снова улететь на бесконечность.

У массивных же частиц, например у плазмы в аккреционном диске черной дыры, есть стабильные круговые орбиты, но они возможны лишь на определенных расстояниях от центра — не ближе чем \(3 r_g\). Все орбиты, которые находятся ближе, так или иначе заканчиваются внутри горизонта событий. Это, на самом деле, очень важный результат: аккреционный диск, то есть вещество, вращающееся по почти кеплеровским круговым орбитам с очень медленным течением внутрь, может простираться на сотни тысяч шварцшильдовских радиусов от черной дыры, но не может «подойти» к ней ближе чем \(3 r_g\): внутри этой области траектории частиц плазмы более не могут быть замкнутыми и они быстро падают внутрь горизонта событий.

Теперь можно вернуться к фотографии черной дыры, сделанной коллаборацией EHT. Рассмотрим пучок плоскопараллельных лучей, движущихся от наблюдателя к черной дыре (рис. 6). Траектория лучей, которые проходят «выше» фотонной сферы, не достигает горизонта событий. Однако те лучи, которые движутся чуть ближе к оси, соединяющей наблюдателя и черную дыру (точнее, ближе чем \(2{,}6 r_g\) — точный вывод этого значения прицельного параметра делается в рамках ОТО, здесь мы его приводить не будем), в итоге попадут внутрь фотонной сферы и закончат свой путь под горизонтом событий.

Рис. 6. Траектории фотонов из плоскопараллельного (на бесконечности) пучка в гравитационном поле черной дыры и формирование «тени», которую мы видим. Центральная черная область на снимке соответствует траекториям, которые заканчиваются под горизонтом событий — собственно, это и есть та самая «тень». Внутренняя граница светлого кольца соответствует фотонной сфере, при этом радиус этой окружности составляет \(2{,}6 r_g\)

Именно из-за этого в центре снимка черной дыры мы видим черный круг радиусом \(2{,}6 r_g\), причем, заметьте, что если бы поверхность черной дыры излучала фотоны, то мы бы видели не только переднюю, но и заднюю часть ее поверхности.

Вокруг темного пятна в центре снимка мы видим сильно преломленные фотоны, испущенные из релятивистского джета. Благодаря тому, что пространство-время вокруг быстро вращающейся черной дыры «увлекается» вслед за ее вращением подобно водовороту, одна часть диска оказывается светлее другой из-за релятивистского усиления излучения (relativistic beaming). Этот эффект связан с тем, что часть вещества движется по направлению этого «водоворота», а остальная — против.

Рис. 7. Трехмерные магнитогидродинамические симуляции в искривленном пространстве, показывающие, как будет выглядеть излучение джета вокруг вращающейся черной дыры. Рисунок из статьи M. Mościbrodzka et al., 2014. Observational appearance of inefficient accretion flows and jets in 3D GRMHD simulations: Application to Sagittarius A*