Проект 9. Раскрутим Землю

 
Барон: Я предлагаю уменьшить вес всех тел на Земле. Для этого надо всего лишь увеличить скорость вращения Земли вокруг своей оси. При желании можно добиться того, что все тела на экваторе будут невесомы!

Профессор: разве сила тяготения зависит от того, вращается Земля или нет?

Бизнесмен: И какой же продолжительности будут сутки на Земле, когда тела на экваторе будут невесомы?

Инженер: А сколько энергии нам понадобится на «раскрутку»?

1. Начнем с утверждения барона. Он утверждает, что если увеличить скорость вращения Земли вокруг своей оси, то вес всех тел на Земле уменьшится. Более того, он считает, что при желании можно добиться того, что все тела на экваторе вообще будут невесомы!

Возникает естественный вопрос: а с чего он это взял? И вполне разумно, на первый взгляд, звучит недоуменная реплика Профессора: «Разве сила тяготения зависит от того, вращается Земля или нет?»

2. Профессор, конечно же, прав: сила тяготения не зависит от скорости вращения Земли! Но возражение это — не по существу вопроса! Ведь барон про силу тяготения как раз ничего не говорит, он говорит про изменение веса! А это не одно и то же!

3. Простейший пример доказывает, что сила тяготения и вес тела необязательно равны по величине. Рассмотрим лифт, который движется с ускорением , направленным вертикально вниз (рис. 9.1).

Пусть на полу этого лифта лежит тело массой m. Тогда на тело действуют две силы: сила нормальной реакции и сила тяжести . Их равнодействующая сообщает телу ускорение .

По второму закону Ньютона справедливо: , или в скалярной форме:

mg – N = ma N = mg – ma = m(g – a).

Вес — это сила, с которой тело действует на пол лифта. По третьему закону Ньютона . Следовательно, по величине вес тела равен P = m(g – a) < mg! То есть вес меньше силы тяжести, а если a = g, то вес равен нулю: P = m(g – g) = 0.

Итак, вес, вообще говоря, «не обязан» быть равным силе тяжести.

4. Рассмотрим тело, неподвижно лежащее на одном из полюсов Земли, например, на Северном. На тело действуют две силы: сила нормальной реакции и сила тяжести (рис. 9.2). Поскольку ускорение тела в инерциальной системе отсчета, связанной с центром Земли, равно нулю, то  +   = 0  P = N = F_т. Поскольку по третьему закону Ньютона , то P = N = F_т. И вес при этом никак не зависит от скорости вращения Земли! Так что в этом пункте мы уже можем поправить барона: как бы быстро ни вращалась Земля, вес тела на полюсе всегда будет оставаться постоянной величиной, равной силе тяжести.

5. Прежде чем мы пойдем в наших рассуждениях дальше, остановимся на одном, казалось бы, очень простом вопросе: что такое ?

Согласно закону всемирного тяготения на тело массой m, находящееся на поверхности Земли, действует сила тяготения , где М — масса Земли, а R — ее радиус.

Введем обозначение:

Величина g₀ имеет двоякий смысл: с одной стороны, эта величина равна силе, с которой Земля действует на единичную массу, а значит, ее можно измерять в Н/кг: g₀ = 9,83 Н/кг. Тогда величину g₀ можно (по аналогии с напряженностью электростатического поля) называть напряженностью гравитационного поля Земли.

А с другой стороны, по второму закону Ньютона , значит, величину g₀ можно измерять как ускорение в м/c², а физический смысл этой величины — ускорение, с которым будет двигаться тело под действием только силы тяжести в инерциальной системе отсчета: g₀ = 9,83 м/c².

6. Если считать Землю шаром идеально правильной формы, то в любой точке земной поверхности на тело массой m будет действовать одинаковая по величине сила тяготения F_т = mg₀, направленная к центру Земли.

7. Теперь рассмотрим тело массой m, неподвижно лежащее на экваторе Земли (рис. 9.3). Поскольку Земля вращается с периодом Т = 24 ч, то наше тело движется по окружности с радиусом, равным радиусу Земли: R = 6400 км. При этом угловая скорость вращения равна

а центростремительное ускорение тела равно

Это ускорение сообщает нашему телу равнодействующая двух сил: силы нормальной реакции и силы тяготения . Согласно второму закону Ньютона справедливо

Поскольку вес тела по третьему закону Ньютона равен , то Р = N = m(g₀ – ω²R) < mg₀. То есть на экваторе даже идеально шарообразной Земли вес меньше силы тяжести на величину mω²R, причем разница эта будет тем больше, чем больше ω.

Поэтому с чисто теоретической точки зрения замысел барона раскрутить Землю, чтобы уменьшить вес тел, находящихся на экваторе — вполне разумный!

8. Резонно спросить, а чему равно ускорение свободного падения на экваторе? На экваторе свободно падающее тело будет двигаться так, как если бы на него действовала сила тяжести F_т = m(g₀ – ω²R), а значит, ускорение свободного падения будет равно

g = = g₀ – ω²R = 9,83 м/c² – 0,0338 м/c² ≈ 9,79 м/c².

То есть из-за вращения Земли ускорение свободного падения на экваторе меньше чем на полюсе.

9. Теперь ответим на вопрос Бизнесмена: какой продолжительности будут сутки на Земле, если тела на экваторе будут невесомы?

Из формулы (9.1) следует, что для того, чтобы вес тела на экваторе стал равным нулю, необходимо, чтобы выполнялось равенство:

Тогда продолжительность суток будет равна

Ясно, что это уж очень мало. Вряд ли на такое согласятся экологи и уж тем более Совет Безопасности ООН!

Но предположим невероятное: все жители Земли единодушно согласились претворить замысел барона в жизнь. Тогда актуальным станет вопрос Инженера: сколько же энергии на это потребуется?

Из теории вращательного движения известно, что однородный шар массой М и радиусом R, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью ω, обладает кинетической энергией .

На этом позвольте остановиться.

Постарайтесь оценить:

1. Какой энергией обладает Земля в настоящее время в силу своего вращения?

2. Какой энергией она будет обладать, если осуществить замысел барона?

3. Сколько лет должны работать все электростанции Земли, чтобы выработать энергию, необходимую для реализации данного проекта?

Для справки: масса Земли равна примерно 6,0·10²⁴ кг.

Вернуться