Что общего у утки и авианосца?

Сперва объясните, почему этот угол ни от чего не зависит. Подумайте, что будет, если просто провести ладонью или палкой по воде с постоянной скоростью. А что, если взять два корабля, у одного из которых нос острый, а у другого — плоский?

Есть ли в этой задаче какая-то выделенная длина? Если ее нет, то что из этого должно следовать? Если есть, то что это за длина? Можно задать тот же вопрос иначе: волны какой длины генерируются при таком движении?

Попробуйте мыслить геометрически. Нарисуйте как формируется фазовый фронт: то есть на какой кривой находятся все синфазные точки. После этого воспользуйтесь тем фактом, что сами волновые пакеты распространяются в два раза медленнее в направлении, перпендикулярном фазовому фронту.

Сперва нужно осознать, что в задаче нет ни одного размерного параметра. От того, какой размер имеет корабль или утка, имеет ли судно плоский или острый нос, ничего не зависит. По сути, единственное, на что влияет геометрия самого объекта, — это некоторая турбулентность где-то очень близко к носу, тогда как на большом удалении от объекта волны уже не «чувствуют» никаких размеров судна.

Скорость корабля, v, могла бы являться размерной величиной, если бы в задаче присутствовала некая характеристика времени, с помощью которой можно было бы скорость трансформировать в расстояние.

Получается, что так как у нас нет выделенной длины, само судно (или утку) можно рассматривать как материальную точку. Как следствие, нет какой-то определенной длины волны: корабль по сути возбуждает все длины волн (или все волновые числа \(k\) и частоты \(\omega\)) одновременно. Результат суперпозиции таких волн показан на рис. 2.

Рис. 2. Результат суперпозиции всех длин волн, возбужденных плывущим в горизонтальном направлении кораблем

Но как так получается, что в результате образуется «коническая» форма с углом, не зависящим ни от каких других параметров?

Во-первых, очевидно, что нам интересны только те волны, фазовая скорость которых меньше v. Если фазовая скорость больше v, никакого фазового фронта не будет, в этом мы убедимся чуть позже.

На рис. 3 показано, как формируется фазовый фронт для одной из генерируемых кораблем волн с фазовой скоростью \(v_{\rm ф} = 0{,}8 v\). Все точки, находящиеся на красной линии фазового фронта, имеют одинаковую фазу. На будущее надо запомнить, что корабль генерирует много волн с фазовыми скоростями от \(v_{\rm ф} \approx 0\) до \(v_{\rm ф} \approx v\), но мы будем рассматривать их пока по отдельности для простоты.

Рис. 3. Формирование фазового фронта для \(v_{\rm ф} = 0{,}8 v\)

В реальности нас, конечно же, интересует не фазовый фронт, а групповой, так как физический волновой пакет, энергия и информация о волне распространяются именно с групповой скоростью. Для того, чтобы построить групповой фронт, давайте вспомним, что волновой пакет движется со скоростью вдвое меньшей, чем фазовая (то есть в рассматриваемом примере это 0,4v), в направлении, перпендикулярном фазовому фронту. На рис. 4 показано, как формируется такой групповой фронт с помощью линий, перпендикулярных фазовому фронту.

Рис. 4. Формирование группового фронта

Как было сказано выше, корабль возбуждает множество волн с фазовыми скоростями от 0 до v. На рис. 5 показано, как формируются такие фронты в случае всех этих волн. Тогда как фазовый фронт может иметь какой угодно угол наклона относительно траектории, групповой фронт не отклоняется больше определенного значения угла даже при скоростях, близких к v.

Рис. 5. Фазовая и групповая фронты для разных значений скорости волны

На рис. 6 показано множество тех же волн пунктирными окружностями, возбужденными в некоторый момент в прошлом (когда корабль находился в фиолетовой точке). Касательные к этим окружностям из текущего положения корабля (желтая точка) соответствуют фазовым фронтам для каждой из волн, а центры перпендикуляров к фазовым фронтам соответствуют положениям волновых пакетов. Как видно из рисунка, эти центры образуют окружность (это можно легко доказать математически, попробуйте сделать это самостоятельно), касательная к которой и соответствует максимальному углу расхождения волн, который нас и интересует.

Рис. 6. Возбуждение волн с фазовыми скоростями от 0 до v (пунктирные окружности), соответствующие фазовые фронты (касательные к окружностям из желтой точки справа), и положения волнового пакета для каждого из случаев. Видно, что существует максимальный угол отклонения волнового фронта

Разобравшись в том, по какой причине существует максимальный угол наклона волновых пакетов, давайте найдем его значение. К счастью, при имеющемся знании, это простая геометрическая задача. Очевидно, что для волны с \(v_{\rm ф}\approx 0\), фазовый пакет далеко уйти не мог, поэтому левый конец нашей искомой окружности (положения волновых пакетов, рис. 7) проходит через стартовое положение уточки или корабля. С другой стороны, для волны с \(v_{\rm ф}\approx v\) волновой пакет должен пройти примерно \(vt/2\) в горизонтальном направлении (так как фазовый фронт в таком случае будет вертикальным). Таким образом получается окружность диаметром \(vt/2\), и теперь необходимо найти угол касательной к ней, \(\theta\).

Рис. 7. Положения волновых пакетов для всех волн, возбужденных некоторое время t назад, образуют окружность диаметром vt/2

Легко убедиться по свойству касательной, что \(\sin{\theta} = (vt/4)/(3vt/4) = 1/3\), и поэтому \(\theta \approx 19{,}47^{\circ}\). То есть «конический» угол \(2\theta \approx 38{,}9^{\circ}\). Заметьте, что по сути мы пользовались лишь двумя простыми фактами при выводе этого значения: (а) объект на воде возбуждает целый спектр волн с фазовыми скоростями от 0 до v, (б) волновые пакеты распространяются со скоростью вдвое меньше фазовой в направлении перпендикулярном к фазовому фронту. И полученное число не зависит ни от формы или размеров плавающего объекта, ни от скорости его движения.

Как и всегда, к любой красивой физической теории прилагается оговорка «мелким шрифтом», что на самом деле все не так просто. В 2013 году вышла очень интересная работа французских физиков, в которой авторы анализировали снимки со спутников в Google maps, собирая статистику по углам раствора кильватерных волн.

На рис. 8. Показаны два примера таких снимков. На первом большая торговая баржа оставляет след с углом раствора, близким к предсказанному в решении значению, \(\alpha\approx 20^{\circ}\). На втором снимке показан небольшой скоростной катер с углом следа \(\alpha\approx 9^{\circ}\). Анализ статистики углов показал, что помимо случаев, когда углы примерно равны предсказанному значению \(19,47^{\circ}\), существует также множество случаев, когда углы раствора меньше!

Рис. 8. Примеры кильватерных волн, найденных на спутниковых снимках. В первом случае угол близок к предсказанному (\(\alpha\approx 20^{\circ}\), во втором случае он меньше (\(\alpha\approx 9^{\circ}\). Фото из статьи Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Ship wakes: Kelvin or Mach angle?

В основном эти «исключения» соответствовали маленьким и быстрым лодкам. Получается, что у описанной выше теории есть некоторые ограничения. В чем же дело?

Ключом к объяснению этого явления оказался безразмерный параметр, который называют числом Фруда (Froude number):

где U и L — скорость и размер корабля, а g — ускорение свободного падения. Этот параметр задает отношение между возвращающей силой (в данном случае это гравитация) и инерцией корабля. Если построить график вычисленных углов раствора для каждого из найденных на спутниковых снимках кильватернох следов в зависимости от соответствующего числа Фруда, то получится довольно показательная зависимость (красные точки на рис. 9).

Рис. 9. Углы раствора кильватерного следа в зависимости от числа Фруда для теоретических моделей (синие кривые), статистики со спутниковых фотографий (красные точки) и симуляций (желтые точки). Рисунок из статьи Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Ship wakes: Kelvin or Mach angle?

Пока число Фруда меньше чем 0,4–0,6, углы равны предсказанному значению, при больших значениях этого параметра кильватерный след становится уже. Малые значения числа Фруда соответствуют малым скоростям или большим размерам корабля.

К примеру, для авианосца класса Нимитц длиной 300 м, несущегося на максимальной скорости (60 км/ч), число Фруда не будет превышать 0,3, и углы раствора кильватерных волн будут всегда равны \(\approx 20^{\circ}\). А у рыболовного катера длиной 20 м уже на скорости 30 км/ч (что вдвое меньше его максимальной скорости) число Фруда может быть больше 0,6, и угол раствора кильватерного следа будет меньше. Для утки (длина 20 см, скорость 0,5 м/с) число Фруда не превышает значений 0,3–0,4.

Так в чем же дело? Что мы не учли в решении, и почему для больших чисел Фруда получается меньший угол раствора? Оказывается, что при малых размерах плывущего объекта (или при больших скоростях) не выполняется предположение о том, что возбуждаются волны со всеми возможными длинами (или со всеми возможными волновыми числами). Дело в том, что корабль длины L не способен эффективно возбуждать волны длиной больше L.

Для формирования той красивой картины с постоянным углом, которую мы обсудили в решении, необходимо возбуждать волны с длинами хотя бы вплоть до \(U^2 / g\). Иначе получается так, что какая-то часть волн (показанных на рис. 7) просто не генерируется, и максимальный угол не достигается. Таким образом, когда \(L \lesssim U^2 / g\) (или \(Fr \gtrsim 1\)) максимальный угол распространения волновых пакетов получается меньше. Эта теория подтверждается симуляциями (рис. 10). Авторы указанной выше статьи назвали эти два режима (с малым и большим числом Фруда) режимами Кельвина и Маха, соответственно.

Рис. 10. Симуляции возмущения кильватерных волн для случаев с разными значениями числа Фруда. Рисунок из статьи Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Ship wakes: Kelvin or Mach angle?

Итак, что можно вынести из всей этой истории о, казалось бы, простейшей геометрической задаче. В первую очередь нужно помнить, что любая физическая задача описывается набором безразмерных параметров. Если таких параметров нет (как было в нашем решении), то результат модели не должен ни от чего зависеть. Безразмерный параметр — в данном случае это число Фруда — всегда задает некоторое отношение между двумя физическими явлениями, и таким образом определяет границы применимости физической модели.

В задаче о гравитационных волнах на поверхности глубокой воды таким параметром служило отношение \(\lambda / h\), где \(\lambda\) — длина волны, а h — глубина океана. Если это отношение достаточно маленькое, то работало «глубоководное» приближение, в котором волна не чувствует присутствия дна.

В задачах об аккреции тонкого диска (Дисковая аккреция и Аккреция вопреки) этим параметром было отношение толщины диска к ее радиусу, которое позволяло построить модель тонкого диска. В задаче о задержке часов из-за эффектов ОТО (Сверим часы) таким безразмерным параметром служило отношение гравитационного потенциала \(GM/r\) к \(c^2\) (или, что то же самое, отношение гравитационного радиуса \(2GM/c^2\) к расстоянию до объекта r). В случае СТО таким параметром является отношение скорости объектов к скорости света.

Поразительно, что безразмерные параметры (число Рейнольдса, отношение силы Кориолиса к инерции вещества и т. д.), описывающие «атмосферы» нейтронных звезд (так называют слой ионизированного тяжелого вещества в несколько сантиметров над ее поверхностью), примерно совпадают с безразмерными параметрами, описывающими атмосферу нашей Земли. И это несмотря на то, что там абсолютно другая среда, другое вещество, вращение, другие размеры (размер нейтронной звезды ~10 км, а размер Земли примерно в 1000 раз больше, и т. д.). Из-за этого, например, описание динамики вихрей на поверхности нейтронной звезды по сложности такое же, как и описание движения ураганов на поверхности Земли.

Таким образом, важный урок заключается в том, что, начиная решать любую физическую задачу, какой бы сложной она ни была, нужно сперва определить те релевантные безразмерные параметры, которые задают границы вашей модели. И благодаря тому, что математика «не знает» о существовании размерности, любая математическая модель какого-то физического явления, может быть построена с использованием лишь безразмерных параметров и величин, чем физики постоянно пользуются.