Прикурить от Луны

Подумайте, как изменится ответ на первый вопрос, если провести тот же эксперимент не на Земле, а, скажем, на Меркурии, или на расстоянии 1 км от поверхности Солнца.

Можно ли с помощью идеального зеркала огромного диаметра с фокусным расстоянием, равным радиусу лунной орбиты, сфокусировать лунный свет на поверхности самой Луны и расплавить ее?

Чем больше размер лупы, тем с большей площади собирается энергия излучения, которая затем фокусируется в одну точку. Видимая яркость Солнца примерно в 400 тысяч раз больше яркости Луны, то есть размер соответствующей лупы должен быть пропорционально больше. Если с помощью Солнца можно развести огонь лупой диаметром 5 см, то для лунной лупы диаметр получается порядка 30–40 метров.

Это рассуждение кажется довольно простым и интуитивным. Однако у него есть недостаток: оно в корне неверное. На самом деле с помощью лунного света невозможно развести огонь — какой бы большой ни была лупа или любая другая оптическая система.

Чтобы это увидеть, давайте взглянем на обсуждаемый вопрос с точки зрения термодинамики. Луна, как и любой другой астрофизический объект, существующий достаточно долго, находится в термодинамическом равновесии. Внутренних источников энергии у нее нет, поэтому количество падающей на поверхность Луны энергии должно в точности равняться количеству отраженной и излученной энергии. Лунная поверхность отражает примерно 15% солнечного излучения, поглощая все остальное.

Доля отраженной небесным телом энергии называется альбедо. Тела с нулевым альбедо, которые полностью поглощают падающее на них излучение, в физике называют абсолютно черными. Такие объекты излучают лишь собственное тепловое излучение (излучение абсолютно черного тела). Объекты с ненулевым альбедо (с некоторой, обычно небольшой, долей отражения) иногда называются серыми телами, а их излучение — смесь теплового и отраженного — серотельным (grаy body radiation, см. например M. Santillán et al., 1998. Black-body radiation and the maximum entropy production regime).

Поверхность Солнца излучает практически чернотельное излучение с температурой близкой к 6000 К, тогда как излучение Луны состоит частично из отраженного солнечного и частично из собственного «чернотельного» излучения.

В качестве полезного упражнения, которое заодно поможет ответить на вопрос задачи, оценим температуру поверхности Луны. Обозначим расстояние между Луной и Солнцем за \(D\), радиус, альбедо и температуру поверхности Луны — \(R_\bullet\), \(A_\bullet\), \(T_\bullet\), а радиус и температуру поверхности Солнца — \(R_{\odot}\) и \(T_{\odot}\). В единицу времени с единицы площади Солнце излучает энергию \(\sigma T_\odot^4\), где \(\sigma\) — постоянная Стефана — Больцмана. Со всей поверхности в единицу времени излучается энергия \(\sigma T_\odot^4 (4\pi R_\odot^2)\), которая, на расстоянии \(D\) от поверхности распределяется равномерно по сфере площадью \(4\pi D^2\). Из-за этого энергия излучения Солнца на единицу поверхности, которую будет измерять наблюдатель на расстоянии \(D\), равна \(\sigma T_\odot^4 \left(R_\odot/D\right)^2\) (эту величину для \(D=1\) а. е. иногда называют солнечной постоянной). Часть этой энергии, которая попадает на поверхность Луны, вычисляется так: \(\sigma T_\odot^4 \left(R_\odot/D\right)^2 \pi R_\bullet^2\) (где \(\pi R_\bullet^2\) — это площадь сечения Луны, видимая с Солнца). Доля \((1-A_\bullet)\) этой энергии поглощается Луной и, если предполагать, что Луна находится в термодинамическом равновесии, излучается в виде теплового излучения. Величину теплового излучения Луны можно найти также, как и для Солнца: с единицы поверхности Луны в единицу времени излучается энергия \(\sigma T_\bullet^4\), а со всей поверхности — \(\sigma T_\bullet^4 (4\pi R_\bullet^2)\). Приравняв приходящую и излученную энергию, найдем:

Если подставить значения \(A_\bullet\approx 0{,}12\), \(T_\odot\approx 5800\) K, получим, что средняя температура поверхности Луны составляет примерно \(T_\bullet\approx 270\) К. Реальная температура, конечно же, сильно зависиит от положения относительно лунного экватора, от освещенности солнечным светом и т. д., но в среднем, она действительно близка к этому значению.

Уравнение для \(T_\bullet\) само по себе очень интересно, так что давайте обсудим его поподробнее. Во-первых, очевидно, что если \(A_\bullet = 1\) (это соответствует тому, что Луна отражает весь падающий на нее свет), то она не обладает никакой внутренней энергией и ее температура должна быть нулевой. Во-вторых, обратим внимание, что от физического размера Луны, по сути, ничего не зависит. Отношение \(\left(R_\odot/D\right)^2\) указывает долю всего излучения Солнца, которая «собирается» Луной. Другими словами, это угловой размер Луны, если смотреть на нее из центра Солнца. И чем ближе небесное тело расположено к Солнцу (в наших рассуждениях и формулах это была Луна, но ясно, что для других небесных тел все аналогично), тем больше доля падающего излучения, и тем больше температура поверхности (поэтому неудивительно, что температура поверхности на Меркурии или Венере гораздо выше, чем на Земле). Коэффициент 4 в знаменателе первой дроби — это чисто геометрический фактор: он равен отношению реальной площади поверхности Луны (\(4\pi R_\bullet^2\)) к ее «эффективной» площади, видимой с Солнца (представьте, что Луна — это большая собирающая лупа площадью \(\pi R_\bullet^2\)). Важно, что этот коэффициент не может быть меньше 1. Иными словами, невозможно сделать так, чтобы «эффективная» (или видимая с Солнца) площадь Луны была больше, чем реальная площадь ее поверхности. Лучшее, что можно сделать, — «окружить» Луну Солнцем со всех сторон, и тогда этот коэффициент будет ровно равен 1.

Рис. 2. Самый эффективный способ нагреть что-нибудь при помощи солнечного света — «окружить» это что-то Солнцем. Рисунок из книги Рэндала Манро What if?

Из этого всего можно сделать достаточно сильный вывод: где бы ни располагалось небесное тело (даже если поместить его прямо у поверхности Солнца), в отсутствие внутренних источников энергии температура его поверхности всегда будет ниже температуры поверхности Солнца. Для Луны получаем: \(T_\bullet \leq T_\odot\).

Здесь важно отметить, что помимо отраженного света от Солнца, Луна также будет излучать собственное тепловое излучение из-за нагрева ее поверхности. Спектр такого излучения будет состоять из двух пиков на длине волны ~600 нм (желтый цвет в видимом диапазоне), и 14 микрон (инфракрасный диапазон). Что интересно, энергия на единицу площади для отраженного света и для собственного инфракрасного излучения Луны примерно равны друг другу (хоть последнее мы явно увидеть и не можем): их значения колеблются в районе 0,01 Вт на квадратный метр.

Ниже изображен «серотельный» спектр Луны (вычисленный аналитически), а также то, как она «видна» на разных длинах волн. На длинах волн, близких к видимому диапазону (до нескольких микрон), основная часть излучения Луны — это отраженный свет от Солнца, поэтому карта Луны, по сути, показывает распределение альбедо на данной длине волны (слева вверху). Чтобы увидеть тепловое излучение поверхности, нужно посмотреть на Луну либо во время лунного затмения (два нижних изображения), либо на больших длинах волн (правое и верхнее правое изображения).

Рис. 3. «Портреты» Луны на разных длинах волн. Изображения с сайтов apod.nasa.gov, flir.com, astro.ubc.ca, jb.man.ac.uk

Теперь попробуем собрать весь отраженный Луной свет от Солнца и перенаправить обратно на лунную поверхность, как было предложено в подсказке. Если нагревать с помощью такого зеркала всю лунную поверхность, то это будет эквивалентно случаю, когда \(A_\bullet = 0\). То есть вся поверхность просто нагреется в среднем до ~280 К. Поэтому логично изолировать область нагрева (то есть область вокруг фокальной точки зеркала на поверхности Луны). Как сильно можно эту область нагреть? Луна отражает примерно \(A_\bullet\) всей приходящей энергии, поэтому вся энергия, отраженная Луной в единицу времени, равна: \(A_\bullet (\sigma T_\odot^4) (R_\odot/ D)^2(\pi R_\bullet^2)\) (к этому можно также добавить полную энергию инфракрасного теплового излучения самой Луны \((\sigma T_\bullet^4)(4\pi R_\bullet^2)\); ее вклад, как мы видели выше, примерно равен оптическому отражению). Если собрать все это излучение недалеко от поверхности Луны и перенаправить обратно, то фокальную область можно нагреть до температуры

то есть примерно на 10 градусов больше, чем средняя температура поверхности Луны.

Эта величина дает верхнюю оценку на температуру, которую можно получить с помощью лупы, если использовать свет от Луны. Иными словами, даже если сделать увеличительное стекло или зеркало размером с радиус Луны, и направить ее свет на поверхность Земли, то максимальная температура, которую можно достичь таким образом, оказывается немногим больше температуры поверхности самой Луны.

Далекие звезды, с другой стороны, вполне годятся, чтобы развести огонь. Правда, для этого надо будет очень сильно постараться. Если ограничить размер оптической системы размером всей Солнечной системы (а это вполне правдоподобное ограничение на ближайшие несколько тысячелетий), то такой трюк провернуть не удастся (см. формулу для \(T_\bullet\)).

Может показаться, что ответ на вопрос задачи противоречит интуиции. Действительно, увеличивая размер линзы мы увеличиваем количество поступающей энергии. Что же тогда мешает нагреть поверхность до произвольной температуры?

В решении мы получили оценку сверху, основываясь на законе Стефана — Больцмана. Но качественный ответ можно получить и из других соображений: достаточно посмотреть на то, что происходит в задаче, с точки зрения термодинамики равновесий. Солнечная поверхность находится в термодинамическом равновесии с фотонами, которые она излучает. Плотность фотонов падает с расстоянием, и та их часть, которая долетает до Луны, в свою очередь, находится в термодинамическом равновесии с ее поверхностью. Если исключить спектральную зависимость интенсивности излучения (предположив, что Луна излучает чернотельное излучение), то, взглянув на Луну, мы увидим лишь тепловое излучение некоторого тела с температурой 270 К. Согласно второму закону термодинамики, невозможно нагреть с помощью одного тела другое тело до температуры выше первого, не совершая дополнительной работы. В оптических системах работа не совершается, поэтому и до температуры воспламенения лунным светом ничего не нагреешь.

С темой задачи связан любопытный наблюдательный эффект. Если посмотреть на фотографию Луны в инфракрасном диапазоне, сделанную во время лунного затмения, то на ее поверхности можно будет заметить пятна, значительно более яркие, чем окружающие области. Самое яркое такое пятно находится в кратере Тихо (рис. 4). Если взглянуть на этот кратер в ИК до затмения (левое фото на рис. 4), мы увидим отраженный свет от Солнца, который повторяет ландшафт поверхности (яркие области соответствуют определенному углу отражения, а темные области находятся в тени). Однако во время затмения (правое фото на рис. 4) периметр и центр кратера внезапно высвечиваются, повторяя температурную карту этой области: яркие области на фотографии горячее темных. Причиной этому, скорее всего, является различие в теплоемкости горных пород разного возраста. Чем дольше порода находится на поверхности, тем дольше она подвержена космическому выветриванию, и тем меньше в ней остается твердой фракции — со временем все превращается в реголит, теплоемкость которого ниже. Участки поверхности с высокой теплоемкостью медленнее остывают во время лунного затмения. Поэтому яркие пятна соответствуют более молодым участкам поверхности, на которых больше крупных валунов, а темный «фон» — это более древняя поверхность, в основном состоящая из реголита.

Рис. 4. Фотографии кратера Тихо в ИК-диапазоне. Левое фото сделано, когда кратер освещался Солнцем, правое — во время лунного затмения. Изображения из статьи P. G. Lucey. Thermal Infrared Observations of the Moon During Lunar Eclipse