Масштабы турбулентности

Второй способ достаточно прост: зависимость степенная, а значит, записывается в виде \(E(k) \propto \epsilon^{\alpha} L^{\beta}\) (или \(E(k) \propto \epsilon^{\alpha} k^{-\beta}\)).

Для первого способа оцените характерное время, за которое разрушится вихрь размером L, если известна энергия в вихре (а она известна из спектра). Затем подумайте, чему равна характерная энергия, высвобожденная во время такого разрушения.

Представив энергию в виде \(E(k) = C \epsilon^{\alpha} L^{\beta}\), где C — некоторая безразмерная постоянная, можно проанализировать размерность получившегося выражения. Спектр E(k) имеет размерность энергии, помноженной на длину, ϵ — это темп ввода энергии в систему, то есть мощность (энергия, деленная на время).

В левую часть время входит с показателем степени −2. В правой части размерность времени есть только у переменой ϵ (которая содержит время в степени −3), поэтому получаем \(E(k) = C \epsilon^{2/3} L^{\beta}\). Теперь нужно подобрать β, чтобы степени, с которыми длина входит слева и справа, также совпадали. Нетрудно показать, что это происходит при β = 5/3.

Вот так выглядит короткий вывод (энергия берется на единицу массы, в квадратных записываются размерности):

и, приравняв −3α = −2, 2α + β = 3, находим α = 2/3, β = 5/3.

Таким образом, спектр устроен так: \(E(k)=C\epsilon^{2/3}k^{-5/3}\), где постоянная C называется константой Колмогорова и равна примерно 1,5. Примерно такая аргументация и вывод были сделаны в 1940-х годах Колмогоровым, работы которого считаются пионерскими в описании турбулентности (например, эта статья).

Несколько иной вывод той же формулы можно получить из физических соображений. Представим себе вихрь размера L (или с волновым числом k) единичной массы. По определению этот вихрь имеет энергию e = E(k)/L (или E(k)k). Характерное время, за которое, этот вихрь распадется, можно оценить как τ = L/v, где v — это скорость, связанная с кинетической энергией вихря: \(v \sim \sqrt{e}\). Таким образом, \(\tau \sim L^{3/2} E(k)^{-1/2}\).

За это время распада вихрь передаст свою энергию вниз по каскаду более мелким вихрям, и темп передачи этой энергии должен быть равен темпу, с которой энергия вводится в систему (иначе бы она накапливалась где-нибудь). Значит,

откуда и находим, что \(E(k) \sim \epsilon^{2/3}L^{5/3}\) (или \(E(k) \sim \epsilon^{2/3}k^{-5/3}\)).

С физической точки зрения, конечно, интересна именно зависимость спектра энергии от волнового числа (масштаба): \(E(k)\propto k^{-5/3}\). Насколько это похоже на то, что мы видим в реальности? Если взять турбулентную систему и проанализировать, какая энергия содержится в вихрях различных масштабов, получим ли мы что-нибудь близкое к этой зависимости?

Казалось бы, настолько простая аргументация и выводы «на пальцах» не могут дать хоть сколь-нибудь правдоподобный результат. Однако, как оказалось, колмогоровский спектр удивительно близко описывает то, что мы видим в действительности в совершенно разных физических контекстах. От турбулентности ветра в воздуховодах и воды в трубах до турбулентности солнечного ветра, летящего со скоростью порядка 500 км/с в присутствии магнитного поля (рис. 4), и межзвездной среды.

Рис. 4. Слева — моделирование турбулентности ветровых тоннелей; рисунок из книги Wind Tunnel Designs and Their Diverse Engineering Applications. Справа — измерения турбулентности солнечного ветра (в перпендикулярном направлении относительно магнитного поля); рисунок из статьи K. H. Kiyani et al., 2015. Dissipation and heating in solar wind turbulence: from the macro to the micro and back again

Причина такой универсальности этого соотношения в принципе очень проста: в случае, когда в системе нет выделенного направления, выделенной скорости или выделенного размера, то есть когда система описывается лишь темпом ввода энергии ϵ и размером вихря L, никакого иного соотношения просто физически невозможно скомпоновать.

С другой стороны, когда появляется выделенное направление, предположения Колмогорова нарушаются. К примеру, когда есть магнитное поле (например в случае с солнечным ветром), то можно выделить два направления: перпендикулярное и параллельное к нему, и появляются две размерные величины \(L_{\perp}\), \(L_{||}\), поэтому такое простое соотношение больше не работает.

Обобщения для спектра турбулентности в присутствии магнитного поля были позже выведены Ирошниковым (P. S. Iroshnikov, 1963. Turbulence of a Conducting Fluid in a Strong Magnetic Field) и Крайшнаном (R. H. Kraichnan, 1965. Inertial‐Range Spectrum of Hydromagnetic Turbulence) при изотропной турбулентности (\(E(k)\propto k^{-3/2}\)), и Гольдрайхом и Шридхаром при анизотропной турбулентности (P. Goldreich and S. Sridhar, 1997. Magnetohydrodynamic Turbulence Revisited): в этом случае в перпендикулярном к магнитному полю направлении спектр — все равно колмогоровский (рис. 4, справа).

Как уже упоминалось выше, в двумерном случае картина несколько меняется. На плоскости (или другой двумерной поверхности, например, на сфере) вместо каскада вверх по волновым числам (или вниз по масштабам) в некоторых случаях можно наблюдать обратный каскад — то есть энергия перетекает на все большие и большие масштабы формируя большие вихри.

Связано такое поведение с тем, что на плоскости помимо энергии сохраняется еще одна величина, которая называется завихренностью. По сути, это момент импульса вихря, а момент импульса должен сохраняться. В двухмерном мире нельзя просто разрушить вихрь на более мелкие, так как они не смогут нести тот же самый момент импульса, что и большой. Сохранение завихренности и обратный каскад, кстати, являются одной из основных причин, по которой в атмосферах нашей планеты и многих других (Юпитера, Сатурна, Урана) существуют крупномасштабные циклоны.