Ёлочка из треугольников

Рассмотрите последовательность, члены которой являются длинами сторон треугольников. Докажите, что она является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Высоту ёлочки можно найти многократным суммированием ее «этажей».

    а) Если площадь равностороннего треугольника равна \(S\), то его сторона равна \(a=\frac{2\sqrt S}{\sqrt[4]3}\). Рассмотрим последовательность сторон равносторонних треугольников \((a_n)\), в которой \(a_1=\frac{22}{\sqrt[4]3}\) и \(a_2=\frac{18}{\sqrt[4]3}\). Отметим, что сторона треугольника площади 1 равна \(a_e=\frac{2}{\sqrt[4]3}\).

Рис. 2.

Желтые треугольники на рис. 2, ограниченные стороной угла и парами соседних равносторонних треугольников, подобны друг другу, поэтому отношения соответствующих сторон этих треугольников равны. Это наблюдение позволяет записать равенство отношений для пар сторон, угол между которыми равен 60°, — для первого треугольника (самого нижнего) и любого другого (пусть его номер n):

После очевидного упрощения получим:

Поскольку \(\frac{a_{2}- a_e}{a_1- a_e}>0\), получаем, что и \(\frac{a_{n+1}- a_e}{a_{n}- a_e}>0\). И из этого вытекает, что если \(a_n>a_e\), то и \(a_{n+1}>a_e\). Но так как \(a_1>a_e\), то получим, что сторона любого из треугольников елочки больше стороны равностороннего треугольника площади 1. Это позволяет для каждого треугольника получить следующий, то есть последовательность равносторонних треугольников, из которых построена елочка, бесконечна.

    б) Докажем, что высоты «этажей» елочки образую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию H₁H₂, H₂H₃, H₃H₄, H₄H₅, ... (рис. 2).

В самом деле, треугольники A₁A₂K₂ и A₂A₃K₃ потому что их стороны соответственно параллельны, а значит, верна пропорция \(\frac{A_2K_2}{A_3K_3}=\frac{A_1K_2}{A_2K_3}\). Кроме этого, подобны треугольники A₁K₁K₂ и A₂K₂K₃, поэтому верна пропорция \(\frac{A_1K_1}{A_2K_2}=\frac{A_1K_2}{A_2K_3}\).

Из этих двух пропорций следует, что также верна пропорция \(\frac{A_1K_1}{A_2K_2}=\frac{A_2K_2}{A_3K_3}\). Рассматривая следующие пары подобных треугольников и рассуждая аналогично, получим верную пропорцию \(\frac{A_2K_2}{A_3K_3}=\frac{A_3K_3}{A_4K_4}\), потом пропорцию \(\frac{A_3K_3}{A_4K_4}=\frac{A_4K_4}{A_5K_5}\) и так далее. Это означает, что последовательность длин отрезков A₁K₁, A₂K₂, A₃K₃, A₄K₄, ... образуют геометрическую прогрессию. Из подобия треугольников A₁K₁K₂, A₂K₂K₃, A₃K₃K₄, ... следует, что последовательность длин отрезков K₁K₂, K₂K₃, K₃K₄, K₄K₅, ... образуют геометрическую прогрессию. Но тогда и последовательность равных им отрезков H₁H₂, H₂H₃, H₃H₄, H₄H₅, ... тоже образуют геометрическую прогрессию.

Знаменатель \(q\) этой прогрессии равен \(\frac{H_2H_3}{H_1H_2}\) или, учитывая подобие соответствующих треугольников, получим, что знаменатель \(q=\frac{A_2K_2}{A_1K_1}\). Используя результаты пункта а, получим:

Поэтому знаменатель прогрессии равен \(q=\frac{8}{\sqrt[4]{3}}\colon\frac{10}{\sqrt[4]{3}}=\frac45.\) Поскольку \(q<1\), прогрессия является убывающей. Ее первый член \(H_1H_2=K_1K_2=A_1K_1\cdot\mathrm{tg}\,60^\circ=\frac{10}{\sqrt[4]{3}}\cdot\sqrt3=10\sqrt[4]{3},\) потому что K₁K₂ является катетом треугольника A₁K₁K₂, лежащим против угла 60°.

Поэтому елочка бесконечно растущая, а ее высота равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, к которой нужно добавить высоту треугольника единичной площади на вершине (это треугольник, к которому стремится последовательность треугольников, из которых построена елочка).

Применив формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найдем, что высота елочки равна \(\frac{10\sqrt[4]{3}}{1-\frac45}+h_e=50\sqrt[4]{3}+h_e\). Здесь \(h_e\) — это высота треугольника единичной площади, она равна \(\sqrt[4]{3}\). Окончательно получим, что высота елочки равна \(51\sqrt[4]{3}\).

Рис. 3.

Задачу можно решить иначе. Доказав, что последовательность бесконечно убывающая, высоту елочки можно найти, используя высоту OH₁ треугольника A₁OB₁. Треугольник ABC единичной площади — это предельное положение последовательности треугольников, тогда высотой елочки является отрезок CH₁ (рис. 3). Его можно вычислить как разность \(CH_1=OH_1-OC=\\=OH_1-(OH-CH)=\\=OH_1-OH+CH.\)

Треугольники A₁OH₁ и A₁A₂K₁ подобны, поэтому верна пропорция \(\frac{OH_1}{K_1A_2}=\frac{A_1H_1}{A_1K_1}\), значит, \(OH_1=\frac{A_1H_1\cdot K_1A_2}{A_1K_1}\). Здесь \(A_1H_1=\frac{a_1}{2}=\frac{11}{\sqrt[4]{3}}\), \(K_1A_2=10\sqrt[4]{3}\), \(A_1K_1=\frac{a_1-a_2}{2}=\frac2{\sqrt[4]{3}}\), поэтому \(OH_1=55\sqrt[4]{3}\).

Треугольники AOB и A₁OB₁ подобны, поэтому верна пропорция \(\frac{OH}{OH_1}=\frac{AB}{A_1B_1}\), значит, \(OH=\frac{OH_1\cdot AB}{A_1B_1}=\frac{55\sqrt[4]{3}\cdot h_e}{a_1}=\frac{55\sqrt[4]{3}\cdot\frac{2}{\sqrt[4]{3}}}{\frac{22}{\sqrt[4]{3}}}=5\sqrt[4]{3}\).

Теперь можно вычислить высоту елочки: \(OH_1-OH+CH=55\sqrt[4]{3}-5\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{3}=51\sqrt[4]{3}.\)

Рис. 4.

Попробуем «пошевелить» треугольники елочки, например, так, чтобы каждый следующий треугольник пересекался с предыдущим по треугольнику площади 4 (рис. 4). В этом случае тоже получим бесконечно растущую елочку, но она будет ниже первой. Каково отношение высот этих елочек? Рассуждая аналогично вышесказанному, можно найти одним из рассмотренных способов найти высоту второй елочки.

Например, суммируя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию высот «этажей» елочки. В этом случае \(H_1H_2=9\sqrt[4]{3}\), \(H_2H_3=7\sqrt[4]{3}\), \(q=\frac79\), \(h_e=2\sqrt[4]{3}\), поэтому высота второй елочки равна \(H_1H_2+h_e=\frac{9\sqrt[4]{3}}{1-\frac79}+2\sqrt[4]{3}=42{,}5\cdot\sqrt[4]{3}\).