Жизнь при малом Re

Для оценки числа Рейнольдса характерные масштабы изменений \(\Delta x\) нужно брать равными размеру объектов, \(D\).

Подумайте, какие из членов в уравнении Навье — Стокса важны, а какие не важны, если число Рейнольдса мало.

Разделим инерциальный член уравнения Навье — Стокса на силу трения:

Выражение \(\Delta x/\Delta t\) — это, по сути, скорость \(v\) нашего объекта. А длину \(\Delta x\), на масштабах которой мы рассматриваем уравнение Навье — Стокса, можно взять равной размеру объекта в воде — это характерный масштаб, на котором меняются наши величины. Таким образом, получим:

Для плывущего человека примем \(D=1\) м, \(v = 1\) м/с. Подставив плотность и вязкость воды, получим \(Re \sim 10^6 \gg 1\). С другой стороны, для бактерии получится \(Re \sim 10^{-5}\text{-}10^{-4} \ll 1\).

О чем же говорит этот результат: для человека число Рейнольдса много больше единицы, а для бактерии — много меньше единицы? Представим, что мы «толкаем» бактерию в воде с некоторой скоростью (скажем, 100 микрон в секунду) и в некоторый момент отпускаем. Бактерия начнет тормозить из-за силы вязкого трения. Ускорение (точнее, скорость торможения) бактерии будет равно

(где \(\Delta x\) можно принять равным \(D\)), а время торможения получится равным

За такое время тормозящая бактерия проплывет всего лишь \(v\Delta t = 0{,}1\) нанометр, то есть 1/10000 размера своего тела. Иными словами, бактерия практически мгновенно остановится из-за трения, не проплыв по инерции практически ничего.

В этом выводе и содержится главное отличие между «мирами» больших и малых чисел Рейнольдса: при малых значениях числа Рейнольдса инерция и время не имеют значения. В таком мире тела не могут передвигаться по инерции: чтобы не останавливаться, они должны продолжать двигаться, «отталкиваясь» от среды. В мире же больших чисел Рейнольдса движение, по сути, реактивное: вы толкаете воду в обратном направлении, и движетесь вперед по инерции за счет сохранения импульса.

Еще одним следствием того, что время не имеет значения, является то, что все движения обратимы. Иными словами, если в вязкой среде вы совершаете некоторое движение своим телом, передвигаясь в некотором направлении, а затем повторите это же движение в точности, но наоборот, то вернетесь в ту же точку, откуда начинали. Наглядную демонстрацию этого можно увидеть в ролике Дестина Сандлина (YouTube-канал SmarterEveryDay):

Рассмотрим пример с морским гребешком, которого поместили в очень вязкую среду. Наш гребешок может только открывать и закрывать створки и ничего больше. Следовательно, любая последовательность движений гребешка будет возвращать его в исходную позицию. Если обозначить угол раствора между створками гребешка за θ, то движение гребешка можно изобразить следующим образом (рис. 2). При изменении угла θ от нуля до 180 градусов, гребешок будет двигаться вперед, «отталкиваясь» от воды. Но при этом никакой инерции нет, и, как только створка максимально раскроется, гребешок перестанет двигаться. После этого, как только створка начнет закрываться (стрелка, идущая справа налево на диаграмме), гребешок начнет двигаться в обратном направлении, и вернется в исходную позицию. Обычные морские гребешки, конечно, живут в среде с низкой вязкостью, поэтому у них таких проблем с движением нет.

Рис. 2. Движение гребешка в зависимости от угла раствора θ между створками

Этот вывод можно расширить и дальше: однопараметрическое движение в вязкой жидкости невозможно. То есть любое движение, которое определяется лишь одним параметром (в случае гребешка это был угол раствора θ), будет циклически возвращать объект в исходную позицию.

Но как же тогда передвигаются бактерии и прочие организмы в мире малых чисел Рейнольдса? Ответ, конечно же, кроется в том, что для передвижения нужны как минимум два параметра! Рассмотрим, к примеру, робота, похожего на швейцарский нож: с вытянутым телом и двумя торчащими ножками с двух разных сторон (рис. 3). Движения такого робота можно описать с помощью двух параметров — углов θ₁ и θ₂, на которые ножки отклоняются от оси тела. Различные положения ножек на диаграмме (θ₁, θ₂) изображены на среднем рисунке. Отсюда можно увидеть, что, например, движение \(S_1\rightarrow S_2\rightarrow S_3\rightarrow S_4 \rightarrow S_3 \rightarrow S_2 \rightarrow S_1\) ни к какому перемещению в итоге не приведет. А, например, движение \(S_1\rightarrow S_2\rightarrow S_3\rightarrow S_4 \rightarrow S_1 (=S_5)\) циклически вернет состояние ножек в исходную позицию, однако при этом робот переместится на некоторое расстояние (так как повороты ножек не были повторены в обратном порядке) и будет готов повторить то же самое движение!

Рис. 3. Двухпараметрическое движение в вязкой жидкости. Иллюстрация из статьи E. M. Purcell, 1977. Life at low Reynolds number

Уравнение Навье — Стокса, с которого началось наше путешествие в мир малых чисел Рейнольдса, было сформулировано свыше 200 лет назад, но несмотря на это, в общем случае оно не решено. Это означает, что при произвольной конфигурации и произвольных условиях на границе области невозможно аналитически вычислить такие функции координат и времени \(\rho\) и \(\boldsymbol{v}\) (плотности и скорости потока вещества), которые бы удовлетворяли уравнению Навье — Стокса. Особенно это важно при больших значениях числа Рейнольдса, когда никакими членами в уравнении пренебрегать нельзя.

И хотя в очень редких частных случаях, после множества упрощений и допущений, аналитическое решение найти, из-за того, что в общем случае это, казалось бы, довольно простое на вид дифференциальное уравнение, не поддается решению, эта задача включена в знаменитый список задач тысячилетия. За решение (или доказательство того, что общего решения не существует) каждой из них полагается премия в $1000000.

Главная сложность уравнения Навье — Стокса состоит в том, что оно нелинейно. Линейные дифференциальные уравнения характеризуются тем, что если функции \(f\) и \(g\) являются решениями, то и их сумма \(f+g\) тоже обязательно будет решением. Это свойство значительно упрощает нахождение решений линейного уравнения, позволяя, к примеру, искать их с помощью разложения на плоские волны, которые можно складывать, получая новые и новые решения (метод Фурье).

С нелинейными уравнениями такой трюк не пройдет. На сегодняшний день лучшее, что мы можем делать, — полагаться на численные методы решения уравнений Навье — Стокса. Но с ними много проблем. Одна из них — это высокие требования к вычислительной мощности в тех случаях, когда требуется высокая точность или приходится иметь дело с большой областью пространства параметров. К примеру, движение потоков воздуха, аэрозолей и течений воды на нашей планете описывается всё тем же уравнением Навье — Стокса. Поэтому для предсказания погоды и прочих прикладных задач необходимо с высокой точностью численно решать уравнения Навье — Стокса на огромных масштабах. Без суперкомпьютеров здесь не обойтись.

Но при этом встает следующая проблема: сложные динамические системы, примерами которых являются атмосфера и движения воды в океанах, ведут себя хаотически. Это означает, что даже небольшие отличия в начальных условиях (или, что то же самое, небольшое влияние на начальное состояние системы) со временем приводят к очень большим отличиям в конечном состоянии такой системы. Метафорически это выражают эффектом бабочки, впервые сформулированном американским математиком и метеорологом, одним из основоположников теории хаоса Эдвардом Лоренцом: «Взмах крыльев бабочки где-то в Бразилии может со временем вызвать торнадо в Техасе». Этот принцип формулируют по-разному — могут меняться места «действия» бабочки и возникновения торнадо, вместо бабочки даже может фигурировать другой «виновник», но суть от этого не меняется (см. E. Lorenz, 1972. Predictability. Does the Flap of a Butterfly's wings in Brazil Set off a Tornado in Texas?). Поскольку численное решение неизбежно связано с приближенными значениями параметров системы (хотя бы потому, что есть ограничения на количество информации о каждом числе, хранящемся в памяти компьютера), то постоянно накапливаются вычислительные ошибки. Именно из-за этого точное предсказание погоды даже на пару недель вперед пока практически невозможно.