Проект 3. Из Москвы в Питер за полчаса

 
Барон: Мой поезд доставит вас из Москвы в Санкт-Петербург за 42 минуты. И заметьте, никаких затрат энергии не потребуется!

Профессор: Какая же сила будет разгонять ваш поезд, барон?

Инженер: Поезд без двигателя? Не может быть!

Бизнесмен: Неужели так быстро? Не верю!

Какая сила разгонит поезд?

Начнем с возражения Профессора. Ему непонятно, какая сила будет разгонять поезд, если у поезда нет двигателя. Чтобы разобраться с этим вопросом, рассмотрим рис. 3.1.

Мы видим, что Москва (точка М) и Питер (точка П) соединены отрезком прямой МП. Проведем ось х в направлении от М к П. На поезд, находящийся в точке М, действует сила тяжести , направленная к центру Земли, и сила нормальной реакции , направленная перпендикулярно отрезку МП.

Проекция силы на ось х равна нулю, поэтому эта сила никак не повлияет на движение поезда, а вот проекция силы на ось х — величина положительная: mg_x > 0, поэтому сила тяжести будет сообщать поезду ускорение в направлении оси х, то есть от Москвы к Петербургу. Таким образом, разгонять поезд будет сила тяжести!

Как будет двигаться поезд?

По второму закону Ньютона mg_x = ma_x, следовательно, ускорение, с которым поезд будет двигаться в момент начала движения из Москвы, равно: a_x = g_x.

Оценим величину этого ускорения. Радиус Земли равен: R = OM = 6400 км, расстояние от Москвы до Петербурга — примерно 600 км: МП = 600 км, следовательно, половина этого расстояния MO' = 300 км. Тогда

Следовательно, всего через 100 с после начала движения поезд барона уже будет мчаться с весьма приличной скоростью 46 м/c!

Правда в процессе движения величина силы тяжести будет изменяться, так как будет уменьшаться расстояние от поезда до центра Земли, но это изменение будет крайне незначительным. В самом деле, вычислим OO' — расстояние до центра Земли в самом глубоком месте тоннеля. По теореме Пифагора из треугольника MOO' находим:

То есть максимальная глубина тоннеля равна

h_max = OM – ОO' = 6400 км – 6392 км = 8 км.

По сравнению с радиусом Земли это очень небольшая величина! Поэтому изменением величины силы тяжести во время движения поезда мы будем пренебрегать.

Но вот изменением направления силы тяжести в процессе движения пренебрегать никак нельзя. Заметим, что до достижения поездом точки O' проекция силы тяжести на ось х — величина положительная, в точке O' она обращается в нуль, в этой точке скорость поезда достигает своего максимального значения. На участке O'П проекция силы тяжести на ось х — величина отрицательная, поэтому поезд начинает замедляться и в точке П останавливается.

Резонно спросить: а почему он остановится именно в точке П, а не где-нибудь в другом месте? Дело в том, что при отсутствии трения полная механическая энергия поезда должна сохраниться. Поскольку в точке М равна нулю и потенциальная, и кинетическая энергия поезда, а в точке П потенциальная энергия тоже равна нулю (точки П и М находятся на одинаковом расстоянии от центра Земли), то и кинетическая энергия в точке П должна равняться нулю. А значит, именно в точке П поезд остановится сам безо всяких тормозов!

Можно ли на самом деле обойтись без двигателя?

Теоретически получается, что можно. И не только без двигателя, но и без тормозов. Но вот практически... Инженер, как человек, мыслящий практически, очень резонно возражает: «Не может быть поезда без двигателя!» И он совершенно прав, прежде всего, потому, что в реальном тоннеле обязательно будет иметь место трение. Даже если наш поезд будет на магнитной подвеске, а в тоннеле будет вакуум, на 100% трение мы устранить не сможем. Это, во-первых. А во-вторых, ведь возможны и внештатные ситуации, например, пожар! Значит нельзя исключить возможности экстренной остановки в середине тоннеля! Поэтому нужен и двигатель, и тормоза, причем очень мощные: скорость нашего поезда очень велика!

Другое дело, что в штатном режиме и двигатель, и тормоза будут задействованы лишь на ничтожную долю процента от своих возможностей, а в идеале, как мы уже выяснили, они вообще не нужны. Так что экономия энергии, по сравнению с движением обычного экспресса «Москва—Санкт-Петербург», будет очень большой.

Неужели поезд быстрее самолета?

Самолет ТУ-154 летит от Москвы до Питера примерно 1 час. Барон обещает сократить время движения до 42 мин, что вызывает, мягко выражаясь, удивление у нашего Бизнесмена: представляется маловероятным, чтобы поезд обогнал самолет.

Сделаем грубую оценку времени движения поезда, доступную для понимания даже учеников 9-го класса. Начнем с упрощающего предположения: будем считать, что поезд в тоннеле движется равноускоренно (на самом деле это не так!). В начале своего движения поезд имеет ускорение 0,46 м/c², в середине пути ускорение равно нулю. Будем считать, что приблизительно такое движение можно считать равноускоренным с постоянным ускорением

Тогда задача стоит так: тело начинает двигаться без начальной скорости с ускорением a = 0,23 м/c² и проходит путь s = МО' = 300 км. Надо найти время движения. Воспользуемся известной кинематической формулой , отсюда

Поскольку торможение будет происходить с таким же по модулю ускорением, то ясно, что на торможение до полной остановки потребуется такое же время, как и на разгон, — 27 минут. Значит, общее время движения составит: 27 + 27 = 54 минуты, что очень неплохо согласуется с тем, что говорил барон, — 42 минуты.

Точный расчет, который мы здесь приводить не будем, показывает, что движение поезда в тоннеле очень близко к колебанию математического маятника и происходит практически по гармоническому закону, а период колебаний составляет 84 минуты. Время движения поезда из Москвы в Петербург как раз равно половине периода — 42 минуты, так что барон совершенно прав, а его проект с чисто теоретической точки зрения — просто замечательный! Ну, а скептические соображения по части его практической реализации вы наверняка сможете привести самостоятельно.

Далее: Проект 4. На Луну в комфортных условиях