Экономика лени

В пункте 3 нужно сравнить два математических ожидания для Алисы. А в пункте 4 — для Боба.

В пункте 5 надо применить результаты пункта 4, а потом посмотреть на ситуацию с точки зрения Алисы. И еще подумать над вопросом «почему Боб согласится что-нибудь делать?».

Пункт 1 — это даже не совсем задача, а, скорее, вопрос на понимание ситуации. Если Бобу предложить меньше 500 монет, он предпочтет пособие по безработице просто потому, что оно больше. Если предложить ровно 500 монет, то с точки зрения дохода ему будет все равно, но, поскольку он предпочитает иметь работу, то он согласится работать. Это может показаться странным на первый взгляд: можно получить то же, ничего не делая. Но количество разных аспектов, которые мы учитываем, принимая решения, которые не выражаются просто в деньгах, достаточно велико. Может, работать престижно, а может, к работе прилагаются бонусы в виде обедов на ферме, кто знает? Больше 500 монет предлагать смысла нет, поскольку Боба устроит и эта сумма. Итак, ответ на первый вопрос — 500 монет.

В пункте 2 нужно помнить, что Алиса нейтрально относится к риску. То есть, например, она готова заплатить 100 монет, если ожидание прибыли составляет хотя бы 100. Если Алиса нанимает Боба, то возможны следующие сценарии развития событий:

    А. Боб старается (вероятность этого, по данным Алисы, 40%), тыквы получаются большие (вероятность, по данным задачи, 80%; стоит отметить, что в данном случае эта вероятность — условная, так как «вероятность получить большие тыквы при условии, что усилия были приложены» имеет в условии случайное — для Алисы — событие). Вероятность этого сценария вычисляется так:

\[P(\text{Боб старается})\times P(\text{Тыквы большие|Боб старается})=0{,}4\times0{,}8=0{,}32.\]

    B. Боб старается (40%), тыквы средние (20%). Вероятность этого сценария 0,08. Заметим, что вероятность первых двух сценариев в сумме — это просто вероятность того, что Боб родился трудолюбивым (напомним, что мы смотрим на мир с точки зрения Алисы).

    C. Боб ленится (60%), тыквы большие (30%). Вероятность — 0,18.

    D. Боб ленится (60%), тыквы средние (70%). Вероятность — 0,42.

Математическое ожидание считается как сумма результатов, умноженных на их вероятности. В данном случае вероятность получить средние тыквы — это варианты B и D — равна 0,5, а значит, и вероятность получить большие — тоже 0,5 (для проверки, это варианты A и C: \(0{,}32+0{,}18=0{,}5\)). Таким образом, наняв Боба, Алиса ожидает получить \(0{,}5 \times 2000 + 0{,}5 \times 3000 = 2500\) монет, то есть на целых 1500 монет больше, чем без Боба. Вот эти 1500 монет она и будет готова ему платить. Можно смело поднимать пособие по безработице, Алиса все равно наймет Боба!

В пункте 3 ситуация изменилась. Оказывается, Боб будет лениться, если ему не доплатить. В этом случае Алиса ожидает, что тыквы будут средние с вероятностью 0,7 и большие с вероятностью 0,3, то есть ожидаемая прибыль с учетом зарплаты Боба составляет \(0{,}7 \times 2000 + 0{,}3 \times 3000-500 = 1800\).

Что же будет, если доплатить Бобу? Ожидаемая прибыль составит \(0{,}2 \times 2000 + 0{,}8 \times 3000-500-300 = 2000\) (мы вычли еще 300, потому что их придется заплатить Бобу в любом случае — он ведь трудился!). Это на 200 больше, то есть Алисе выгодно доплатить Бобу за усилие. Более того, она готова доплачивать даже немного больше. Значит, доплачивать за усердие выгодно.

Перейдем к пункту 4. Алиса уехала, оставив Боба на ферме и пообещав ему доплату в 300 монет за большие тыквы. Боб, как мы знаем, предпочитает лениться, поэтому быстро прикинул, чего ему ждать. «Если я буду стараться, — думает Боб, — я получу бонус с вероятностью 80%, а если буду филонить, то с вероятностью 30%. То есть ожидание моего выигрыша от труда равно \((0{,}8-0{,}3) \times 300 = 150\)».

Получается, что Бобу невыгодно стараться, ведь свое усердие он оценивает в 300 монет, а ожидаемая прибыль от него — лишь половина этого. Из сказанного выше легко видеть, что для того, чтобы ожидаемый выигрыш стал равен 300, Алиса должна пообещать Бобу бонус в два раза больше, то есть 600 монет.

Наконец, самое интересное — пункт 5. Как мы выяснили в пункте 4, бонус за большие тыквы должен составлять 600 монет, чтобы Боб старался. Понятно, что Алисе нет смысла увеличивать этот бонус, ведь если Боб уже старается, то что изменится от увеличения?

Итак, если Алиса хочет, чтобы Боб старался, она должна платить Бобу \(X\) монет за средние тыквы и \(Y=X+600\) монет за большие. Конечно, Алиса хочет сделать \(X\) как можно меньше. Остается понять, при каком наименьшем \(X\) Боб все еще будет работать. Для этого нужно (вспоминая пункт 1), чтобы ожидаемый заработок Боба был хотя бы 500. Если Боб старается, то его ожидаемый заработок составит \(0{,}8 \times (X+600) + 0{,}2 \times X-300 = X +180\) (мы опять вычитаем 300, так как труд — это «расход» Боба). Решаем неравенство и получаем \(X + 180\ge 500\), \(X \ge 320\), то есть если Бобу платить 320 монет за средние тыквы и \(320+600=920\) монет за большие, он согласится работать и стараться (строго говоря, если Боб не будет стараться, его ожидаемый заработок будет ровно на 300 меньше, что, с учетом труда, будет для него равнозначным предложением; можно считать, что, как и с работой вообще, Боб при прочих равных соглашается трудиться более усердно просто из принципа).

Если же Алиса решает, что ей невыгодно, чтобы Боб старался, она должна платить ему... просто 500, ведь если не нужно стимулировать работника, зачем как-то усложнять схему выплат. Строго говоря, Алиса может и в этом случае привязать выплаты к результату, но, чтобы Боб согласился работать, надо сделать ожидаемую зарплату хотя бы 500 (а значит, ровно 500, ведь зачем платить больше). А ожидаемая прибыль Алисы будет равна разности ее ожидаемого дохода и ожидаемого расхода (математики бы сказали: математическое ожидание обладает свойством линейности, то есть \(\mathbf{E}(aX+bY) = a\mathbf{E}X + b\mathbf{E}Y\) \(\forall x, y \in \mathbb{R}\)). Получается, что в нашей задаче нет разницы, фиксированный ли контракт. Но что же выгоднее?

Случай, когда Боб не старается, мы обсуждали в пункте 3: ожидаемая прибыль Алисы — 1800. А вот если он старается, то в случае фиксированной выплаты за труд, ожидаемая прибыль будет равна 2000. Что же происходит теперь? Алиса получит или \(3000-920 = 2080\) (с вероятностью 0,8) или \(2000-320 = 1680\) (с вероятностью 0,2). Таким образом ее ожидаемая прибыль составит \(0{,}8 \times 2080 + 0{,}2 \times 1680 = 1664 + 336 = 2000\) — те же 2000 монет!

Итак, оптимальный контракт для Алисы — предложить Бобу 920 за большие тыквы и 320 за средние. Тогда Боб будет стараться, тыквы, скорее всего, будут большие, а все будут довольны.

Ситуация, рассмотренная в задаче, — одна из базовых проблем теории контрактов, раздела теоретической экономики, который изучает способы заключения сделок, приводящих к нужному результату. Даже на примере задачи видно, почему это важно. Ведь если Алиса, начитавшись умных журналов, думает, что Боб будет с вероятностью 40% трудолюбивый, а на самом деле все работники ленивые, то контракт, который она предложит, будет ей невыгоден, — и ферма разорится!

Такая ситуация называется асимметрией информации. Именно она составляет основную сложность контрактов. И на самом деле подобные ситуации окружают нас повсюду, где в явном или скрытом виде заключаются сделки. Нанимая работника, компания не знает точно, насколько он хороший, а работник — знает; продавец квартиры лучше осведомлен об ее недостатках, чем покупатель; страхователь лучше знает о своих рисках, чем страховая компания. Продолжать можно долго.

Конкретный же пример из нашей задачи называется moral hazard (стандартный русскоязычный термин — «моральный риск», но он звучит достаточно странно). Это ситуация, когда действия одной из сторон могут нанести ущерб другой, но это невозможно прописать в контракте. Алиса может пообещать Бобу бонус за хорошую работу, но не может проверить, что он хорошо работал. Точно так же автодилер, нанимая на работу менеджера по продажам, не очень может проверить, насколько тщательно тот работал, и поэтому обещает менеджеру процент от продаж, создавая тем самым стимул прикладывать больше усилий.

Как мы видели, в задаче получилось, что Алисе, вообще говоря, все равно, знает ли она, как работал Боб, или просто платит бонус по результатам. Более того, во втором случае она платит больше тогда, когда у нее больше денег (урожай получился хорошим), что должно быть более удобно. Но все не так просто.

Во-первых, в случае недостаточно хороших тыкв Боб получает меньше денег, чем пособие по безработице (оно же может быть меркой минимальной зарплаты). Такая ситуация может быть запрещена законом. Тогда Алисе может оказаться невыгодно добиваться от Боба хорошей работы — ведь нужно будет доплачивать еще больше! Во-вторых, одно из самых сильных упрощений нашей задачи — нейтральность к риску. Чаще всего, люди не любят риск. Например, если человеку предложить заплатить большую сумму за возможность выиграть в два раза больше, если монетка выпадет на орла, чаще всего люди откажутся. Если представить, что Боб в задаче не терпим к риску, ему будет нужен больший бонус за то, чтобы он согласился прикладывать дополнительные усилия (а уж ситуация потери даже части базового дохода будет для него вообще ужасной). Это может компенсироваться неприятием риска у Алисы (в этом случае ей наоборот приятнее заплатить больше, когда результат хороший, и меньше, когда плохой, чем фиксированную сумму всегда), но не обязательно. В обоих случаях ситуация «заплатить за усердие» (когда его можно увидеть), не подразумевающая неопределенности и риска, будет выгоднее для Алисы. Таким образом, риск того, что Боб не станет работать так хорошо, как мог бы, означает для Алисы лишние издержки.

Хорошим примером будет покупка подержанной машины. Если бы все продавцы были честными, покупатели знали бы о состоянии машины все, и могли бы оценить, сколько хотят за нее заплатить. Но часть продавцов обманывает покупателей, и покупателям, чтобы избежать риска быть обманутыми, приходится оплачивать экспертизу машины. Это тоже плата за moral hazard, избежать которой невозможно. Ведь если вдруг все начнут вести себя честно, каждому конкретному человеку будет очень выгодно обмануть доверие и получить быструю прибыль. Впрочем, это уже теория игр, близкий, но другой раздел теоретической экономики, еще более математический.